不等关系与不等式答案

答案与评分标准一、选择题（共20小题）1、若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（）A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式。专题：计算题。分析：因为“0＜ab＜1”⇒“a＜”或“b＞”．“a＜”或“b＞”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的充分而不必要条件．解答：解：∵a、b为实数，0＜ab＜1，∴“0＜a＜”或“0＞b＞”∴“0＜ab＜1”⇒“a＜”或“b＞”．“a＜”或“b＞”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查充分分条件、必要条件和充要条件，解题时要注意基本不等式的合理运用．2、对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

3、已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（）A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式。分析：由题意看命题“a＞b”与命题“a﹣c＞b﹣d”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解答：解：∵a﹣c＞b﹣d，c＞d两个同向不等式相加得a＞b但c＞d，a＞b⇒a﹣c＞b﹣d．例如a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣3时，a﹣c＜b﹣d．故选B．点评：此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．4、已知a，b∈R+，那么“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的（）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式。专题：计算题。分析：本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题．在解答时，要先判断准条件和结论并分别是什么．然后结合不等式的知识分别由条件推结论和由结论推条件，看是否正确即可获得问题解答．解答：解：由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题．在解答的过程当中充分体现了不等式的知识、充要条件的判断问题以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．5、设a，b为正实数，则“a＜b”是“”成立的（）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件点评：本题考查条件问题，本题解题的关键是需要用不等式的基本性质写出由一个推出另一个的方法，要严格按照不等式基本性质来写．6、已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象过点（﹣1，3）和（1，1），若0＜c＜1，则实数a的取值范围是（）A、[2，3] B、[1，3]C、（1，2） D、（1，3）考点：函数解析式的求解及常用方法；不等关系与不等式。专题：计算题。分析：由图象过两点建立a、b、c的关系式，得到关于a的不等式，解此不等式即可．解答：解：由题意：得b=﹣1，∴a+c=2．又0＜c＜1，∴0＜2﹣a＜1，∴1＜a＜2．故选C点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，以及不等关系的应用，属于基础题7、设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（）A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件考点：不等关系与不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的单调性。分析：xsin2x＜1，xsinx＜1是不一定成立的．不等关系0＜sinx＜1的运用，是解决本题的重点．解答：解：因为0＜x＜，所以0＜sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，结合xsin2x与xsinx的取值范围相同，可知“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的必要而不充分条件故选B．点评：本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题．8、设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A、b﹣a＞0 B、a3+b3＜0C、a2﹣b2＜0 D、b+a＞0

9、已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A、a2＜b2 B、ab2＜a2bC、 D、考点：不等关系与不等式。分析：这类题可以运用排除法，取特值．解答：解：若a，b＜0⇒a2＞b2，A不成立；若，B不成立；若a=1，b=2，则，所以D不成立，故选C点评：考查了不等式成立的条件，一定要细心10、如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是（）A、 B、C、a2＜b2 D、|a|＞|b|考点：不等关系与不等式。专题：计算题。分析：根据已知条件分别对A、B、C、D，四个选项利用特殊值代入进行求解．解答：解：A、如果a＜0，b＞0，那么，∴，故A正确；B、取a=﹣2，b=1，可得＞，故B错误；C、取a=﹣2，b=1，可得a2＞b2，故C错误；D、取a=﹣，b=1，可得|a|＜|b|，故D错误；故选A．点评：此题考查不等关系与不等式，利用特殊值法进行求解更加简便，此题是一道基础题．11、若a＞0，b＞0，则不等式﹣b＜＜a等价于（）A、＜x＜0或0＜x＜ B、﹣＜x＜C、x＜﹣或x＞ D、x＜或x＞考点：不等关系与不等式。专题：计算题。分析：由题意不等式﹣b＜＜a，然后再进行等价变换，进行移项、通分，然后进行求解．

12、设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A、|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c| B、C、 D、13、对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（）A、sin（α+β）＞sinα+sinβ B、sin（α+β）＞cosα+cosβC、cos（α+β）＜sinα+sinβ D、cos（α+β）＜cosα+cosβ考点：不等关系与不等式；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数。专题：证明题。分析：对于A，B中的α，β可以分别令为30°，60°验证即可，对于C中的α，β可以令他们都等于15°，验证即可，对于D我们可以用放缩法给出证明cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ解答：解：对于AB中的α，β可以分别令为30°，60°则知道A，B均不成立对于C中的α，β可以令他们都等于15°，则知道C不成立cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ故选D点评：本题考查了两角和与差的正余弦公式，同时也考查了放缩法对命题的证明，属于基础题．14、如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（）A、ab＞ac B、c（b﹣a）＞0C、cb2＜ab2 D、ac（a﹣c）＜0考点：不等关系与不等式。专题：常规题型。分析：本题根据c＜b＜a，可以得到b﹣a与a﹣c的符号，当a＞0时，则A成立，c＜0时，B成立，又根据ac＜0，15、已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：（1）若ab＞0，bc﹣ad＞0，则﹣＞0；（2）若ab＞0，﹣＞0，则bc﹣ad＞0；（3）若bc﹣ad＞0，﹣＞0，则ab＞0，其中正确命题的个数是（）A、0 B、1C、2 D、3考点：不等关系与不等式。专题：计算题。分析：本题就是ab＞0，bc﹣ad＞0，﹣＞0三个结论之间轮换，知二推一，利用不等关系证明即可．解答：解：对于（1）∵ab＞0，bc﹣ad＞0将不等式两边同时除以ab∴﹣＞0所以（1）正确对于（2）∵ab＞0，﹣＞0将不等式两边同时乘以ab∴bc﹣ad＞0所以（2）正确对于（3）∵﹣＞0∴又∵bc﹣ad＞0∴ab＞0所以（3）正确故选D点评：本题考查不等式与不等关系的灵活运用，以及不等式的性质，属于基础题．16、设a，b，c，d∈R．且a＞b，c＞d，且下列结论中正确的是（）A、a+c＞b+d B、a﹣c＞b﹣dC、ac＞bd D、17、若a、b为实数，则a＞b＞0是a2＞b2的（）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既非充分条件也非必要条件考点：不等关系与不等式。分析：当a，b＞0时，由题意解出a2＞b2为a＞b或a＜﹣b，然后再判断命题的关系；解答：解：若a＞0，b＞0，∵a2＞b2，∴a2﹣b2＞0，∴a＞b或a＜﹣b，∴a＞b＞0⇒a2＞b2，反之则不成立，∴a＞b＞0是a2＞b2的充分不必要条件，故选A．点评：此题主要考查不等式与不等关系之间的联系，此题可以举反例进行求解．18、若a＞b，则下列不等式正确的是（）A、 B、a3＞b3C、a2＞b2 D、a＞|b|考点：不等关系与不等式。专题：证明题。分析：用特殊值法，令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得即可得答案．解答：解：∵a＞b，令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：=﹣1，=﹣，显然A不正确．a3=﹣1，b3=﹣6，显然B正确．a2=1，b2=4，显然C不正确．a=﹣1，|b|=2，显然D不正确．故选B．点评：通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．19、设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A、 B、C、|a|＞﹣b D、考点：不等关系与不等式。分析：利用不等式的基本性质可逐个判断．解答：解：∵a＜b＜0，∴，A正确，﹣a＞﹣b＞0，，B正确，|a|＞|b|=﹣b，C正确；，故D不正确．故选D．点评：本题考查不等式的基本性质，考查学生运用不等式性质解决问题的能力，是容易题．20、已知不等式|a﹣2x|＞x﹣1，对任意x∈[0，2]恒成立，则a的取值范围为（）A、（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞） B、（﹣∞，2）∪（5，+∞）C、（1，5） D、（2，5）

二、填空题（共5小题）21、设方程2lnx=7﹣2x的解为x0，则关于x的不等式x﹣2＜x0的最大整数解为4．考点：函数的零点；函数零点的判定定理；不等关系与不等式。专题：计算题。分析：由方程2Inx=7﹣2x的解为x0，我们易得函数y=2Inx﹣7+2x的零点为x0，根据函数零点的判定定理，我们可得x0∈（2，3），根据不等式的性质我们易求出等式x﹣2＜x0的最大整数解．解答：解：∵方程2Inx=7﹣2x的解为x0，∴x0为函数函数y=2Inx﹣7+2x的零点由函数y=2Inx在其定义域为单调递增，y=7﹣2x在其定义域为单调递减，故函数函数y=2Inx﹣7+2x至多有一个零点由f（2）=2In2﹣7+2×2＜0f（3）=2In3﹣7+2×3＞0故x0∈（2，3），则x﹣2＜x0可化为x＜x0+2则满足条件的最大整数解为4故答案：4点评：本题考查的知识点是函数零点的判断定理，及不等式的性质，其中根据零点存在定理，求出x0∈（2，3）是解答本题的关键．22、下列命题：①若a＞b，则ac2＞bc2；②若ac2＞bc2，则a＞b；③若a＞b，c＞d则a﹣d＞b﹣c；④若a＞b，则a3＞b3；⑤若a＞b，则lg（a2+1）＞lg（b2+1），⑥若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；⑦若a＜b＜0，则|a|＞|b|；⑧若a＜b＜0，则；⑨若a＞b且，则a＞0，b＜0；⑩若c＞a＞b＞0，则；其中正确的命题是②③④⑥⑦⑨⑩．考点：不等关系与不等式。专题：阅读型。分析：对于命题①②③⑥⑨利用作差法找到已知式子的等价变形的式子，借助于不等式的基本性质加以判断，对于④直接利用不等式的指数性质即可判断，对于⑤利用对数函数的单调性加以判断即可，对于⑦由于a＜b＜0，利用绝对值的意义即可判断|a|＞|b|是正确的，对于⑧采用分式作差并通分技巧可以做出判断，对于⑩若c＞a＞b＞0对于要证明的式子利用不等式的性质构造一些不等式，在利用不等式的性质即可加以推得．解答：解：对于①②中ac2＞bc2⇔（a﹣b）c2＞0⇔，对于①若a＞b，当c=0时，就得不到ac2＞bc2，所以①错；对于②已知ac2＞bc2，说明c≠0，只能得到a＞b，所以②正确；对于③∵c＞d∴﹣c＜﹣d又由于⇒a﹣d＞b﹣c，有不等式的同向可加性质可以知道③正确；对于④，利用不等式的指数性质可知④正确；对于⑤，由于a＞b，不知道a，b的正负，所以a2与b2的大小不能确定，在利用对数函数的单调性可知⑤得到大小不确定，所以⑤错误；对于采用分析法⑥要求证a2＞ab＞b2⇔⇔∵a＜b＜0∴a﹣b＜0，可以知道此题正确；对于⑦由于a＜b＜0，利用绝对值的意义即可判断|a|＞|b|是正确的；对于⑧若a＜b＜0，则，因为＞0由于a＜b＜0，所以ab＞0，且b2＜a2则推出，所以⑧错；对于⑩若c＞a＞b＞0，所以c﹣a＞0且c﹣b＞0且c﹣b＞c﹣a＞0⇒又由于a＞b＞0，有不等式的正直同向可乘性质可以得到，所以正确；故答案为②③④⑥⑦⑨⑩．点评：此题考查了不等式的基本性质，对数函数的单调性质，还考查了证明不等式时的等价变形及作差的技巧，还考查了绝对值的意义．23、给出下列命题：①若a＞b，则＜；②若a＞b，且k∈N*，则ak＞bk；③若ac2＞bc2，则a＞b；④若c＞a＞b＞0，则＞．其中假命题是①②（只需填序号）．考点：不等关系与不等式。专题：阅读型。分析：对与①由于a，b∈R，且a＞b，所以可以取a＞0＞b即可；对与②由于a＞b，且k∈N*，则ak＞bk当a，b不取正数即可判断；对与③由于ac2＞bc2⇔（a﹣b）c2＞0，所以可以c﹣a＞0知道c2＞0，进而可以判断；对与④由于利用基本不等式，借助要证式子先得到c﹣a＞0，及a＞b＞0，利用不等式具有正向可乘性即可加以判断．

24、某高校录取新生对语文、数学、英语的高考分数的要求是：①语文不低于70分；②数学应高于80分；③三科成绩之和不少于230分．若张三被录取到该校，则该同学的语、数、英成绩x、y、z应满足的约束条件是．考点：不等关系与不等式。专题：探究型。分析：根据该同学的语、数、英成绩x、y、z，理解某高校录取新生对语文、数学、英语的高考分数的要求，列出关于x、y、z的不等关系即可．解答：解：根据题意，得：该同学的语、数、英成绩x、y、z应满足的约束条件是，故答案为：．点评：读懂题意，抓住关键词语，弄清不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．25、b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为．考点：不等关系与不等式。专题：计算题。分析：根据“甜度”的定义，先表示出“甜度”为的b千克糖水中加入m（m＞0）千克糖时的“甜度”：是，再由“糖水会更甜”，可知此时糖水的“甜度”大于原来糖水的“甜度”，即．

三、解答题（共5小题）26、已知函数y=f（x）和y=g（x）的图象关于y轴对称，且f（x）=2x2﹣4x（1）求函数y=g（x）的解析式；（2）解不等式；考点：函数解析式的求解及常用方法；不等关系与不等式。专题：计算题。分析：（1）若函数f（x）与g（x）关于y轴对称，y=g（x）图象上任意一点P（x，y）关于y轴对称的点（﹣x，y）在y=f（x），代入可求的得函数y=g（x）的解析式（2）把y=f（x），y=g（x）的解析式代入可得绝对值不等式2x2≤x﹣1|，解不等式求解集解答：解：（1）设函数y=g（x）图象上任意一点P（x，y），由已知点P关于y轴对称点P'（﹣x，y）一定在函数y=f（x）图象上，代入得y=2x2+4x，所以g（x）=2x2+4x4分（2）⇔2x2≤|x﹣1|或或（12分）点评：本题考查了函数的对称性，两个函数y=f（x），y=g（x）关于直线l对称，则函数y=f（x）上的任意一定关于l对称的点都在y=g（x）上；解绝对值不等式的关键是去绝对值，需要采用分类讨论．27、已知函数f（x）=ex﹣1（e是自然对数的底数）．（1）证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立；（2）数列{}（n∈N+）的前n项和为Tn，求证：Tn＜．考点：函数单调性的判断与证明；不等关系与不等式。分析：（1）对函数h（x）=f（x）﹣x进行求导，通过判断函数h（x）的增减性求出其最小值大于等于0即可．（2）由（1）可得不等式ex﹣1≥x成立，转化可得，表示出Tn将代入即可得到答案．解答：解：（I）设h（x）=f（x）﹣x=ex﹣1﹣x∴h'（x）=ex﹣1﹣1，当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，当x=1时，