微积分重要公式

第一讲函数、极限与连续重要公式与结论一、函数的奇偶性、周期性与导数、积分的联系1•设f(x)是可导的偶函数，则f(x)为奇函数，且f(0)0设f(x)是可导的奇函数，则f(x)为偶函数。f(x)为奇函2•设f(x)连续：如f(x)为偶函数，则0f(t)dt为奇函数；数，则对任意的a，of(tjf(x)为奇函3.设f(x)在一a,a上连续，贝口af(x)dx2f(x)dx,f(x)为偶函数,0,f(x)为奇函数,4•可导的周期函数的导函数仍为同周期函数。5•设f(x)是以T为周期的连续函数，贝UTf(x)dxf(x)dx2f(x)dx,nT0f(x)dxn0rf(x)dx.二、在自变量不同变化过程中的函数极限及其联系1.limf(x)Alimf(x)XxXx02X0一-limf(x)alimf(x)3-[imf(x)Alimf(x)limf(x)A.Xx0limf(x)A.XA.4.设limXnx°,limf(x)A,则limf(xn)limf(x)A.xx0xx。［评注］由结论3,4知可利用函数极限求数列极限。三、连续的隐含条件如题中给了连续条件，应充分利用以下结论:1.设f(x)在Xo处连续，则f(Xo)limf(x).2设f(x)在［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］上可积，且可构造f(x)的原函数Xf(t)dtxb),对f(x)在［a,b］上可应用最值、介值、零点定理。四、两个重要极限的一般形式四、两个重要极限的一般形式1.2.设f(x)1,贝S设a(x)01.2.设f(x)1,贝Slimf(x严eiimg(x)lnf(x)eiimg(x)[f(x)1](因为Inf(x)ln[1f(x)1]~f(x)1)。五'无穷小量与界变量之积为无穷小量特例：设f(x)0,g(x)，贝Ulimf(x)sing(x)limf(x)cosg(x)limf(x)arctang(x)limf(x)arccotg(x)0.六、极限存在准则及性质单调有界数列必有极限。夹逼准则：设在X。的某空心邻域内(或当|x|X时)，有g(x)f(x)h(x),且limg(x)limh(x)A(x)(x)贝ylim(x)(x)XX0(X)3.极限的局部保号性与有界性：设limf(x)A,XX0则存在X。的某空心邻域，使得在该邻域内f(x)有界；如果A0(或A0)，贝y存在X0的某空心邻域，使得在此邻域内有f(x)0(或f(x)0)；如果在X0的某空心邻域内有f(x)0或(f(x)0)，则A0(或A0)；⑷limf(x)A无穷小量a(x),使f(x)Aa(x).七、无穷小量的等价替换a1■若a~a,~，且limA,贝口lim—lim—A.2常见的等价无穷小：设a(x)0,贝sina(x)~tana(x)~arctana(x)~arcsina(x)~ea(x)1~1n[1a(x)]~a(x);3.12k./1cosa(x)~[a(x)],[1a(x)]1~ka(x)(k0).2八、常见的极限不存在的函数无穷大量是极限不存在的一种形式。设a(x),贝口下列函数的极限不存在：sina(x)，cosa(x)，ea(x),arctana(x)，arccota(x).此时应注意利用无穷小量乘有界变量仍为无穷小量以及左右极限等进行讨论。九、几个常用极限1.limn、a1(a0).2.limnnn1.3.limx0x1.4.limxxx00.5.1xx1.6.1limxx0.xx07.arctanx8.limarctanxlimxx9.arctanx0.10.limarctanx第二讲导数与微分重要公式与结论、导数定义与极限的联系f（X。）；1■设f(x。)存在，如果limu(x)0,贝口lim——u(x)如果limu(x)x0,贝口limf(岫一f(xf（X。）；2■设f（x）在xx。处连续，lim旦？AXlim旦？AXx°Xx0lim/也A(k1)XX。(xX。)lim®A0(0k1)Xx(xX°)kX。f(x。)0,f(x°)A;f(X。)0,f(X。)0；f(X。)0,f(X。)不存在.二、可导、可微、连续及极限的关系可导可微连续limf（x）f（x0）.XX。三'导数的几何意义切线方程：yf（x。）f（x。）（xX。）.法线方程：yf（X）（i）（xX）.f（X。）特别地，如f（X°）0,切线方程为：yf（X。）.；法线方程为：xX。。如f（X。）,切线方程为：XX。；法线方程为：yf（X。）。四、奇偶函数'周期函数的导数可导偶函数的导函数为奇函数。特别地，设f（x）为偶函数，且f（0）2存在导奇函数）的导函数为偶函数。3可导周期函数的导函数仍为同周期函数。五、f(x)Af(x)f(x)A'o''o’'o’六、含绝对值函数的可导性1.设limg(x)存在，且g(x0)有定义，则g(x)|xxo1在xo处可导。xxo2.o设f(xo)0,f(xo)存在，则曜)|在Xo处可导f(xo)0。七、高阶导数公式T)f(xo).特别地，设f(xT)f(x),f(x°)存在，则f(Xo1■设函数uu(x)，(1)(U)(n)U(n)(x)在点x处有n阶导数，〈)nJ、「"J)2)2n(n1)(nk1)(n雎k!u(n)2基本初等函数的⑴(xn)(n)(2)n!值a助anaxb/x(n)xn，(a)aIn[sin(axb)](n)ansin(axbn?—);(3)x[cos(axb)](n)ancos(axbn?—)x占)(n)(八nan?n!(4)i)nr;(axb)[In(axb)](n)⑴man?(n1)!na.n阶导数公式。第四讲一元函数积分学重要公式与结论、奇偶函数、周期函数的积分1•设f(x)连续,如f(x)为偶(奇)函数，则0f(t)dt为奇(偶)函数；如f(x)为奇函数，则对任意a,f(t)dt为偶函数。若f(x)为偶函数,若f(x)为奇函数.2■若f(x)为偶函数,若f(x)为奇函数.TOC\o"1-5"\h\z3f(x)dx'[f(x)f(x)]dx20f(x)dx,a00，3•设f(x)是以T为周期的连续函数，则f(x)dxofT(x)dx；Tf(x)dx，\o"CurrentDocument"nTT20f(x)dxn0f(x)dx。特别地有|sinx|dx0sinxdx2,：〔COSXldXogsxgx2-二、利用积分定义求n项和的极限设f(x)连续，贝Ulim口°f(aW)f(x)dx，nnk1nlimn1n^%)ofgdx。三、定积分的不等式性质1.设f(x)，g(x1.设f(x)，g(x)在[a,b]上连续，且f(x)g(x)，贝U；f(x)dx2■设f(x)在[a,b]上连续，则|bf(x)dx|f(x)，g(x)dx.；lf(x)|dx.g(x)dx.g(x)dx.f(x)dx0.3■设f(x)，g(x)在［a,b］上连续，则(f(x)g(x)dx)2-f2(x)dx?4,设f(x)在［a,b］上连续，且f(x)0,但不恒等于零，则注：以上不等式必须有条件ba，如ba，则不等号反向。四、积分中值定理

1■设f(x)在［a,b］上连续，则［a,b］使：f(x)dxf()(ba).a注：―［a,b］可改为(a,b)。设f(x)在［a,b］上连续，g(x)在［a,b］上可积且不变号，贝S［a,b］,使f(x)g(x)dxf()ag(xjdx.a五、变限积分1若f(x)在［a,b］上连续，则f(t)dt可导，且f(t)dtf(x).x2.若f(x)在［a,b］上可积，则f(t)dt在［a,b］上连续。a3若f(x)连续，a(x),b(x)可导，贝Ub(x)f(t)dtf［b(x)］b(x)f［a(x)］a(x).a(x)对于一般情形g(x)h(t)f:(x,t)］dt,先把g(x)提到积分号外，再令a(x)u(x,t),从而将积分化为被积函数不含变量x的变限积分，最后再求导。第六讲多元函数积分学重要公式与结论一、二重积分的性质线性运算性质：积分可加性:D[kf(x,y)k线性运算性质：积分可加性:D[kf(x,y)k2g(x,y)]ddf(x,y)df(x,y)dDik1f(x,y)dk2g(x,y)d.DDf(x,y)d，其中DD1D2,D2而且叫与d2除边界外没有其他公共点。3积分中值定理：设函数f(x,y)在闭区域D上连续，表示D的面积,则在D上至少存f(x,y)dDf(，)二、二重积分的对称性1■若D关于x轴对称，则0，f(x,y)d2f(x,y)d,DDi则在D上至少存f(x,y)dDf(，)二、二重积分的对称性1■若D关于x轴对称，则0，f(x,y)d2f(x,y)d,DDi当f(x,y)

当f(x,y)f(x,y)时,f(x,y)时，其中Di为D的上半平面部分2.若D关于y轴对称，则0,f(x,y)d2f(x,y)d,当f(x,y)f(x,y)时,D其中D2为D的右半平面部分当f(x,y)f(x,y)时,D23•轮换对换性：若x,y互换后区域D不变（即区域D关于直线yx对称）,f(x,y)dxdyDf(y,x)dxdyD1[f(x,y)f(y,x)]d.2d1•对于级数Un，令SUk表示其部分和数列，则⑴若Un收敛，贝Sn1limSnlimSnn1，limUnn(2)若limUn0，或该极限不存在，则77Un发散。Hm(SnSni)0；2,设a,b都是非零常数，则有:若Un与n1都收敛，则(aunbn)若Un与n1都收敛，则(aunbn)也收敛;1若Un和n1中一^收敛,另一个发散，则(aunb)发散;若Un与n1都发散，则(aUnbn)的敛散性不确定。1im|jnnUn(或limn|Un|)°如果1，则lim|un和|Un|都发散。n14(1)若幕级数an(4(1)若幕级数an(XXo)n在X1处收敛，则对任何满足|XXo|的X,an(XXo)n0绝对收敛;(2)若幂级数an(XXo)n在X1处发散，则对任何满足|XXo||X1Xo|的X,an(XXo)n发散。n05.幕级数的变换公式。的一个已知函数，则⑴设anXn的收敛域为h,其和函数为s(X),设f(X)是定义在R上n0an(f(X))n的收敛域为12XR：f(X)I1,且其0和函数为S(f(x))；(2的一个已知函数，则和函数为S(f(x))；(2)最常用的变换是f(X)(XXo)k，其中k为某个正常数。6.对于任意项级数U，若|Un|发散，且是由比值或根值判别法判定的，贝I］Un也发散。n17.几何级数aqni在|q|1时收敛，且aqni-一;当|q|1时，发散。nin11q8.p1时发散。第九讲经济应用重要公式与结论1.复利与连续复利公式。分期复利计息公式：AAo(1r)t，其中r为年利率。连续复利计息公式：AAGrt。o［例9.1］设一笔本金Ao存入银行，年复利率为r,在下列情况下，分别计算t年后的本利和：一年结算一次；一年分n期计息，每期利率按^计算；n银行连续不断地向顾客付息利，即n，此种计息方式称为连续复昨。［详解］(1)一年结算一次时，一年后的本利和为AAoAorAo(1r)，第二年后的本利和为A24(1r)Ao(1r)2,依此递推关系，t年后的本利和为AAo(1±)\n(2)一年结算n次，t年共结算nt次，每期利率为匚，则t年后的本利n和为AtAo(1-)nt.计算连续复利时，t年后的本利和A为(2)中结果At在n时的极限AlimAtn的极限AlimAtnlimA1nrntAolimnAolimnAoert.1-n在上述问题中，相同的利率(称为名义利率)，由于复利种类不同，产生不同的利息，即产生不同的实际利率(也称为有效收益率)，用表示。设存期为t年，年名义复利率为r，每年结算n次，相应的实际年复利率为b，则Ao(1re)tAo(1"t.1「e(1r)n.nre(1±)n1.

n若以相同的年名义利率计算连续复利，则A(1re)tAoert.2贴现公式。___以Ao元存入银行，年复利率为r,t年后变为AAo(1r)t元。称AAo(1r)t为本金Ao的终值；反之，若要t年后有A元，现在只需存入银行AoAt(1r)t元，即t年后的A元只相当于现在的AoAt(1r)t元，称AoAt(1r)t为t年后资金A的现值，此时，r也称为贴现率。若一年计算复利n次，贝y本金Ao在t年后的终值为Ao(1-)nt；t年后的n资金A的现值为A(1±)nt.n若计算连续复利，则本金A在t年后的终值为A°e"；t年后的资金A的现值为Aert.系列收付款项的现值与终值公式。系列收付