2023学年度教案-基本不等式答案

答案与评分标准一、选择题（共20小题）1、已知函数f（x）=x+﹣1，当0＜|x|＜1，0＜|t|≤1时，|t+x|+|t﹣x|与|f（tx+1）|的大小关系是（） A、|t+x|+|t﹣x|＜|f（tx+1）| B、|t+x|+|t﹣x|≤|f（tx+1）| C、|t+x|+|t﹣x|＞|f（tx+1）| D、|t+x|+|t﹣x|≥|f（tx+1）|考点：带绝对值的函数；基本不等式。专题：计算题；数形结合。分析：设M（x）=|t+x|+|t﹣x|，由于M（﹣x）=M（x），故它是偶函数，画出其图象如图所示，结合图象得当0＜|x|＜1，0＜|t|≤1时，|t+x|+|t﹣x|＜2；又设N（x）=|f（tx+1）|，由于N（﹣x）=N（x），故它也是偶函数，当0＜t≤1，0＜x＜1时，N（x）=tx+利用基本不等式得出N（x）有最小值2．从而得出答案．解答：解：设M（x）=|t+x|+|t﹣x|，由于M（﹣x）=M（x），故它是偶函数，其图象如图所示，它在[﹣1，1]上的最大值为2，故当0＜|x|＜1，0＜|t|≤1时，|t+x|+|t﹣x|＜2；又设N（x）=|f（tx+1）|=|tx+|，由于N（﹣x）=N（x），故它也是偶函数，当0＜t≤1，0＜x＜1时，N（x）=tx+≥2，故当0＜|x|＜1，0＜|t|≤1时，N（x）=|f（tx+1）|≥2，所以，当0＜|x|＜1，0＜|t|≤1时，|t+x|+|t﹣x|＜|f（tx+1）|．故选A．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．2、实数a、b满足a＞b＞0，集合，，则集合可表示为（） A、M∪N B、M∩N C、CRM∩N D、M∩CRN考点：交、并、补集的混合运算；基本不等式。专题：计算题。分析：先利用均值不等式，得，再利用集合的补集的定义求出CRN，利用两个集合的交集的定义求出M点评：本题考查基本不等式、集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出CRN={x|x≤，或x≥a}，是解题的关键．3、命题p：在△ABC中，∠C＞∠B是sinC＞sinB的充分必要条件；命题q：a＞b是ac2＞bc2的充分不必要条件（） A、p真q假 B、p假q真 C、“p或q”为假 D、“p且q”为真考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性。专题：计算题。分析：先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．解答：解：在△ABC中，若∠C＞∠B，根据大角对大边，可得c＞b再由正弦定理边角互化，可得sinC＞sinB反之也成立．故命题p：在△ABC中，∠C＞∠B是sinC＞sinB的充分必要条件是真命题由a＞b，当C=0时，ac2＞bc2不一定成立，但若ac2＞bc2成立，C≠0，则a＞b成立故命题q：a＞b是ac2＞bc2的必要不充分条件即p真q假故选A点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．4、下列函数中，y的最小值为4的是（） A、 B、 C、 D、y=ex+4e﹣x考点：函数的值域；函数的最值及其几何意义；基本不等式。分析：本题每个选项中都是可以利用基本不等式求最值的形式，只要验证“一正，二定，三相等”即可．解答：解：A中，因为0＜sinx＜1，故“=”取不到；B中不满足x＞0；C中，当且仅当时取等号，此时x不存在；故选D．点评：本题考查利用基本不等式求最值的条件，属基本题．5、已知三个函数①y=x+，②y=sinx+（0＜x＜π），③y=log3x+logx81（x＞1），其中函数的最小值为4的函数是（） A、① B、② C、③ D、①②③都不是考点：函数的值域；基本不等式。专题：计算题。分析：对于①，取特殊值x=﹣1时，y=﹣5显然最小值不是4，对于②最小值取4时sinx=2，这不可能，对于③根据基本不等式成立的条件直接运用基本不等式即可求出最小值．

6、设，则下列大小关系成立的是（） A、 B、 C、 D、考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；基本不等式。专题：探究型。分析：根据题意，将f（x）变形为f（x）=，由单调性的性质分析可得f（x）=为减函数，由不等式的性质可得当0＜a＜b时，a＜＜＜b成立，结合f（x）的单调性，可得f（a）＞f（）＞f（）＞f（b），分析选项可得答案．解答：解：f（x）==，令t=，易得t＞0且t为增函数，则f（x）=为减函数，又由0＜a＜b，可得a＜＜＜b，则有f（a）＞f（）＞f（）＞f（b），故选D．点评：本题考查函数单调性的判断与应用，解题的关键在于判断出函数f（x）的单调性．7、给出下列四个命题：①若函数f（x）=a（x3﹣x）在区间（，）为减函数，则a＞0；②函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是；③当x＞0且x≠1时，有；④函数中，幂函数有2个．所有正确命题的个数是（） A、1 B、2 C、3 D、4考点：函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；幂函数的概念、解析式、定义域、值域；基本不等式。专题：计算题。分析：对于①若函数f（x）=a（x3﹣x）在区间（，）为减函数，则f′（x）＜0在区间（，）上恒成立，即可求得a的范围；对于②当a＞0时，函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是；对于③当x＞0且x≠1时，因lnx不一定大于0，故不一定有；对于④函数中，幂函数有y=x2，y=x，共2个．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．8、已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（） A、2 B、4 C、8 D、16考点：函数恒成立问题；基本不等式；不等式。专题：计算题。分析：要使不等式恒成立，即左边的最小值大于等于8﹣a，将左边展开利用基本不等式求出左边的最小值，列出不等式解得．解答：解：因为，当且仅当，时等号成立，又．正实数a，对任意正实数x，y恒成立，所以．解得16≥a≥4．故a的最小值为4．故选B．点评：本题考查利用基本不等式求函数最值要注意满足的条件：一正、二定、三相等．9、已知函数f（x）=（）x，a，b∈R+，A=f（），B=f（），C=f（），则A、B、C的大小关系为（） A、A≤B≤C B、A≤C≤B C、B≤C≤A D、C≤B≤A考点：指数函数的单调性与特殊点；基本不等式。专题：证明题；函数思想。分析：先明确函数f（x）=（）x是一个减函数，再由基本不等式明确，，三个数的大小，然后利用10、若0＜a＜b，且a+b=1，则下列各式中最大的是（） A、﹣1 B、log2a+log2 C、log2b D、log2（a3+a2b+ab2+b3）考点：对数的运算性质；基本不等式。专题：常规题型。分析：本题将﹣1变为，根据0＜a＜b，且a+b=1知b，a故log2b＞﹣1，log2a＜﹣1，故log2a+log2b+1＜log2b，故只需要比较b与a3+a2b+ab2+b3的大小，根据0＜a＜b，且a+b=1，知a3+a2b+ab2+b3=a2+b2，而b=b（a+b），0＜a＜b即得b＞a2+b2即可解答：解：∵0＜a＜b，且a+b=1∴b∴log2b＞=﹣1∵0＜a＜b，且a+b=1∴a∴log2a＜﹣1∴log2a+log2b+1＜log2b∵0＜a＜b，且a+b=1∴a3+a2b+ab2+b3=a2+b2∴b﹣（a2+b2）=b（a+b）﹣a2+b2=ab﹣a2=a（b﹣a）＞0∴log2b＞log2（a3+a2b+ab2+b3）故选C点评：本题考查了对数的运算性质，基本不等式，还有对“1”的灵活应用，属于基础题．11、已知函数F（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（） A、 B、 C、（3，+∞） D、[3，+∞）考点：对数的运算性质；函数的值域；函数的单调性及单调区间；基本不等式。专题：计算题；转化思想。分析：由题意f（a）=f（b），求出ab的关系，然后利用“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，确定a+2b的取值范围．解答：解：因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b=又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．故选C．点评：本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b=，从而错选A，这也是命题者的用苦良心之处．12、若0＜a＜l＜b，则（） A、a2+b2＜a3+b3 B、a2+b2＞a3+b3 C、logab+logba≥2 D、logab+logba≤﹣213、已知函数f（x）=2x反函数为f﹣1（x），若f﹣1（m）+f﹣1（n）=2，则的最小值为（） A、 B、 C、1 D、2考点：反函数；基本不等式。专题：计算题。分析：本题考查反函数的概念、反函数的求法、指数式和对数式的互化、对数的运算、由基本不等式求最值等相关知识．根据y=2x可得f﹣1（x）的解析式，由此代入f﹣1（m）+f﹣1（n）=2可得a、b的关系式，根据基本不等式即可得到最小值．解答：解：由y=2x解得：x=log2y∴函数f（x）=2x的反函数为f﹣1（x）=log2x，x＞0由f﹣1（m）+f﹣1（n）=2得：log2m+log2n=2即：log2mn=2∴mn=4∴则的最小值为1故选C．点评：本题小巧灵活，用到的知识比较丰富，具有综合性特点，涉及了反函数、指数式和对数式的互化、对数的运算、由基本不等式求最值等多方面的知识，是这些内容的有机融合，思维密度较大；解题中用注意对数的运算公式化简log2a+log2b=4得a、b的关系式．14、已知函数f（x）=2x的反函数为y=f﹣1（x）．若f﹣1（a）+f﹣1（b）=4，则的最小值为（） A、 B、 C、 D、1考点：反函数；基本不等式。专题：计算题。分析：本题考查反函数的概念、反函数的求法、指数式和对数式的互化、对数的运算、由基本不等式求最值等相关知识．根据y=2x可得f﹣1（x）的解析式，由此代入f﹣1（a）+f﹣1（b）=4可得a、b的关系式，根据基本不等式即可得到最小值．15、用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（） A、3 B、4 C、6 D、12考点：函数模型的选择与应用；基本不等式。专题：应用题。分析：根据题意先设隔墙的长为x，算出矩形面积，再利用二次函数在某区间上的最值问题即可求得使矩形的面积最大时，隔墙的长度．解答：解：设隔墙的长为x（0＜x＜6），矩形面积为y，y=x×=2x（6﹣x），∴当x=3时，y最大．故选A．点评：本小题主要考查基本不等式、函数模型的选择与应用等基础知识，属于基础题．16、下列命题中正确的是（） A、若a，b，c∈R，且a＞b，则ac2＞bc2 B、若a，b∈R且a•b≠0则 C、若a，b∈R且a＞|b|，则an＞bn（n∈N+） D、若a＞b，c＞d，则考点：不等关系与不等式；基本不等式。专题：证明题。分析：A、B、D三个选项分别令a、b、c、d取特殊值，可知它们不正确；C、根据a＞b＞0时，则an＞bn（n∈N+），故正确；解答：解：A、c=0时，有ac2=bc2，故不正确；B、、未必同时＞0，如令a=1，b=﹣1，则B+=﹣2＜2，故不正确；C、根据a＞b＞0时，则an＞bn（n∈N+），故正确；D、令a═1，b=0，c=1，d=﹣1，则结论不成立．故选C．点评：考查不等式的基本性质，和利用基本不等式求最值，应注意正、定、等，注意要说明一个命题不正确时，只要举出一个反例即可，属基础题．17、0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则下式中最大的是（） A、a2+b2 B、a+b C、2ab D、2

18、若a，b∈R+，且，，则M与N的大小关系是（） A、M＞N B、M＜N C、M≥N D、M≤N考点：不等式比较大小；基本不等式。专题：证明题。分析：由a≠b，a，b∈R+，可得，相加整理可得要证的结论．解答：解：∵a≠b，∴，∴，即，即M＞N．故选：A．点评：本题主要考查不等式比较大小的方法，考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键．19、函数y=ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0上，其中m、n＞0，则的最小值为（） A、 B、3 C、 D、6考点：一元二次不等式的应用；指数函数的图像与性质；基本不等式。专题：计算题。分析：最值问题长利用均值不等式求解，适时应用“1”的代换是解本题的关键．函数y=ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，知A（1，1），点A在直线mx+ny﹣1=0上，得m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，下用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．解答：解：由已知定点A坐标为（1，1，由点A在直线mx+ny﹣1=0上，∴m+n﹣1=0，即m+n=1，又mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴=，当且仅当时取等号．故选C．点评：均值不等式是不等式问题中的确重要公式，应用十分广泛．在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．当均值不等式中等号不成立时，常利用函数单调性求最值．也可将已知条件适当变形，再利用均值不等式，使得等号成立．有时也可利用柯西不等式以确保等号成立，取得最值．20、设x，y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最大值是（） A、3 B、4 C、5 D、6考点：简单线性规划；基本不等式。专题：计算题。分析：先画出约束条件所表示的平面区域，然后平移直线y=﹣2x，观察直线在y轴上的截距，即可求出最大值．解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：平移直线y=﹣2x由图易得，当x=3，y=0时，目标函数z=2x+y的最大值为6故选D．点评：本题主要考查的知识点是简单的线性规划，画出满足约束条件的可行域是关键，属于基础题．二、填空题（共5小题）21、有以下4个命题：①若，则a﹣c＞b﹣d；②若a≠0，b≠0，则；③两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等；④过点（x0，y0）与圆x2+y2=r2相切的直线方程是x0x+y0y=r2．其中错误命题的序号是①④．（把你认为错误的命题序号都填上）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式；圆的切线方程；不等式的基本性质。专题：常规题型。分析：根据不等式的基本性质可以得到第一个命题正确，根据基本不等式成立的条件可以得到第二个不正确，根据两条直线平行的充要条件知第三个命题不正确，根据圆的切线方程得到第四个正确．解答：解：①若，则a＞b，﹣c＞﹣d则a﹣c＞b﹣d；故①正确②若a≠0，b≠0，则；缺少两个式子都是正值，故②不正确．③两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等，且截距不等，故③不正确，④过点（x0，y0）与圆x2+y2=r2相切的直线方程是x0x+y0y=r2．④正确，综上可知①④正确，故答案为：①④点评：本题考查命题真假的判断，本题解题的关键是对于所给的几个不同的知识点要正确理解，本题是一个基础题．22、函数y=ex+e﹣x（e是自然对数的底数）的值域是[2，+∞）．

23、函数的值域是[6，+∞）．考点：函数的值域；基本不等式。专题：计算题。分析：由基本不等式：，容易求得函数的值域，要注意“=”成立的条件．解答：解：函数变形为，y=x+=（x+2）+﹣2；∵x∈（﹣2，+∞），∴x+2≥0；∴函数y≥﹣2，当且仅当x+2=，即x=2时，取“=”，y≥．故答案为：[6，+∞）点评：本题是借助基本不等式求函数的值域，是基础题目．24、若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过同一个定点，则当+取最小值时，函数f（x）的解析式是f（x）=（2﹣2）x+1+1．考点：函数解析式的求解及常用方法；基本不等式。专题：计算题；数形结合。分析：解决问题的关键是求出参数a的值，由直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过同一个定点，得该定点的坐标是（﹣1，2），从而知a+2b=2，变形得a+b=1，再用1的变换将+构造成可用基本不等式求最值的形式，利用等号相等的条件得到参数a，b的另一个方程，与a+2b=2联立求得a值，即可求得函数解析式．解答：解：函数f（x）=ax+1+1的图象恒过（﹣1，2），故a+b=1，∴+=（a+b）（+）=++≥+．当且仅当b=a时取等号，将b=a代入a+b=1得a=2﹣2，故f（x）=（2﹣2）x+1+1．故答案应为：f（x）=（2﹣2）x+1+1点评：本题考点是选定系数法求函数的解析式，本题综合性较强涉及到了指数函数的性质，基本不等式求最小值，知识覆盖广，技巧性强，应仔细体会各个知识之间的转化连接点．25、函数的最小值为．考点：函数的最值及其几何意义；基本不等式。专题：计算题。分析：先利用配凑法将函数式配成积为定值，再利用基本不等式进行放缩，即可求得函数的最小值．三、解答题（共5小题）26、求函数的值域．考点：函数的值域；基本不等式。专题：计算题。分析：考虑到和函数的两个和式的积为常数，故可利用基本不等式求其最值，从而得到函数的值域，注意讨论x的正负．解答：解：当x＞0时y=x+≥2=2，当且仅当x=1取等号，当x＜0时y=﹣（﹣x﹣）≤﹣2=﹣2，当且仅当x=1取等号，∴函数y=x+的值域为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）点评：本题以两个常用函数的和函数为载体考查函数的值域，属于利用基本不等式求函数的最值问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．27、已知，且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4（这里a、b为常数）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的值域．考点：函数解析式的求解及常用方法；基本不等式。专题：计算题。分析：（1）由f（x）解析式得方程，把方程的解代入得关于a，b的方程组，求出a，b即可．（2）由（1）得f（x）解析式，用分离系数法把式子进行整理，再用均值不等式求式子的范围，分成两类得到两个范围，取并集．解答：解：（1）依已知条件可知方程f（x）﹣x+12=0即为，因为x1=3，x2=4是上述方程的解，所以，解得，所以函数的解析式为（2）因为，当，当且仅当x=4时取等号，所以y≤﹣8当，当且仅当x=0时取等号，所以y≥0所以函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣8]∪[0，+∞）．点评：用待定系数法求函数解析式是一种常用的，重要的方法，是基本技能，傎域就是由自变量的范围得到整个式子的范围，利用均值不等式时，应注意一定二正三相等．28、已知函数．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，求证：ab＞1；（2）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值；若不存在，请说明理由．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值域；基本不等式。专题：计算题。分析：（1）由f（a）=f（b），推得0＜a＜1＜b，且，再利用基本不等式即可得到结论．（2）先假设存在满足条件的实数a，b，由于f（x）是绝对值函数，则分当a，b∈