浙江省宁波市2021-2022学年高三第三次测评数学试卷含解析

2022年高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．的展开式中的系数是-10，则实数()A．2 B．1 C．-1 D．-23．已知函数，则不等式的解集为（）A． B． C． D．4．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（）A． B． C． D．5．已知双曲线：，，为其左、右焦点，直线过右焦点，与双曲线的右支交于，两点，且点在轴上方，若，则直线的斜率为()A． B． C． D．6．已知集合，则集合真子集的个数为（）A．3 B．4 C．7 D．87．下列命题为真命题的个数是（）（其中，为无理数）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．38．已知数列的首项，且，其中，，，下列叙述正确的是（）A．若是等差数列，则一定有 B．若是等比数列，则一定有C．若不是等差数列，则一定有 D．若不是等比数列，则一定有9．下列函数中，在区间上为减函数的是（）A． B． C． D．10．若集合，，则=（）A． B． C． D．11．已知数列对任意的有成立，若，则等于（）A． B． C． D．12．在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，满足，，，则向量在的夹角为______.14．若非零向量，满足，，，则______.15．某公园划船收费标准如表：某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为______元，租船的总费用共有_____种可能.16．若,则=______,=______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)18．（12分）在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A”和“B”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p，选择错误的概率为q，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n道题后总得分为”.（1）当时，记，求的分布列及数学期望；（2）当，时，求且的概率.19．（12分）已知数列的通项，数列为等比数列，且，，成等差数列.（1）求数列的通项；（2）设，求数列的前项和.20．（12分）随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击．某杂志社近9年来的纸质广告收入如下表所示：根据这9年的数据，对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.243；根据后5年的数据，对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.984.（1）如果要用线性回归方程预测该杂志社2019年的纸质广告收入，现在有两个方案，方案一：选取这9年数据进行预测，方案二：选取后5年数据进行预测．从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？附：相关性检验的临界值表：（2）某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为，纸质版本和电子书同时购买的读者比例为，现用此统计结果作为概率，若从上述读者中随机调查了3位，求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率．21．（12分）已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前项和.求证：.22．（10分）如图，直三棱柱中，分别是的中点，.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由题意，若、的体积不相等，则、在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，、在等高处的截面积不恒相等，但、的体积可能相等，例如是一个正放的正四面体，一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以是的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.2．C【解析】

利用通项公式找到的系数，令其等于-10即可.【详解】二项式展开式的通项为，令，得，则，所以，解得.故选：C【点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.3．D【解析】

先判断函数的奇偶性和单调性，得到，且，解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为.因为，所以为上的偶函数，因为函数都是在上单调递减.所以函数在上单调递减.因为，所以，且，解得.故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．D【解析】

由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积．【详解】如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即＝60°，由底面边长为3得，∴．正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为，则由得，解得，∴．故选：D．【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键．5．D【解析】

由|AF2|＝3|BF2|，可得.设直线l的方程x＝my+，m＞0，设，，即y1＝﹣3y2①，联立直线l与曲线C,得y1+y2＝-②，y1y2＝③，求出m的值即可求出直线的斜率.【详解】双曲线C：，F1，F2为左、右焦点，则F2（，0），设直线l的方程x＝my+，m＞0，∵双曲线的渐近线方程为x＝±2y，∴m≠±2，设A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＞0，由|AF2|＝3|BF2|，∴，∴y1＝﹣3y2①由，得∴△＝（2m）2﹣4（m2﹣4）＞0，即m2+4＞0恒成立，∴y1+y2＝②，y1y2＝③，联立①②得，联立①③得，，即：，，解得：，直线的斜率为，故选D．【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题．6．C【解析】

解出集合，再由含有个元素的集合，其真子集的个数为个可得答案.【详解】解：由，得所以集合的真子集个数为个.故选：C【点睛】此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有个元素的集合，其真子集的个数为个，属于基础题.7．C【解析】

对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数，利用导数求得函数的最大值为，进而得到，即可判定是正确的.【详解】由题意，对于①中，由，可得，根据不等式的性质，可得成立，所以是正确的；对于②中，设函数，则，所以函数为单调递增函数，因为，则又由，所以，即，所以②不正确；对于③中，设函数，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以，即，即，所以是正确的.故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.8．C【解析】

根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.【详解】A：当时，，显然符合是等差数列，但是此时不成立，故本说法不正确；B：当时，，显然符合是等比数列，但是此时不成立，故本说法不正确；C：当时，因此有常数，因此是等差数列，因此当不是等差数列时，一定有，故本说法正确；D：当时，若时，显然数列是等比数列，故本说法不正确.故选：C【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.9．C【解析】

利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性，进而可得出结果.【详解】对于A选项，函数在区间上为增函数；对于B选项，函数在区间上为增函数；对于C选项，函数在区间上为减函数；对于D选项，函数在区间上为增函数.故选：C.【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.10．C【解析】试题分析：化简集合故选C．考点：集合的运算．11．B【解析】

观察已知条件，对进行化简，运用累加法和裂项法求出结果.【详解】已知，则，所以有，，，，两边同时相加得，又因为，所以.故选：【点睛】本题考查了求数列某一项的值，运用了累加法和裂项法，遇到形如时就可以采用裂项法进行求和，需要掌握数列中的方法，并能熟练运用对应方法求解.12．D【解析】

根据空间向量的线性运算，用作基底表示即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知因为,，则即，故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

把平方利用数量积的运算化简即得解.【详解】因为，，，所以，∴，∴，因为所以.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算法则，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．1【解析】

根据向量的模长公式以及数量积公式，得出，解方程即可得出答案.【详解】，即解得或（舍）故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.15．36010【解析】

列出所有租船的情况，分别计算出租金，由此能求出结果.【详解】当租两人船时，租金为：元，当租四人船时，租金为：元，当租1条四人船6条两人船时，租金为：元，当租2条四人船4条两人船时，租金为：元，当租3条四人船2条两人船时，租金为：元，当租1条六人船5条2人船时，租金为：元，当租2条六人船2条2人船时，租金为：元，当租1条六人船1条四人船3条2人船时，租金为：元，当租1条六人船2条四人船1条2人船时，租金为：元，当租2条六人船1条四人船时，租金为：元，综上，租船最低总费用为360元，租船的总费用共有10种可能.故答案为：360，10.【点睛】本小题主要考查分类讨论的数学思想方法，考查实际应用问题，属于基础题.16．10【解析】

①根据换底公式计算即可得解；②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解.【详解】①由题：,则；②由①可得：.故答案为：①1，②0【点睛】此题考查对数的基本运算，涉及换底公式和同底对数加法运算，属于基础题目.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(Ⅰ)万；(Ⅱ)分布列见解析，；(Ⅲ)【解析】

(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ)的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为，故，解得答案.【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.(Ⅱ)8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.，，.故分布列为：.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为，故，故.故的最小值为.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18．（1）见解析，0（2）【解析】

（1）即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题都答对,答对2道答错1道,答对1道答错2道,3道题都答错,进而求解即可；（2）当时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又,则第一题答对,第二题第三题至少有一道答对,进而求解.【详解】解:（1）的取值可能为,,1,3,又因为,故,,,,所以的分布列为：13所以（2）当时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又已知,第一题答对,若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题；若第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对题，此时的概率为（或）.【点睛】本题考查二项分布的分布列及期望,考查数据处理能力,考查分类讨论思想.19．（1）；（2）.【解析】

（1）根据，，成等差数列以及为等比数列，通过直接对进行赋值计算出的首项和公比，即可求解出的通项公式；（2）的通项公式符合等差乘以等比的形式，采用错位相减法进行求和.【详解】（1）数列为等比数列，且，，成等差数列.设数列的公比为，，，解得（2），，，，.【点睛】本题考查等差、等比数列的综合以及错位相减法求和的应用，难度一般.判断是否适合使用错位相减法，可根据数列的通项公式是否符合等差乘以等比的形式来判断.20．（1）选取方案二更合适；（2）【解析】

(1)可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据，而后5年的数据得到的相关系数的绝对值，所以有的把握认为与具有线性相关关系，从而可得结论；(2)求得购买电子书的概率为,只购买纸质书的概率为,购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：3人购买电子书，2人购买电子书一人只购买纸质书，由此能求出购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.【详解】（1）选取方案二更合适，理由如下：①题中介绍了，随着电子阅读的普及，传统纸媒受到了强烈的冲击，从表格中的数据中可以看出从2014年开始，广告收入呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据.②相关系数越接近1，线性相关性越强，因为根据9年的数据得到的相关系数的绝对值，我们没有理由认为与具有线性相关关系；而后5年的数据得到的相关系数的绝对值，所以有的把握认为与具有线性相关关系.(2)因为在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为，纸质版本和电子书同时购买的读者比例为，所以从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位，购买电子书的概率为，只购买纸质书的概率为，购买电子书人数多于只购买