有限元三维层状横观各向同性地基解析层元解

胡亚 ：从弹性力学的基本方程出发，采用解耦变换并利重Fourier变换以及Cayley-Hamilton定理，推：横观各向同性Fourier变换传递矩阵解析层元yticallayer-elementsolutionforthree-dimensionalproblemoftransverselyisotropicmultilayeredfoundation(DepartmentofGeotechnicalEngineering,KeyLaboratoryofGeotechnicalandUndergroundEngineeringofMinistryofEducation,TongjiUniversrty,Shanghai200092,China):Startingfromthebasicequationsofelasticity,usingadecoupledtransformtechniqueandadoubleFouriertransform,aswellasCayley-Hamiltontheorem,thetransfermatrixsolutionofthree-dimensionaltransverselyisotropicsingle-layerfoundationisdeducedinCartesiancoordinatesystem.Then,throughrestructuringtheelementsofthematrix,theyticallayer-elementofsingle-layerfoundationisobtained.Followingtheprincipleofthefiniayermethod，andintroducingthecorrespondingboundaryconditions,thetotalstiffnessmatrixisassembledandsolved.Inordertoverifytheproposedmethod,numericalresultsareobtainedbythecompiledprocedure,andcomparedwiththosebyABAQUS,whichshowsagoodagreement.Otherresultsdemonstratedthatthetransverselyisotropicandmultilayeredpropertiesofthefoundationhaveagreatimpactonitsverticaldisplacements.Keywords:transverselyisotropy,doubleFouriertransform,transfermatrix,yticallayerelement,multilayered引（水平面内通常呈现各向同性，将土体简化成横观定的实用价值。国内外已有许多学者对横观各向同性介质进行了研究。Lekhntski1]首先求[2]ekhnitskii[3]过引入应（位移函数得到了此问题的解答；和[4]通过Hankle变换方法得到了横观各向同性弹性半空间非轴对称问题的解析解。解析层元的ij,j

x

ij(ui,juj,i)/

0000cc000000x

y

yz

z

yz yz

(c11c12)

xy 表示应力分量对坐标的偏导,

n(n2)ij,

c

(1)，c(12)，

G，

/((1)(12n2))，n

/E

EhEvGvh为水平vh为竖直向应力引起的水平向应变的泊松比。Fourierf() g(x,y)ei(xxyy)

42g(x,y) f()ei(xxyy)d

g(xy)f(x,yFourierFourierU1(uv

X1(xzyz

V1(uv

Y1(xzyz W

Z z22z yUdX1

Xd2U1d

Vd

Yd

WdUd

Z 2 c2

34 34

c

11

13，

11 13，

，

，

12，2

Laplace对式（7）FourierdG(,z)A()G(,

dx dG(,z)A()G(,

dx 式中：，式中：，

d4d0

0

d4A()

A2()d 0

d20d 0 （8（9

式中：exp[zA1(和exp[zA2(z=0z（10aIaA()aA2()aA3 1 2 3

1(,z)exp[zA()]bI'bA 1II4×42×2A1(A24(2ddd)22(d2dd)4

2 2 42dd2 4

解方程（15）2（14

d4d5d2d 22((dd2d2d 22 d2d 22((dd2d2d 21则22221

2 4222（1）当2=01（2）当2>0时，令，则或 1（3）当2=0时，令w22，则(wi)1（10V(,z) g12V(, g

U(,z)

W(,z)W(, Z(,z) Z(,0)

（16Y(,0) T X U(,0) Z(,0) K12W X(,

U(,z) 22 Z(,z)

1

K

12，

，

23

22

23

33 23

1 K 12 32 33 23

22X(,

k14U(,0) Z(, , 24W

X(,z)

k12U(,z) Z(,z)

k22W(, （18三维成层地基的解析层元nX(,0)U(,0) Z(,0)W(,0) ..

X(,z)U(,z) n nZ(,z)W(,zn n式中：(i)i

Fourier数值计算与本文根据10点复合二维积分的方法，在被积函数两个零点之间进行分段积分，实Fourier数值逆变换，具体的处理细节和精度评价可参考文献[6]。Fortran程序计算获得的竖向荷载作用下任意深度的沉降量，与ABAQUS模拟的结果进行比较。由图1可知，本文的计算结果与ABAQUS图1竖向位移对比结 图2两层地基中的竖向位Fig.1Comparisonofvertical Fig.2Verticaldisplacementintwo-layered1Table1Thelistofsoil土层 土层EEEEE123 下面以两层土为例土的横观各向同性特性与成层特性对地基沉降的影响土层参数11123况1和工况2各参数的平均值，是一各向同性的均匀土层。计算结果见图2，由图2可对于工况1还是工况2，采用传统各向同性来简化计算是不安全的，这一点在实际工程中应4.结从弹性力学的基本方程出发，采用解耦变换并利重Fourier变换以及Cayley-Hamilton定理，推导出三维直角坐标系下横观各向同性单层地基的传递矩阵，通过Fourier逆变换技术获得物理域内的真实解答。将所ABAQUS参考文LekhniskiiSG.TheoryofElasticityofanAnisotropicbody[M].MirPublishers,胡海昌.横观各向同性体的弹性力学的空间问题[J].物理学报,1953,9(2):130-144.(HUHai-chang.Theproblemoftransverselyisotropicelasticmechanicsofthespace[J].JournalofPhysical,1953,9(2):130-144.(inChinese)).横观各向同性弹性力学空间问题[M].杭州:浙江大学,1997.(DINGHao-jiang.Mechanicsoftansverselyisotropicelasticity[M].Hangzhou:UniversityPress,1997.(inChinese)),.横观各向同性弹性半空间非轴对称问题解析解[J].岩土工程学报,2004,26(3)：331-334.(LIPei-hao,ZHUXiang-rong.yticalsolutionofnon-axisymmetricproblemsintransverselyistropicelastichalfspace[J].ChineseJournalofGeotechnicalEngineering,2004,26(3)：331-334.(inChinese))艾智勇,冲.三维横观各向同性成层地基的传递矩阵解[J].岩土力学.2010,31(2):25-30.(AIZhiyong,CHENGYi-chong.Transfermatrixsolutionsofthree-dementionaltransverselyisotropicmultilayeredsoils[J].RockandSoilMechanics,2010,31(2):25－30.(inChinese))艾智勇,.三维直角坐标系下分层地基的传递矩阵解[J].重庆建筑大学学报,2008,30(2)：43-46.Zhi-yong,WUChao.Transfermatrixsolutionsformultilayeredsoilsinretangularcoordinatesystem[J].JournalofChongqingJianzhuUniversity,2008,30(2)：43-46.(inChinese))附录一：三种情况下的解析层元元素（该矩阵为对称矩阵k2(2AA2(8d3d k8z2Adez(2ddd)/ 2 2k16ez(8Ad 2A(1e4z);

(1e2z);AA2(8d3dd)2;

z22d2d2e2z(2d其中：

2

2

31A 31k2ezAA/;k2ezAAA 5 19 k AAAAA k2ezAA/ 1 2 6 AAezez;Aezez;Aez其中： Aezez

(

);

(

A2d;A2d;A22;

ddd

AAA2A2

1

5 1 13k2 13 (A(dAd 3k4ezAS/A 137 (A2(d3A3d4)S1k4ezA(dAd)S 34(1e2z

；

5；T22422d4

(1e2z)z(1e2z)d。44Ssin[z];Scos[z];A(1e2z);A(1e2z);A