微分几何彭家贵课后题答案

习题一(P13)2.设a(t)是向量值函数，证明:|a|=常数当且仅当(a(t),a'(t))=0；a(t)的方向不变当且仅当a(t)△af(t)=0。(1)证明：|a|=常数o|a|2=常数o<a(t),a(t)>=常数=<a'(t),a(t)>+<a(t),a'(t)>=0o2<a(t),a'(t)>=0o<a(t),a'(t)>=0。(2)注意到：a(t)丰0，所以a(t)的方向不变o单位向量e(t)=a(t)、'一*/\|=吊向量。a(t)]若单位向量e(t)=竺)=常向量，则e'(t)=0ne(t)△e'(t)=0。|a(t)|反之，设e(t)为单位向量，若e(t)△e'(t)=0，则e(t)//e'(t)。由e(t)为单位向量n<e(t),e(t)>=1n<e(t),e'(t)>=0ne(t)1e'(t)。TOC\o"1-5"\h\ze(t)//e'(t)|,从而，所以，由fne(t)=0ne(t)=常向量。从而，所以，e(t)1e'(t)I一，、a(t),,一a(t)的万向不变o单位向量e(t)==常向量a(t)|oe(t)△e'(t)=0o△fr-^+d(f^)a(t』=0|a(t)|"|a(t)|dt|a(t)|Jo—-—(a(t)△a'(t)^+―(—)—-—(a(t)△a(t))=0|a(t)|2dt\a(t)\\a(t)oa(t)△a'(t)=0。即a(t)的方向不变当且仅当a(t)△af(t)=0。补充:

定理r(t)平行于固定平面兀的充要条件是(r(t),r'(t),r(t))=0。证明："n”:若r(t)平行于固定平面兀，设n是平面兀的法向量，为一常向量。于是，vr(t),n>=0n<r'(t),n>=0,vr"(t),n>=0nr(t),r'(t),r"(t)共面ovr(t),r'(t),r"(t)>=0。"u"：若(r(t),r'(t),r〃(t))=0，贝Ur(t),r'(t),r"(t)共面。若r(t)△r'(t)=0则r(t)方向固定，从而平行于固定平面兀。若r(t)△r，(t)丰0，则r"(t)=Xr(t)+四r'(t)。令n(t)=r(t)△r'(t)，则n'(t)=rr(t)△r'(t)+r(t)△r〃(t)=r(t)△r"(t)=r(t)△(X(t)r(t)+日(t)r'(t))=Mt)(r(t)△r'(t))=p(t)n(t)nn(t)△n'(t)=0,又n(t)丰0nn(t)有固定的方向，又n(t)±r(t)nr(t)平行于固定平面。3.证明性质与性质。性质（1）证明:设V]=(气,X2X),V=(y,y,y),v=(z,z,z),v△v=性质（1）证明:设V]=(气,X232123312323123ijkryyyyyyVAV=yyy=23,311,223123zzzzzzzzz233112123则=(w,w,w)nw=yz—yz,w=yz—yz,w=yz—yz,123322311331221In左^A(VAV)=Xwxx23wwx3w3X3w3x1w1X1X2ww12/In左^A(VAV)=Xwxx23wwx3w3X3w3x1w1X1X2ww12/=(xw—xw,xw—Xw,Xw2332311312=(X[yz—yz]—X[yz—yz],x[yz—yz]—x[yz,212213311332332112—yz],x[yz—yz]—x[yz—yz

211311322332zxxx[[[(([([+Xz]y-[Xy+Xy]z,[xz+xz]y-[xy+xy]z,[xz+xz]y-[xy+xy]z

331223313311(33112112231122+xz]y,[xz+xz]y,[xz+xz]y)-([xy+xy]z,[xy+xy]z,[xy+xy]z33133112112232233133+xz+xz]y,[xz+xz+xz]y,[xz+xz+xz]y)331113311222112233311211223=[xz+Xz1122+X》+"]z,[Xy+”+Xy]z,["+x331113311222112+Xz](y,y,y)-[xy+xy+xy](z,z,z3312322331112)+X3y3]z3132123(2)证明：设v=(x,x,x),v=(y,y,y),v=(z,z,z),v1123212331234ijkrxxxx)xxv△v=x1y1x2y2x3y3=k2y23,y33y31,1y1y1y2卜2nX=xy-xy,X=xy-xy,x=xy-xy.123i3j2k231rz1z3z312zz21z「v△v=z1w1z2w2z=3w32"w'23w3,3w31,1ww2w\2JnY=zw-zw,Y=zw-zw,Y=zw-zw.123322311331221",七,七)n左=<v△v,v△v>=XY+XY+XY1234112233=(xy-xy)(zw-zw)+(xy-xy)(zw23322332311331(X1，X2,X3)zw)+(xy-xy)(zw-zw)13122112-~=[xzyw+ywxz+ywxz+xzyw+xzyw+ywxz]223322331133113311221122-[xwyz+yzxw+yzxw+xzyw+xwyz+xwyz+yzxw]2233223311331133113311221122=[(xyzw+xyzw+xyzw)+xzyw+ywxz+ywxz+xzyw1111222233332233223311331133+xzyw+ywxz]11221122-[(xyzw+xyzw+xyzw)+xwyz+yzxw+yzxw+xwyz+xwyz+yzxw]一—--------一__—33112211221111222233332233=(xz+xz+xz)(yw+yw+yw)-(xw=<v,v><v△v>-<v,v><v△v22331121423311>=右23223+x2w2+xw)(yz+y兰+y.z.)311331133(z,z,z),，则123ijkxxxxxxv△v=xxx=233112,,12123kyyyyyyyyyv233112(3)证明:232233设v1=(X1,X2,X3)(y1,y一,y),v1x2y,3,v「vz1(x2y3(z1x2y3同理，3

y2,x2-x3=<v,v△v-x3y2)+z(xy+y1z2xz1x12x32,v3,vy1(z2x3(z1x2y3nY=n(Vx3y1>=zX+zX+zX1122-x1y3)+z(xy-xy)1233231+xy_z_)-(zy2x3z2x2-z3x2122321+y1x2z)z3x3,Y21)=<v2,v3-z3x2)+y(zxrzzzzzz233,11,2kxxxxxx233112七气七*2-z1x3=(匕,Y2,Y3)=z3x△v1,Y31>=yY+yY+)3、1122-z1x3)+y(zx-zx)+yzx+xyz)-(zyx+xzy+yxz)=(v,v,v)…一---~-一…一123312ijk(yyyyyyvav=yyy=23,31,1223123zzzzzzzzz2331122=(Z「Z2,Z3)1n彳=y2z1,2,3123112233=x(yz—yz)+x(yz—yz)+x(yz—yz)123322311331221=(z1xy+yzx+xyz)—(zyx+xzy+yx所以，性质证明:32,Z2=yz-yz122=<v,vav>=xZ+xZ+xZ=y3z1-1332312312312312(v,v,v)=(v,v,v)=(v,v,v)。123312231(1)Va(Vf)=Va(f,手,dxdy£(df]£(df)

dz[dyJdz[dx/ddxfdx"dyIM(d2fd2fd2fd2fd2fd2f'{dydz证明：(2)3,"1,Pj

d

dy

f

dyddzdf瓦dx"dz)dx"dyJdy"dx)■—■—dzdydzdxdxdzdxdydydx/=(0,0,0)=0.ijkddddxdydzPQRR'd((dQ<V,VaF>=<V,>=<V,dP)+dz"dxdy(dRdQdPdRdQdP)

—•—•—^dydzdzdxdxdy/d(dRdx"dydz)d2Rd2Qd2Pd2Rd2Qd2P_—+—+—=0.dxdydxdzdydzdydxdzdxdzdyd(dP

+=l^-—dy"dzdx)4.设｛。；e,e,e｝是正交标架，a是｛1,2,3)的一个置换，证明：123｛o；七(1),七⑵,e⑶｛O;e,e,e｝与O;e,e,e｝定向相同当且仅当a是一个偶置换。123a(1)a(2)a(3)(1)(2)(1)正交标架;证明：当i"j时，-①广(j=W..),%(j>=0；当刁时，b⑺=b⑺n<eb(疽eb(j>=1，所以，｛O；eb(1),eb(2),eb(3)正交标架。(2)证明:(010)(010)100,det100001J1001JA)当。=(12)nb⑴=2q(2)=1q(3)=3n',e,e)=(e,e,e)=(e,e,e)TOC\o"1-5"\h\zb(1)b(2)b(3)213123(001)(001)010,det010100J、101,B)当b=(13)nb(1)=3,b(2)=2,b(3)=1n',e,e)=(e,e,e)=(e,e,e)b(1)b(2)b(3)321123(100)(100)001,det001010J101023｝=｛o；e,e,e｝；C)当b=(23)nb(2)=3,b(3)=2,b(1)=1n',e,e)=(e,e,e)=(e,e,e)b(1)b(2)23｝=｛o；e,e,e｝；个偶置换。D)当b=(1)=(12)(12)，此时，b；eb(1),eb.)个偶置换。'001''001)()()()\e,e,e)=(e,e,e)=(e,e,e)100,det100b(1)b(2)b(3)231123〔010J〔010JF)当b=(132)=(13)(12)nb(1)=3,b⑶=2,b⑵=1,'010)'001)()()()(e,e,e)=(e,e,e)=(e,e,e)001,det100b(1)b(2)b(3)312123〔100J〔010JE)当b=(123)=(12)(13)nb(1)=2,b⑵=3,b⑶=1,=1；=1.所以，｛O;e,e,e｝与｛O;e,e,e｝定向相同当且仅当b是123b(1)b(2)b(3)习题二(P28)1.求下列曲线的弧长与曲率:(1)y=ax2解：r(x)=(x,ax2)nr\x)=(1,2破)=^>Z(jc)=f\rf(t)\dt=fJ1+4Q2/2也00令21/1f=tan。，Jl+4q2$2=secO,则f>/1+4。2[2力=—fsecsQdQ=—-—I2a2\a\/^fsec306Z0=f(sec0tan20+sec0)rf0=Jtan9</sece+secOdO=tanOsecO一Jsec3&0+Jsec9</9=tanOsecO-/+Jsec&0nI=—[tan0secO+lnIsecO+tan0l]+C2)IaItj\+4ci2t2+In21qIr+Jl+4g24C二p~2所以，j\jl+~4aU2dt=—fsec30rf0=—i—2a2\a\IaIrJl+4々2$2+In21qIr+Jl+4g24C=JJl+4々2$2力=—i—4IqIoIaIxjl+4q2x2+In21。Iji+Jl+4a^x^2.设曲线r(r)=(x(r),y(r)),证明它的曲率为K(“yW)证明：W)=(血),y(O)=>r(t)="),y"))n/'(t)=(/"),y\t)),dr,dt,,dtnt(s)=丁=r'(t)丁=(xf(t),yf(t))二dsdsdsnn(s)=(-yr(t),x'())(d-dsnt(s)=乎=dfr'(t)牛卜r〃(t)俘：+r'(t)半ds2ds[dsy[dsyds2nt(s)=k(s)n(s)TOC\o"1-5"\h\zfdt\2d2tdtnr"(t)丁+rf(t)--=k(s)(-yf(t),x'(t))二*dsyds2ds+x'(t)祟=-k(s)y'()牛ds2ds〃/、fdt)2，/、d2t/、,,、dty(t)—+y(t)—=k(s)x(t)—*dsyds2ds一fdt¥X”(t)丁+X'(t)“/、*dsynK(s)=-—*'dty'(t)—ds2-x"(t)y'(t一fdt¥X”(t)丁+X'(t)“/、*dsynK(s)=-—*'dty'(t)—ds2-x"(t)y'(t)了fdtAx'(t)y”(t)3*dsyIy')2+(x')2均dsd2t

ds2fdtA2y”(t)工+y")

*dsyx‘(t)ddsd2tds2x'(t)y”(t)-x"(t)y^(t)

ty)2+(x')2垮由d=1r()1=\*x')2+(y')2,、x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)1

nk(s)=v,即tyy)2+(x')2Fxf(t)y”(t)-x"(t)y'(t)K(t)=3.设曲线C在极坐标下的表示为r=f(0)，证明曲线C的曲率表达式为f2(0)+2K(0)=f%]2-f(0)羿*d0yd02nr(0)=(f(0)cos0,f(0)sin0)nr'(0)=(f，(0)cos0-f(0)sin0,f，(0)sin0+f(0)cos0)r"(0)=(f，(0)cos0-f(0)sin0,f，(0)sin0+f(0)cos0)=(f"(0)cos0-2fr(0)sin0-f(0)cos0,f"(0)sin0+2fr(0)cos0-f(0)sin0)所以，X=f(0)cos0-f(0)sin0；y'=f(0)sin0+f(0)cos0；x"=f"(0)cos0-2f，(0)sin0-f(0)cos0；y"=f"(0)sin0+2f'(0)cos0-f(0)sin0。因此，xy"-x"y，=(f'(0)cos0-f(0)sin0)(f"(0)sin0+2f'(0)cos0-f(0)sin0)-(f，(0)sin0+f(0)cos0)(f"(0)cos0-2f'(0)sin0-f(0)cos0)=f2(0)+2(f'(0)》-f(0)f〃(0)(y')2+(x')2=(f'(0)cos0-f(0)sin0)2+(f'(0)sin0+f(0)cos0)2=(f(0))2+(f(0))2x，(0)x，(0)y〃(0)-x〃(0)y'(0)••K⑼=—7T3—*x')2+(y')2宜f2(0)+2-f(。)关d02f2(0)+4.求下列曲线的曲率与挠率：(4)r(t)=(at,i2aInt,—)(a>0)t解：r'(t)=(a,匹,-—),r〃(t)=(0,-匹,2—),r%)=(0,远,-竺)；t1212131314j2at\2a12ka(ga22a2-—=,—12"14132a13V2a2、t2\r'(t)|=\2a44a42a472a2J—++—=\18161414n|r'(t)ar"(t)=a2+止+竺=a(t2+1)121412.^2^=W(t2+1)14(r，,r”,r，住辛2a2、.:2a22*2a6a2寸2a(r，,r”,r，住辛1312131416所以，|r'(t)ar"(t)|k(t)=[\rf(t)|3旦(t2+1)旦(2+1)-14_=_J4=)223一竺们+1)一a(2+J；161三C"1)1|/(t)ar"(t)|2(r',r”,rT(t)=，，室(2+1)T=^2i14Ja(t2+15.证明：E3的正则曲线r(t)的曲率与挠率分别为k(t)=|rr()ar"(t)||r'(t)|3drdrdt,、./、,zxdt证明：；-=nt(s)=r(s)=r(t)厂dsdtdsds一(dt¥nt(s)=r"(t)--kdsJrdt¥n-(s)=r”，(t)^+3r〃(t)kdsJ根据弗雷内特标架运动方程/dtd2t，/、d3t+rf(t)—dsds2ds3t、r0k0、rt)n=-K0Tn，得:bJk0-T0/bkujd一dsIt(s)=k(s)n(s)nn(s)=—t(s)nb(s)=t(s)an(s)=^—(i(s)ai(s))

/X/X7X7X7/X/X7k(sk(sr，/•、出r、展ds+r'(t)判

ds2JJ(s)5J=^1=—(dt、3nk(s)=(r'(r)Ar"(r))|ds(r'Q)△尸”(，))(尸0)3"))|_|r(0Arr(O|(ds\|尸'(现dt)i(s)=k(s)〃(s)n?(s)=k(s)〃(s)+K(s)|(s)由n(s)=-k(s)t(s)+T(s)b(s)=>f(s)=k(s)〃(s)+K(s)(—K(s"(sJ+c(湎S))=k(s)〃(s)—k2(s)《s)+k(s)t(s)》(s)n<f(s),b(s)>=k(s)t(s)(出、3因为<?(s),b(s)>-</"(t)一+3r"(t)ydsJdtdu，/、d^t1—+mdsds2ds3K(s)\ds)K(S)[ds),\\r\r\rj所以，K(S)T(S)=k(5,)ydsJ(r\尸”,rK2(S)也)6_侦/〃,产)/‘Fyds)6.证明：曲线(1+s)：(1-s)S槌)以S为弧长参数，并求出它的曲率，挠率与Frenet标架。(1+s)；(l-s)：1-22亲)证明:1)/(s)=所以,”(s)|=(1+s)(1—s)1十十—42=1(—l<s<l)n该曲线以s为弧长参数。i(s)=尸"(s)=((1+况~4-、X("o=>K(S)=uV16(1+s)-*(l—s)-116—8(1-S2)..—1nn(s)-1(s)/k(s)-2(1-s)(1+s)2,2(1+s)(1-s)2,01(1+s1(1+s)21(1-s)212(1-s)(1+s)212(1+s)(1-s)2--72(1+s)(1-s)2也1-s)(1+s)2,4(1-s2)k由n(s)-b(S)-—V2(l+S)(1—S)2^2(!-s)(l+s)2,4(1-s2)2得t(s)=<t(s)=<n(s),b(s)><1+3s1-3s0]=<k^1+s，-也I.克(1+s)(1-s)2\'1+s-V2(1+s)(1-s)2,V2(1-s)(1+s)2,4(1-s2)27k1—3s12+r2(1-s)(1+s)2<1-s-克(1+3s)(1-s2)2+寸2(1-3s)(1-s2)2-2克(1-s2)2所以，2)K(s)=As<1)；-(s)==2、E-s2)2，(-1<s<1)。3)所求Frenet标架是｛r(s)；t(s),n(s),b(s)｝，其中TOC\o"1-5"\h\z11(-1<s<1)，(1+s)2(-1<s<1)，,22kn(s)-2(1-s)(1+s)2,2(1+s)(1-s)2,0(-1<s<1)k7Il1l11b(s)--V2(l+s)(1-s)2,V2(l-s)(1+s)2,4(1-S2)2(-1<s<1)。k10.设T(X)-XT+P是E3中的一个合同变换，detT=-1。r(t)是E3中的正则曲线。求

曲线r=Uorb(s)-解：(1)S(t)=加(匚切=JC北=J(七+P)北=j|r《)邛」|/(匚)dT=S(t)dVdV00000可见，r=Uor与曲线r除相差一个常数外，有相同的弧长参数。⑴-lr^(t)Ar^r(t)T八r\t)T|2)K(t)—|r‘(t)|3|rr(t)T|3|sgn(detT)(r，(t)ar"(t))T\r'(t)ar"(t)1,、——x(s)—Jcos(arctan已)ds—J—K(t)|r'(t)|3|r'(x(s)—Jcos(arctan已)ds—J¥(3)f(t)—3,r,r")—(r'T,rffT,rfffT)_<rfT,r〃TarfffT>\rf(t)ar(t)|a|r'(t)Tarff(t)T|2|r'(t)arff(t)|2—<rT,sgn(detT)(r"ar")T>_sgn(detT)<''T,sgn(detT)(r"ar〃)T>|r'(t)ar"(t)|2写|r'(t)ar"(t)|2<rT,(r〃ar")T><r',(r〃ar")>—sgn(detT)—sgn(detT)|rr(t)Ar"(t)|2rf(t)ar"(t)|2-sgn(detT—一±^2±—「(t)|rr(t)Ar"(t)|2|r'(t)ar"(t)|2可见，r—Uor与曲线r的曲率相差一个符号。aa13.(1)求曲率K(s)—(s是弧长参数)的平面曲线r(s)。a2+s2解：设所求平面曲线r(s)—(x(s),y(s))因为s是弧长参数，所以Ir'(s)I—1n(xf(s))2+(y'(s))2—1n可设x'(s)—cos0,x'(s)—sin0，由曲率的定义，知d0aaas——k(s)—nd0—dsn0—Jds—arctan—dsa2+s2a2+s2a2+s2ads1+tan2(arctan—)nx'(s)—cos(arctans),xr(s)ds1+tan2(arctan—)ds=iln(s++$2)l-cos2(arctan—)2ds=iln(s++$2)l-cos2(arctan—)2ds++S2),】Q2+$2yQ,2sin—22u)0可知,f=—十。4从而根据曲z,V3+cosz)TOC\o"1-5"\h\z11ds=f11dssec2(arctan—)2J1+tan2(arctan—)2aya=Jds=+S2Jq2+S2所以，所求平面曲线尸(S)=20.证明：曲线r(r)=(t+4sint.2cost,-sint)与曲线r(/)=(2cos是合同的。证明：1)对曲线C\r-r(r)作参数变换t=2u,贝ljr=(2cosw,2sinw,C是圆柱螺线(Q=2M=-2),它的曲率和挠率分别为£=•4因此，只要证明曲线C:r=r(0的曲率K二十，挠率G=-十，44线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合。2)下面计算曲线。的曲率K与挠率气o由/(t)=(1+\/3cosZ,-2sint.占一cost)nIrr(z)I=2>/2,进而r\t)=(-V3sint,-2cost.sint)n/(t)/\r〃(t)=(2V3cost-2,-4sinZ,-2V3-2cost)=-2(1-V3cosZ,2sinl/Q)x/Q)|=4很nK=-o4)1rw(0=(->/3cosz\2sint.cost)n/"))=-8nc=-―。421.证明：定理定理设K(S)>。是连续可微函数，则存在平面E2的曲线,(S),它以S为弧长参数，K(s)为曲率；上述曲线在相差一个刚体运动的意义下是唯一的。证明：先证明(1),为此考虑下面的一阶微分方程组dr瓦*i(()ded=k(s)%(s)de—sr=-k(s)e(s)s0e(a,b)

始条件：给定初值r。,e。,eo，其中L。,e。｝是E2中的一个与自然标架定向相同的正交标架，以及则由微分方程组理论得，(1.1)有唯一一组解《(s);ei(s),e2(s)｝满足初s=s0lr(s);e(s),e(s)Jl,,=lr0;e。,s0e(a,b)

始条件：s=s0若r(s)为所求曲线，则匕卜s),e2(s)｝必是它的Frenet标架。因此，我们首先证明~L(s),e(s)｝Vse(a,b)12均是与自然定向相同的正交标架。将微分方程组(1.1)改写成d~=迁ae(s),i=1,2j=1其中(a)=「°k⑴］。ij2x2|_-K(s)。」是一个反对称矩阵，即a+a=0i,j=1,2.令g(s)=<e(s),e(s)>(=g)i,j=1,2.ijijij对(1.3)求导，并利用(1.2)有:idsjdg(s)=dve(s),e(s)>=<de(s),e(s)>+<e(s),ge(s)>dsijdsijdsij=<e(s),e(s)>+<e(s),£ae(s)>kjijkkk=1=£a<e(s),e(s)>+£a<e(s),e(s)>ikkjjkikk=1k=1=£a<e(s),e(s)>+£a<e(s),e(s)>ikkjjkkik=1k=1i,j=1,2.=£(aikgkj(s)+a]kgklk=1(1.4)表明｛g(s)｝是微分方程组(1.5)iji,j=1,2(1.5)df(s)=£(af(s)+af(s))i,idsji,j=1,2.dsijdsijikkjjkkidsij11,i=j;定义8..=｛八..i=1,2.则lj10,i丰j.L0,i,j=1,2.且k=1d8dsij)=jkki£(a8+a8k=1d8dsij)=jkki£(a8+a8)=a+a=0,1kk11kk11111k=1£k=1£k=1£(a8+a8)=a+a=0,2kk22kk22222(a8+a8)=a+a1kk22kk11221(a8+a8)=a+a2kk11kk22112=£(a8+a8),i,j=1,2.ikkjjkkik=1=0,i=1,j=2=0,i=2,j=18ji=1,2.是微分方程组(1.5)的解。注意到：｛g(s)｝=*｝，所以｛g(s)｝ij0i,j=1,2iji,j=1,2iji,j=1,2满足初始条件｛g(s)｝=*｝的唯一解。从而ij0i,j=1,2iji,j=1,2所以，是微分方程组(1.5)g,,(s)三％,i,j=1,2.所以，H(s),UsJWe(",b)均是正交标架。由于F(s)=(e(s),e(s),e(s)ae(s))Vse(a,b)是关于s的连续函数，且TOC\o"1-5"\h\z1212F(s)=1或-1。故由F(s)=(e(s),e(s),e(s)ae(s))=1知，

010201020F(s)=(e(s),e(s),e(s)ae(s))=1,Vse(a,b)。1212可见，匕卜s),e2(s)}Vse(a,b)均是与自然定向相同的正交标架。dr

ds于是由微分方程组(1.1)有:dr

dsdr=e(s)=1，这表明s为弧长参数。从而由一=e(s)推出t(s)=e(s)是1ds11单位切向量。由d=K(s)e2(s)推出K(s)=de

—t

ds二|t单位切向量。由d=K(s)e2(s)推出K(s)=de

—t

ds二|t(s)\是曲线r(s)的曲率，从而由1=K(s)e(s)推出由n(s)==t(s)1=e(s)，即e(s)是单位正法向量。ds2K(s)K(s)ds22可见，微分方程组(1.1)的满足初始条件：｛r(s);e(s),e(s)｝l=｛r0；e0,e。｝12s=s°12唯一一组｛r(s);e1(s),e2(s)｝的确表明：存在平面E2的曲线r(s)，它以s为弧长参数，K(s)为曲率，当K(s)是连续可微函数时。再证明(2)：设［(s)与r(s)是平面E2中两条以s为弧长参数的曲线，且定义在同一个参数区间(a,b)上，K1(s)=k2(s)>0Vse(a,b)。则存在刚体运动T(X)=XT+P把曲线r(s)变为r(s)，即r=T。「。2112证明开始：设0e(a,b)，考虑两条曲线在s=0处的Frenet标架｛r(0);t(0),n(0)｝与｛r(0);t(0),n(0)｝。111222

则存在平面E2中一个刚体运动7’把第二个标架变为第一个标架，即r与Tor在s=0处12的Frenet标架重合。因此我们只须证明当曲线r2(s)与,(s)在s=0处的Frenet标架重合时，r=r。曲线Frenet标架的标架运动方程为dr/、=t(s)dsdt—=k(s)n(s)dsdn—=-k(s)t(s)ds~这是一个关于向量值函数r，t，n的常微分方程。曲线r(s)的Frenet标架与,(s)的Frenet标架都是微分方程组(1.6)的解。它们在s=0处重合就意味着这两组解在s=0的初值相等，由解对初值的唯一性定理立即得到r=二。定理证明完成。习题三(P68)2(1)r(u,v)=(a(u+v),b(u-v),4uv)是什么曲面x=a(u+v)-x2V2y=b(u-v)n—-一=zn马鞍面

a2b2z=4uvz.4.证明：曲面FU,—)=0的切平面过原点。xx一，Vz、证明：无妨假定方程F(▲,—)=0确定一个z=f(x,y)的隐函数，于是xxF-(VF-(Vz1F(y,-)=0n1xxyf1一号)+乌.[(-f+-fx]=0F「([)+F•("=0,yF+zF

f=——1axxF2F

—1

F2f=-yi设r(x,y)=(x,y,f(x,y))，则=(1,0,f)=(1,0,吃；私1x(xF}x271=(0,1,。=]0,1,-F1nr△rxykyF+zF

——12xF

2F—芦2fyF+zF

——12(xF2岂12所以，P(x,=(1,0,f)=(1,0,吃；私1x(xF}x271=(0,1,。=]0,1,-F1nr△rxykyF+zF

——12xF

2F—芦2fyF+zF

——12(xF2岂12yF+zFFyF+zFyF+zF左=———1(0—x)+1(0—y)+(0—z)=——121=0=右xF2F2F2F2所以结论为真。6.证明：曲面S在P点的切平面TS等于曲面上过P点的曲线在P点的切向量的全体。p证明：设曲面S的参数方程为r=r(u,v),(u,v)eD，PMr(u,v),(u,v)eD。令0000(u(t),v(t))为参数区域D中过(u0,v0)则的参数曲线，r(t)=r(u(t),v(t))为曲面上过P点的曲线。于是牛|=r(u,v)当+r(u,v)牛|dtpu00dtPv00dtP-都可由r(u,v)与r(u,v)线性表dtPu00v00TOC\o"1-5"\h\z_dr这表明曲线r(t)=r(u(t),v(t))过P点的切向量-_dr,_出。可见过尸点的切向量dtlp都在过尸点的切平面上。另一方面，对于任意切向量w=Xr(u,v)+Wr(u,v)eTS，u00v00P在参数区域D中取过%v0)且方向为'="口)的参数曲线(u(t),v(t))=(u+人t,v+Wt)则此时，r(t)=r(u(t),v-都可由r(u,v)与r(u,v)线性表dtPu00v00从而drd!=r(u,v)X+r(u,v)W=w。这表明：在P点的切平面抒中每一个向量都是过尸点的某一曲线的位于尸点的切向量。于是：曲面S在P点的切平面¥等于曲面上过尸点的曲线在尸点的切向量的全体。25.求双曲抛物面r(u,v)—(a(u+v),b(u-v),4uv)的Gauss曲率K，平均曲率H，主曲率k「k2和它们所对应的主方向.)E=a2+b2+16v2，F=a2一b2+16uv，G=a2+b2+16u2。2解：由r=(a,b,4v)，r=(a,-b,4u)nrar=2(2b(u+v),-2a(u一v),-ab)，n=』，(2b(u+v),-2a(u一v),)E=a2+b2+16v2，F=a2一b2+16uv，G=a2+b2+16u2。2-8ab由r=0，r=(0,0,4)，r=0nL=N=0,M=』。于是Gauss曲率K:a2b2vLN一M264a2ba2b2EG一F2平均曲率H:h=^MF_平均曲率H:h=^MF_EG一F28ab(a2一b2+16uv)ab(a2一b2+16uv)(EG一F2)3/24b2(u+v)2+4a2(u-v)2+2a2b23/2因为M<0，所以M2F2-(LN一M2)(EG一F2)M2EG八--―-—M、EH2一K=■>—-—勺—>0n'H2一K=，(EG-F2)(EG-F2)EG-F2所以主曲率k:1n'云一节-M(F+^EG)k=H+寸H2一K———Eg―F——-ab[(a2一b2+16uv)+J(a2+b2+16u2)(a2+b2+16v2)4b2(u+v)2+4a2(u一v)2+2a2b23/2对应的主方向为其中du:dv=-(Kg-M):(%E一L)=-(k/一M):%E，其中kf一M=—MF(F+#G)—M(EG一F2)=一MF^EG-MEG1_EG一F2—EG一F2=一M顽(F+E)egk.EG—F21所以du:dv=-<G:、〔E=fa2+b+4u2:侦a2+b+4v2。同理另一个主曲率K:同理2

K广H_、E=牛著abI(a2-b2+16uv)-J(a2+b2+16u2)(a2+b2+16v2)，[4b2(u+v)2+4a2(u—v)2+2a2b23/2对应的主方向为6u:6v=\G:写E=\-a2+b2+4u2:<a2+b2+4v2。W(r)=二W(rv)=W(rdu+r注：设W：TpS—TpS为外恩格尔登变换，则acbd(d]kdv=nu=aru+brv|n(W(r),W(r))=(r,r)=—n=cr+W(r)=二W(rv)=W(rdu+racbd(d]kdvac(du'_bd_kdv/,=(r,r)W(rdu+rdv)=K(rdu+rdv)=(r,r)kac(du'=(r,r)K(du'nac(du'=K（du、bdkdv/uvkdv/_bdkdv/kdv/v(du)、dv/uvuv(r,r)(du)kJ。a—kc](du)(0)d—』"k0Jab'=KLG—MF—KEG—F2ME—LFMG—NFEG—F2NE—MF—KEG—F2(LG—MF)—k(EG—F2)MG—NF一(du'=(0'ME—LFNE—MF—k(EG—F2)kdvJk0)(L—kE)G—F(M—kF)MG—NF一(du'（0）ME—LF(N—KG)E—F(M—KF)kdv/=0k0JEG—F2ooG—FIIL-kEM-kFIfdu-FE\\M-kFN-kGIIdv\f0、=J一0jG-FIIL-kEM-kFIfdu1oEG—F2\-FE\\M-kFN-kGRdv\f0、=J<0jEFI-1-L-kEM-kF-fdu'f0、FG\M-kF\N-kG"dvJ=<0jokE-LkF-M(du，f0、[dvJ=<0jkG-Nodu:dv=-(kF-M):(kE-L)=-(kG-N):(kF-M)。补充：定理(1)函数人是主曲率的充要条件是(2)方向d=du:dv是主方向的充要条件是Edu+FdvLdu+MdvFdu+GdvMdu+Ndv=0(WW)。证明：(1)设du::dv是对应的主方向，则有W(dr)=kdr，即-(ndu+ndv)=k(rdu+rdv)。分别用r,r与上式两边作内积，得Ldu+Mdv=k(Edu+Fdv)，Mdu+Ndv=k(Fdu+Gdv)。所以主方向du:dv满足J(人E-L)du+(人F-M)dv=0,j(XF-M)du+(kG-N)dv=0.由于du,dv不全为零，可得(2)在脐点，K=H2>0，M=HF，N=HG，方向。k=k=H。从而由II=HI可知L=HE，(WW)中的两个方程成为恒等式。此时，任何方向都是主dr与不平行。dn

dt在非脐点，分别用人=%和