2021年圆的标准方程教案

2021年圆的标准方程教案2021年圆的标准方程教案1教学目标（一）知识目标.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。（二）能力目标.进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力；.通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力；.通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。（三）情感目标通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理论于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。教学重、难点(一)教学重点圆的标准方程的理解、掌握。(二)教学难点圆的标准方程的应用。教学方法选用引导?探究式的教学方法。教学手段借助多媒体进行辅助教学。教学过程I.复习提问、引入课题师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x,y)；②写出适合某种条件p的点M的集合P={M?p(M)}；③用坐标表示条件，列出方程f(x,y)=0；④化简方程f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点(一般省略)。［多媒体演示］师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。［给出标题］师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：x2+y2=52即x2+y2=25.若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？生：x2+y2=r2.师:你是怎样得到的？（引导启发）圆上的点满足什么条件？生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即，亦即x2+y2=r2.师：x2+y2=r2表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为r.有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至C（a,b）点（如图），方程又是怎样的？生：此圆是到点C（a,b）的距离等于半径r的点的集合，由两点间的距离公式得BP：（x-a）2+（y-b）2=r2n.讲授新课、尝试练习师：方程(x-a)2+(y-b)2=r2叫做圆的标准方程.特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2.师：圆的标准方程由哪些量决定？生：由圆心坐标(a,b)及半径r决定。师：很好！实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见，要确定圆的方程，只需确定a、b、「这三个独立变量即可。1、写出下列各圆的标准方程：［多媒体演示］①圆心在原点，半径是3：②圆心在点C(3,4),半径是：③经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)：2、变式题［多媒体演示］①求以C(1,3)为圆心，并且和直线3乂-4丫-7=0相切的圆的方程。答案：(x-1)2+(y-3)2=②已知圆的方程是(x-a)2+y2=a2，写出圆心坐标和半径。答案：C(a,0),r=|aIII.例题分析、巩固应用师：下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.［例1］已知圆的方程是x2+y2=17,求经过圆上一点P(,)的切线的方程。师：你打算怎样求过P点的切线方程？生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求。师：斜率怎样求？生.：OOOOOO师：已知条件有哪些？能利用吗？不妨结合图形来看看(如图)生：切线与过切点的半径垂直，故斜率互为负倒数半径OP的斜率K1=,所以切线的斜率K=—=—所以所求切线方程：y-二一(x-)即：x+y=17(教师板书)师：对照圆的方程x2+y2=17和经过点P(,)的切线方程x+y=17,你能作出怎样的猜想？生.：OOOOOO师：由x2+y2=17怎样写出切线方程乂+丫=17,与已知点P(,)有何关系？(若看不出来，再看一例)［例1/］圆的方程是x2+y2=13,求过此圆上一点(2,3)的切线方程。答案：2x+3y=13即：2x+3y—13=0师：发现规律了吗？(学生纷纷举手回答)生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程。师：若将已知条件中圆半径改为r,点改为圆上任一点(xo,yo)，则结论将会发生怎样的变化？大胆地猜一猜！生：xox+yoy=r2.师：这个猜想对不对？若对，可否给出证明？生.：oo［例2］已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点P（xo,yo）的切线的方程。解：如图（上一页），因为切线与过切点的半径垂直，故半径OP的斜率与切线的斜率互为负倒数・•半径OP的斜率K1=，，切线的斜率K=—=—••所求切线方程：y-yo=—（x-xo）即：xox+yoy=xo2+yo2亦即：xox+yoy=r2.（教师板书）当点P在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。归纳总结：圆的方程可看成x.x+y.y寸2,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo替换，可得到切线方程［例3］右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20M,拱高OP=4M,在建造时每隔4M需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度。（精确到0.01M）引导学生分析，共同完成解答。师生分析：①建系；②设圆的标准方程（待定系数）；③求系数（求出圆的标准方程）；④利用方程求A2P2的长度。解：以AB所在直线为X轴，。为坐标原点，建立如图所示的坐标系。则圆心在丫轴上，设为(0,b)，半径为r,那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.・・P(0,4),B(10,0)都在圆上，于是得到方程组：解得：b=-10.5,r2=14.52•・圆的方程为x2+(y+10.5)2=14.52.将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程且取y>0得：y=10.5=3.86(M)答：支柱A2P2的长度约为3.86M。W.课堂练习、课时小结课本P77练习2,3师：通过本节学习，要求大家掌握圆的标准方程，理解并掌握切线方程的探求过程和方法，能运用圆的方程解决实际问题.V.问题延伸、课后作业(一)若P(xo,yo)在圆(x—a)2+(y-b)2=r2上时，？求过P点的圆的切线方程。课本P81习题7.7:1,2,3,4(二)预习课本P77〜P792021年圆的标准方程教案2一、教材分析—将在上章学习了直线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。二、教学目标1、知识目标：使学生掌握圆的标准方程并依据不同条件求得圆的方程。2、能力目标：(1)使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。(2)体会数形结合思想，形成代数方法处理几何问题能力⑶培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。三、重点、难点、疑点及解决办法1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确。2、难点：圆的方程的应用。3、解决办法充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。四、学法在课前必须先做好充分的预习，让学生带着疑问听课，以提高听课效率。采取学生共同探究问题的学习方法。五、教法先让学生带着问题预习课文，对圆的方程有个初步的认识，在教学过程中，主要采用启发性原则，发挥学生的思维能力、空间想象能力。在教学中，还不时补充练习题，以巩固学生对新知识的理解，并紧紧与考试相结合。六、教学步骤（一）导入新课首先让学生回顾上一章的直线的方程是怎么样求出的。（二）讲授新课1、新知识学习在学生回顾确定直线的要素—一两点（或者一点和斜率）确定一条直线的基础上，回顾确定圆的几何要素一一圆心位置与半径大小，即圆是这样的一个点的集合在平面直角坐标系中，圆心可以用坐标表示出来，半径长是圆上任意一点与圆心的距离，根据两点间的距离公式，得到圆上任意一点的坐标满足的关系式。经过化简，得到圆的标准方程2、知识巩固学生口答下面问题1、求下列各圆的标准方程。圆心坐标为（-4,-3）半径长度为6；圆心坐标为（2,5）半径长度为3；2、求下列各圆的圆心坐标和半径。3、知识的延伸根据“曲线与方程”的意义可知，坐标满足方程的点在曲线上，坐标不满足方程的点不在曲线上，为了使学生体验曲线和方程的思想，加深对圆的标准方程的理解，教科书配置了例1。例1要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想，根据圆的坐标及半径写方程—一从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上一一从代数到几何。（三）知识的运用例2给出不在同一直线上的三点，可以画出一个三角形，三角形有唯一的外接圆，因此可以求出他的标准方程。由于圆的标准方程含有三个参数，，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆。引导学生找出求三个参数的方法，让学生初步体验用“待定系数法”求曲线方程这一数学方法的使用过程（四）小结一、知识概括1、圆心为，半径长度为的圆的标准方程为2、判断给出一个点，这个点与圆什么关系。3、怎样建立一个坐标系，然后求出圆的标准方程。4、思想方法（1）建立平面直角坐标系，将曲线用方程来表示，然后用方程来研究曲线的性质，这是解析几何研究平面图形的基本思路，本节课的学习对于研究其他圆锥曲线有示范作用。（2）曲线与方程之间对立与统一的关系正是“对立统一”的哲学观点在教学中的体现。五、布置作业（第127页2、3、4题）2021年圆的标准方程教案31。教学目标（1）知识目标：1。在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程;2。会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件写出圆的方程。(2)能力目标：1。进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；2。使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；3。增强学生用数学的意识。(3)情感目标:培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。2。教学重点。难点(1)教学重点：圆的标准方程的求法及其应用。(2)教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。3。教学过程(一)创设情境(启迪思维)问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2。7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道？［引导］画图建系［学生活动］:尝试写出曲线的方程（对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习）解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在直线为x轴,建立直角坐标系，则半圆的方程为x2y2=16（yZ0）将x=2。7代入，得。即在离隧道中心线2。7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。（二）深入探究（获得新知）问题二：1。根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程？答:x2y2=r22。如果圆心在，半径为时又如何呢？［学生活动］探究圆的方程。［教师预设］方法一:坐标法如图,设M（x,y）是圆上任意一点,根据定义点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合P={MMC=r}由两点间的距离公式,点M适合的条件可表示为①把①式两边平方,得(x?a)2(y?b)2=r2方法二：图形变换法方法三：向量平移法(三)应用举例(巩固提高)2021年圆的标准方程教案4.教学目标(1)知识目标：1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；.会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件写出圆的方程.(2)能力目标：1.进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；.使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；.增强学生用数学的意识.(3)情感目标:培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣..教学重点.难点（1）教学重点：圆的标准方程的求法及其应用.（2）教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题..教学过程（一）创设情境（启迪思维）问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道？［引导］画图建系［学生活动］:尝试写出曲线的方程（对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习）解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径ab所在直线为x轴,建立直角坐标系，则半圆的方程为x2y2=16（yZ0）将x=2.7代入,得.即在离隧道中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。（二）深入探究（获得新知）问题二:1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为的圆的方程？答:x2y2=r22.如果圆心在，半径为时又如何呢？［学生活动］探究圆的方程。［教师预设］方法一:坐标法如图,设m（x,y）是圆上任意一点,根据定义点m到圆心c的距离等于r,所以圆c就是集合p={m||mc|二r}由两点间的距离公式,点m适合的条件可表示为①把①式两边平方，得（x-a）2（y-b）2=r2方法二：图形变换法方法三：向量平移法（三）应用举例（巩固提高）.直接应用（内化新知）问题三:1.写出下列各圆的方程（课本p77练习1）⑴圆心在原点，半径为3;⑵圆心在，半径为⑶经过点，圆心在点..根据圆的方程写出圆心和半径⑴；（2）.ii.灵活应用（提升能力）问题四：1.求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程.［教师引导］由问题三知：圆心与半径可以确定圆..已知圆的方程为，求过圆上一点的切线方程.［学生活动］探究方法［教师预设］方法一:待定系数法（利用几何关系求斜率-垂直）方法二:待定系数法（利用代数关系求斜率-联立方程）方法三:轨迹法（利用勾股定理列关系式）［多媒体课件演示］方法四:轨迹法（利用向量垂直列关系式）.你能归纳出具有一般性的结论吗？已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：.iii.实际应用（回归自然）问题五:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度ab=20m,拱高op=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱的长度(精确到0.01m).［多媒体课件演示创设实际问题情境］(四)反馈训练(形成方法)问题六:1.求以c(-1,-5)为圆心,并且和y轴相切的圆的方程..已知点a(-4,-5),b(6,-1)，求以ab为直径的圆的方程..求圆x2y2=13过点(-2,3)的切线方程..已知圆的方程为，求过点的切线方程.2021年圆的标准方程教案5教学目标：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。2、会用待定系数法求圆的标准方程。教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。教学过程：（一）、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探索研究：（二）、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A（a，b），半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M（x，y）为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r}，由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件①化简可得：②引导学生自己证明为圆的方程，得出结论。方程②就是圆心为A（a，b），半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。（三）、知识应用与解题研究例1.（课本例1）写出圆心为，半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上。分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。探究：点与圆的关系的判断方法：（1）＞，点在圆外（2）二，点在圆上（3）〈，点在圆内解：例2.（课本例2）的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程。师生共同分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆。从圆的标准方程可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数。解：例3.（课本例3）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在上，求圆心为的圆的标准方程。师生共同分析：如图，确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小。圆心为的圆经过点和，由于圆心与人，B两点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上，因此圆心是直线与直线m的交点，半径长等于或。解：总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例2、例3可得出圆的标准方程的两种求法：1、根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到的值，写出圆的标准方程。②、根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程。（四）、课堂练习（课本P120练习1,2,3,4）归纳小结：1、圆的标准方程。2、点与圆的位置关系的判断方法。3、根据已知条件求圆的标准方程的方法。作业布置：课本习题4。1A组第2,3,4题。课后记：2021年圆的标准方程教案61、教学目标（1）知识目标：1、在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；2、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程；3、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。（2）能力目标：1、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；2、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；3、增强学生用数学的意识。（3）情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。2、教学重点、难点（1）教学重点：圆的标准方程的求法及其应用。（2）教学难点：①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。3、教学过程（一）创设情境（启迪思维）问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2。7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？［引导］:画图建系［学生活动］:尝试写出曲线的方程（对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习）解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=16（yZ0）将x=2。7代入，得即在离隧道中心线2。7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。（二）深入探究（获得新知）问题二：1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程？答：x2+y2=r22、如果圆心在，半径为时又如何呢？［学生活动］:探究圆的方程。［教师预设］:方法一：坐标法如图，设M（x，y）是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合P={M||MC|=r}由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为①把①式两边平方，得（x—a）2+（y—b）2=r2方法二：图形变换法方法三：向量平移法（三）应用举例（巩固提高）I.直接应用（内化新知）问题三：1、写出下列各圆的方程（课本P77练习1）（1）圆心在原点，半径为3；（2）圆心在，半径为（3）经过点，圆心在点2、根据圆的方程写出圆心和半径II.灵活应用（提升能力）问题四：1、求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。［教师引导］由问题三知：圆心与半径可以确定圆。2、求过点，圆心在直线上且与轴相切的圆的方程。［教师引导］应用待定系数法寻找圆心和半径。3、已知圆的方程为，求过圆上一点的切线方程。［学生活动］探究方法［教师预设］方法一：待定系数法（利用几何关系求斜率一垂直）方法二：待定系数法（利用代数关系求斜率一联立方程）方法三：轨迹法（利用勾股定理列关系式）［多媒体课件演示］方法四：轨迹法（利用向量垂直列关系式）4、你能归纳出具有一般性的结论吗？已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：III.实际应用（回归自然）问题五：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度(精确到0。01m)。［多媒体课件演示创设实际问题情境］(四)反馈训练(形成方法)问题六：1、求以C(—1,—5)为圆心，并且和丫轴相切的圆的方程。2、已知点A(—4,—5),B(6,—1),求以AB为直径的圆的方程。3、求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程。4、求圆x2+y2=13过点P(-2,3)的切线方程。5、已知圆的方程为，求过点的切线方程。(五)小结反思(拓展引申)1、课堂小结：(1)知识性小结：①圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程为：当圆心在原点时，圆的标准方程为：②已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是:（2）方法性小结：①求圆的方程的方法：I。找出圆心和半径；II。待定系数法②求解应用问题的一般方法2、分层作业：（A）巩固型作业：课本P81—82：（习题7。6）1、2、4（B）思维拓展型作业：试推导过圆上一点的切线方程。3、激发新疑：问题七：1、把圆的标准方程展开后是什么形式？2、方程：的曲线是什么图形？设计说明圆是学生比较熟悉的曲线。初中平面几何对圆的基本性质作了比较