平面向量基本定理

..平面向量基本定理教学目标1．了解基底的含义,理解平面向量基本定理,会用基底表示平面内任一向量．<重点>2．掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．<难点>3．两个向量的夹角与两条直线所成的角．<易混点>[基础·初探]教材整理1平面向量基本定理阅读教材P93至P94第六行以上内容,完成下列问题．1．定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a＝λ1e1＋λ2e2．2．基底：不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．判断<正确的打"√",错误的打"×"><1>一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．<><2>若e1,e2是同一平面内两个不共线向量,则λ1e1＋λ2e2<λ1,λ2为实数>可以表示该平面内所有向量．<><3>若ae1＋be2＝ce1＋de2<a,b,c,d∈R>,则a＝c,b＝d.<>解：<1>错误．根据基底的概念可知,平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底．<2>正确．根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1,e2线性表示．<3>错误．当e1与e2共线时,结论不一定成立．[答案]<1>×<2>√<3>×教材整理2两向量的夹角与垂直阅读教材P94第六行以下至例1内容,完成下列问题．1.夹角：已知两个非零向量a和b,作eq\o<OA,\s\up6<→>>＝a,eq\o<OB,\s\up6<→>>＝b,则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角<如图2－3－1所示>．图2－3－1<1>范围：向量a与b的夹角的范围是0°≤θ≤180°．<2>当θ＝0°时,a与b同向；当θ＝180°时,a与b反向．2．垂直：如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b．如图2－3－2,在△ABC中,eq\o<AC,\s\up6<→>>,eq\o<AB,\s\up6<→>>的夹角与eq\o<CA,\s\up6<→>>,eq\o<AB,\s\up6<→>>的夹角的关系为________．图2－3－2解：根据向量夹角定义可知向量eq\o<AB,\s\up6<→>>,eq\o<AC,\s\up6<→>>夹角为∠BAC,而向量eq\o<CA,\s\up6<→>>,eq\o<AB,\s\up6<→>>夹角为π－∠BAC．故二者互补．[答案]互补[小组合作型]用基底表示向量<1>已知AD是△ABC的BC边上的中线,若eq\o<AB,\s\up6<→>>＝a,eq\o<AC,\s\up6<→>>＝b,则eq\o<AD,\s\up6<→>>＝<>A．eq\f<1,2><a－b> B．－eq\f<1,2><a－b>C．－eq\f<1,2><a＋b> D．eq\f<1,2><a＋b><2>如图2－3－3,设点P,Q是线段AB的三等分点,若eq\o<OA,\s\up6<→>>＝a,eq\o<OB,\s\up6<→>>＝b,则eq\o<OP,\s\up6<→>>＝________,eq\o<OQ,\s\up6<→>>＝________.<用a,b表示>图2－3－3用基底表示平面向量,要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则．解：<1>如图所示,因为eq\o<AE,\s\up6<→>>＝eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\o<AC,\s\up6<→>>＝2eq\o<AD,\s\up6<→>>,所以eq\o<AD,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2><a＋b>．<2>eq\o<OP,\s\up6<→>>＝eq\o<AP,\s\up6<→>>－eq\o<AO,\s\up6<→>>＝eq\f<1,3>eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\o<OA,\s\up6<→>>＝eq\f<1,3><eq\o<OB,\s\up6<→>>－eq\o<OA,\s\up6<→>>>＋eq\o<OA,\s\up6<→>>＝eq\f<2,3>eq\o<OA,\s\up6<→>>＋eq\f<1,3>eq\o<OB,\s\up6<→>>＝eq\f<2,3>a＋eq\f<1,3>b,eq\o<OQ,\s\up6<→>>＝eq\o<AQ,\s\up6<→>>－eq\o<AO,\s\up6<→>>＝eq\f<2,3>eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\o<OA,\s\up6<→>>＝eq\f<2,3><eq\o<OB,\s\up6<→>>－eq\o<OA,\s\up6<→>>>＋eq\o<OA,\s\up6<→>>＝eq\f<1,3>eq\o<OA,\s\up6<→>>＋eq\f<2,3>eq\o<OB,\s\up6<→>>＝eq\f<1,3>a＋eq\f<2,3>b.[答案]<1>D<2>eq\f<2,3>a＋eq\f<1,3>beq\f<1,3>a＋eq\f<2,3>b平面向量基本定理的作用以及注意点：<1>根据平面向量基本定理,任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量,实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的加减法运算．<2>要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,利用已知向量表示未知向量,或找到已知向量与未知向量的关系,用方程的观点求出未知向量．[再练一题]1．已知△ABC中,D为BC的中点,E,F为BC的三等分点,若eq\o<AB,\s\up6<→>>＝a,eq\o<AC,\s\up6<→>>＝b用a,b表示eq\o<AD,\s\up6<→>>,eq\o<AE,\s\up6<→>>,eq\o<AF,\s\up6<→>>.图2－3－4[解]eq\o<AD,\s\up6<→>>＝eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\o<BD,\s\up6<→>>＝eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\f<1,2>eq\o<BC,\s\up6<→>>＝a＋eq\f<1,2><b－a>＝eq\f<1,2>a＋eq\f<1,2>b；eq\o<AE,\s\up6<→>>＝eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\o<BE,\s\up6<→>>＝eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\f<1,3><b－a>＝eq\f<2,3>a＋eq\f<1,3>b；eq\o<AF,\s\up6<→>>＝eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\o<BF,\s\up6<→>>＝eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\f<2,3>eq\o<BC,\s\up6<→>>＝a＋eq\f<2,3><b－a>＝eq\f<1,3>a＋eq\f<2,3>b.向量的夹角问题<1><2016·XX高一检测>已知向量a,b,c满足|a|＝1,|b|＝2,c＝a＋b,c⊥a,则a,b的夹角等于________．<2>若a≠0,b≠0,且|a|＝|b|＝|a－b|,求a与a＋b的夹角．可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决．解：<1>作eq\o<BC,\s\up6<→>>＝a,eq\o<CA,\s\up6<→>>＝b,则c＝a＋b＝eq\o<BA,\s\up6<→>><如图所示>,则a,b夹角为180°－∠C．因为|a|＝1,|b|＝2,c⊥a,所以∠C＝60°,所以a,b的夹角为120°.[答案]120°<2>由向量运算的几何意义知a＋b,a－b是以a、b为邻边的平行四边形两条对角线．如图,∵|a|＝|b|＝|a－b|,∴∠BOA＝60°.又∵eq\o<OC,\s\up6<→>>＝a＋b,且在菱形OACB中,对角线OC平分∠BOA,∴a与a＋b的夹角是30°.两向量夹角的实质与求解方法：<1>两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角,结合平面几何知识加以解决．<2>求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合,作出两个向量的夹角,按照"一作二证三算"的步骤求出．[再练一题]2．已知|a|＝|b|＝2,且a与b的夹角为60°,则a＋b与a的夹角是________,a－b与a的夹角是________.解：如图所示,作eq\o<OA,\s\up6<→>>＝a,eq\o<OB,\s\up6<→>>＝b,则∠AOB＝60°,以OA,OB为邻边作▱OACB,则eq\o<OC,\s\up6<→>>＝eq\o<OA,\s\up6<→>>＋eq\o<OB,\s\up6<→>>＝a＋b,eq\o<BA,\s\up6<→>>＝eq\o<OA,\s\up6<→>>－eq\o<OB,\s\up6<→>>＝a－b,eq\o<BC,\s\up6<→>>＝eq\o<OA,\s\up6<→>>＝a.因为|a|＝|b|＝2,所以△OAB为正三角形,所以∠OAB＝60°＝∠ABC,即a－b与a的夹角为60°.因为|a|＝|b|,所以平行四边形OACB为菱形,所以OC⊥AB,所以∠COA＝90°－60°＝30°,即a＋b与a的夹角为30°.[答案]30°60°[探究共研型]平面向量基本定理的综合应用探究1在向量等式eq\o<OP,\s\up6<→>>＝xeq\o<OA,\s\up6<→>>＋yeq\o<OB,\s\up6<→>>中,若x＋y＝1,则三点P、A、B具有什么样的位置关系？[提示]三点P、A、B在同一直线上．在向量等式eq\o<OP,\s\up6<→>>＝xeq\o<OA,\s\up6<→>>＋yeq\o<OB,\s\up6<→>>中,若x＋y＝1,则P,A,B三点共线；若P,A,B三点共线,则x＋y＝1.探究2如图2－3－5所示,有点O,A,D,B,以OA和OB为邻边作一平行四边形ADBO,将此平行四边形的各边所在直线延长,将平面分成9部分,对于平面上任一向量eq\o<OC,\s\up6<→>>,存在唯一有序实数对<x,y>,使eq\o<OC,\s\up6<→>>＝xeq\o<OA,\s\up6<→>>＋yeq\o<OB,\s\up6<→>>成立．图2－3－5对于点C的位置与实数x,y的取值情况需分几种讨论？[提示]需分12种情况．<1>点C与点O重合,则x＝y＝0.<2>点C与点A重合,则x＝1,y＝0.<3>点C与D重合,则x＝y＝1.<4>点C与点B重合,则x＝0,y＝1.<5>点C在直线OA上,则x∈R,y＝0.<6>点C在直线AD上,则x＝1,y∈R.<7>点C在直线BD上,则x∈R,y＝1.<8>点C在直线OB上,则x＝0,y∈R.<9>点C在直线OD上,则x＝y.<10>点C在直线AB上,则x＋y＝1.<11>点C在①②③区域上,则x>1；点C在④⑤⑥区域上,则0<x<1；点C在⑦⑧⑨区域上,则x<0.<12>点C在①④⑦区域上,则y<0；点C在②⑤⑧区域上,则0<y<1；点C在③⑥⑨区域上,则y>1.如图2－3－6所示,在△OAB中,eq\o<OA,\s\up6<→>>＝a,eq\o<OB,\s\up6<→>>＝b,点M是AB的靠近B的一个三等分点,点N是OA的靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P,求eq\o<OP,\s\up6<→>>.图2－3－6可利用eq\o<OP,\s\up6<→>>＝teq\o<OM,\s\up6<→>>及eq\o<OP,\s\up6<→>>＝eq\o<ON,\s\up6<→>>＋eq\o<NP,\s\up6<→>>＝eq\o<ON,\s\up6<→>>＋seq\o<NB,\s\up6<→>>两种形式来表示eq\o<OP,\s\up6<→>>,并都转化为以a,b为基底的表达式．根据任一向量基底表示的唯一性求得s,t,进而求得eq\o<OP,\s\up6<→>>.解：eq\o<OM,\s\up6<→>>＝eq\o<OA,\s\up6<→>>＋eq\o<AM,\s\up6<→>>＝eq\o<OA,\s\up6<→>>＋eq\f<2,3>eq\o<AB,\s\up6<→>>＝eq\o<OA,\s\up6<→>>＋eq\f<2,3><eq\o<OB,\s\up6<→>>－eq\o<OA,\s\up6<→>>>＝eq\f<1,3>a＋eq\f<2,3>b.因为eq\o<OP,\s\up6<→>>与eq\o<OM,\s\up6<→>>共线,故可设eq\o<OP,\s\up6<→>>＝teq\o<OM,\s\up6<→>>＝eq\f<t,3>a＋eq\f<2t,3>b.又eq\o<NP,\s\up6<→>>与eq\o<NB,\s\up6<→>>共线,可设eq\o<NP,\s\up6<→>>＝seq\o<NB,\s\up6<→>>,eq\o<OP,\s\up6<→>>＝eq\o<ON,\s\up6<→>>＋seq\o<NB,\s\up6<→>>＝eq\f<3,4>eq\o<OA,\s\up6<→>>＋s<eq\o<OB,\s\up6<→>>－eq\o<ON,\s\up6<→>>>＝eq\f<3,4><1－s>a＋sb,所以eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<\f<3,4>〔1－s＝\f<t,3>,,s＝\f<2,3>t,>>解得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<t＝\f<9,10>,,s＝\f<3,5>,>>所以eq\o<OP,\s\up6<→>>＝eq\f<3,10>a＋eq\f<3,5>b.1．任意一向量基底表示的唯一性的理解：条件一平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1,e2条件二a＝λ1e1＋μ1e2且a＝λ2e1＋μ2e2结论eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<λ1＝λ2,,μ1＝μ2>>2.任意一向量基底表示的唯一性的应用：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1,e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1,λ2时有两种方法：<1>直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理．<2>利用待定系数法,即利用定理中λ1,λ2的唯一性列方程组求解．[再练一题]3．如图2－3－7所示,在△ABC中,点M是AB的中点,且eq\o<AN,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2>eq\o<NC,\s\up6<→>>,BN与CM相交于E,设eq\o<AB,\s\up6<→>>＝a,eq\o<AC,\s\up6<→>>＝b,试用基底a,b表示向量eq\o<AE,\s\up6<→>>.图2－3－7解：易得eq\o<AN,\s\up6<→>>＝eq\f<1,3>eq\o<AC,\s\up6<→>>＝eq\f<1,3>b,eq\o<AM,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2>eq\o<AB,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2>a,由N,E,B三点共线,设存在实数m,满足eq\o<AE,\s\up6<→>>＝meq\o<AN,\s\up6<→>>＋<1－m>eq\o<AB,\s\up6<→>>＝eq\f<1,3>mb＋<1－m>a.由C,E,M三点共线,设存在实数n满足：eq\o<AE,\s\up6<→>>＝neq\o<AM,\s\up6<→>>＋<1－n>eq\o<AC,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2>na＋<1－n>b.所以eq\f<1,3>mb＋<1－m>a＝eq\f<1,2>na＋<1－n>b,由于a,b为基底,所以eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<1－m＝\f<1,2>n,,\f<1,3>m＝1－n,>>解之得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<m＝\f<3,5>,,n＝\f<4,5>,>>所以eq\o<AE,\s\up6<→>>＝eq\f<2,5>a＋eq\f<1,5>b.[构建·体系]1．<2016·XX高一检测>已知平行四边形ABCD,则下列各组向量中,是该平面内所有向量基底的是<>A．eq\o<AB,\s\up6<→>>,eq\o<DC,\s\up6<→>> B．eq\o<AD,\s\up6<→>>,eq\o<BC,\s\up6<→>>C．eq\o<BC,\s\up6<→>>,eq\o<CB,\s\up6<→>> D．eq\o<AB,\s\up6<→>>,eq\o<DA,\s\up6<→>>解：由于eq\o<AB,\s\up6<→>>,eq\o<DA,\s\up6<→>>不共线,所以是一组基底．[答案]D2．已知向量a＝e1－2e2,b＝2e1＋e2,其中e1,e2不共线,则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是<>A．不共线 B．共线C．相等 D．不确定解：∵a＋b＝3e1－e2,∴c＝2<a＋b>,∴a＋b与c共线．[答案]B3．如图2－3－8,在矩形ABCD中,若eq\o<BC,\s\up6<→>>＝5e1,eq\o<DC,\s\up6<→>>＝3e2,则eq\o<OC,\s\up6<→>>＝<>图2－3－8A．eq\f<1,2><5e1＋3e2> B．eq\f<1,2><5e1－3e2>C．eq\f<1,2><3e2－5e1> D．eq\f<1,2><5e2－3e1>解：eq\o<OC,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2>eq\o<AC,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2><eq\o<BC,\s\up6<→>>＋eq\o<AB,\s\up6<→>>>＝eq\f<1,2><eq\o<BC,\s\up6<→>>＋eq\o<DC,\s\up6<→>>>＝eq\f<1,2><5e1＋3e2>．[答案]A4．<2016·XX市八县一中高一联考>已知A,B,D三点共线,且对任一点C,有eq\o<CD,\s\up6<→>>＝eq\f<4,3>eq\o<CA,\s\up6<→>>＋λeq\o<CB,\s\up6<→>>,则λ＝<>A．eq\f<2,3> B．eq\f<1,3>C．－eq\f<1,3> D．－eq\f<2,3>解：∵A,B,D三点共线,∴存在实数t,使eq\o<AD,\s\up6<→>>＝teq\o<AB,\s\up6<→>>,则eq\o<CD,\s\up6<→>>－eq\o<CA,\s\up6<→>>＝t<eq\o<CB,\s\up6<→>>－eq\o<CA,\s\up6<→>>>,即eq\o<CD,\s\up6<→>>＝eq\o<CA,\s\up6<→>>＋t<eq\o<CB,\s\up6<→>>－eq\o<CA,\s\up6<→>>>＝<1－t>eq\o<CA,\s\up6<→>>＋teq\o<CB,\s\up6<→>>,∴eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<1－t＝\f<4,3>,,t＝λ,>>即λ＝－eq\f<1,3>.[答案]C5．已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a＝3e1－2e2,b＝－2e1＋e2,c＝7e1－4e2,试用向量a和b表示c.解：∵a,b不共线,∴可设c＝xa＋yb,则xa＋yb＝x<3e1－2e2>＋y<－2e1＋e2>＝<3x－2y>e1＋<－2x＋y>e2＝7e1－4e2.又∵e1,e2不共线,∴eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<3x－2y＝7,,－2x＋y＝－4,>>解得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x＝1,,y＝－2,>>∴c＝a－2b.学业分层测评[学业达标]一、选择题1．<2016·XX高一检测>设e1,e2是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是<>A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2解：B中,∵6e1－8e2＝2<3e1－4e2>,∴<6e1－8e2>∥<3e1－4e2>,∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．[答案]B2．<2016·XX高一检测>如图2－3－9,向量a－b等于<>图2－3－9A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2解：不妨令a＝eq\o<CA,\s\up6<→>>,b＝eq\o<CB,\s\up6<→>>,则a－b＝eq\o<CA,\s\up6<→>>－eq\o<CB,\s\up6<→>>＝eq\o<BA,\s\up6<→>>,由平行四边形法则可知eq\o<BA,\s\up6<→>>＝e1－3e2.[答案]C3.<2016·XX高一检测>如图2－3－10,已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点,EF与AC交于点G,若eq\o<AB,\s\up6<→>>＝a,eq\o<AD,\s\up6<→>>＝b,用a、b表示eq\o<AG,\s\up6<→>>＝<>图2－3－10A．eq\f<1,4>a＋eq\f<1,4>b B．eq\f<1,3>a＋eq\f<1,3>bC．eq\f<3,4>a－eq\f<1,4>b D．eq\f<3,4>a＋eq\f<3,4>b解：易知eq\o<CF,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2>eq\o<CD,\s\up6<→>>,eq\o<CE,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2>eq\o<CB,\s\up6<→>>.设eq\o<CG,\s\up6<→>>＝λeq\o<CA,\s\up6<→>>,则由平行四边形法则可得eq\o<CG,\s\up6<→>>＝λ<eq\o<CB,\s\up6<→>>＋eq\o<CD,\s\up6<→>>>＝2λeq\o<CE,\s\up6<→>>＋2λeq\o<CF,\s\up6<→>>,由于E,G,F三点共线,则2λ＋2λ＝1,即λ＝eq\f<1,4>,从而eq\o<CG,\s\up6<→>>＝eq\f<1,4>eq\o<CA,\s\up6<→>>,从而eq\o<AG,\s\up6<→>>＝eq\f<3,4>eq\o<AC,\s\up6<→>>＝eq\f<3,4><a＋b>．[答案]D4．若D点在三角形ABC的边BC上,且eq\o<CD,\s\up6<→>>＝4eq\o<DB,\s\up6<→>>＝req\o<AB,\s\up6<→>>＋seq\o<AC,\s\up6<→>>,则3r＋s的值为<>A．eq\f<16,5> B．eq\f<12,5>C．eq\f<8,5> D．eq\f<4,5>解：∵eq\o<CD,\s\up6<→>>＝4eq\o<DB,\s\up6<→>>＝req\o<AB,\s\up6<→>>＋seq\o<AC,\s\up6<→>>,∴eq\o<CD,\s\up6<→>>＝eq\f<4,5>eq\o<CB,\s\up6<→>>＝eq\f<4,5><eq\o<AB,\s\up6<→>>－eq\o<AC,\s\up6<→>>>＝req\o<AB,\s\up6<→>>＋seq\o<AC,\s\up6<→>>,∴r＝eq\f<4,5>,s＝－eq\f<4,5>.∴3r＋s＝eq\f<12,5>－eq\f<4,5>＝eq\f<8,5>.[答案]C5．如要e1,e2是平面α内所有向量的一组基底,那么下列命题正确的是<>A．若实数λ1,λ2,使λ1e1＋λ2e2＝0,则λ1＝λ2＝0B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2,其中λ1,λ2∈RC．对实数λ1,λ2,λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内D．对平面α中的任一向量a,使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1,λ2有无数对解：选项B错误,这样的a只能与e1,e2在同一平面内,不能是空间任一向量；选项C错误,在平面α内任一向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式,故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；选项D错误,这样的λ1,λ2是唯一的,而不是有无数对．[答案]A二、填空题6．已知a与b是两个不共线的向量,且向量a＋λb与－<b－3a>共线,则λ＝________.解：由题意可以设a＋λb＝λ1<－b＋3a>＝3λ1a－λ1b,因为a与b不共线,所以有eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<1＝3λ1,,λ＝－λ1,>>解得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<λ1＝\f<1,3>,,λ＝－\f<1,3>.>>[答案]－eq\f<1,3>7．设e1,e2是平面内一组基向量,且a＝e1＋2e2,b＝－e1＋e2,则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1＋e2＝________.解：因为a＝e1＋2e2①,b＝－e1＋e2②,显然a与b不共线,①＋②得a＋b＝3e2,所以e2＝eq\f<a＋b,3>代入②得e1＝e2－b＝eq\f<a＋b,3>－b＝eq\f<1,3>a－eq\f<2,3>b,故有e1＋e2＝eq\f<1,3>a－eq\f<2,3>b＋eq\f<a,3>＋eq\f<b,3>＝eq\f<2,3>a－eq\f<1,3>b.[答案]eq\f<2,3>a－eq\f<1,3>b三、解答题8.如图2－3－11,平面内有三个向量eq\o<OA,\s\up6<→>>,eq\o<OB,\s\up6<→>>,eq\o<OC,\s\up6<→>>,其中eq\o<OA,\s\up6<→>>与eq\o<OB,\s\up6<→>>的夹角为120°,eq\o<OA,\s\up6<→>>与eq\o<OC,\s\up6<→>>的夹角为30°,且|eq\o<OA,\s\up6<→>>|＝|eq\o<OB,\s\up6<→>>|＝1,eq\o<|OC,\s\up6<→>>|＝2eq\r<3>,若eq\o<OC,\s\up6<→>>＝λeq\o<OA,\s\up6<→>>＋μeq\o<OB,\s\up6<→>><λ,μ∈R>,求λ＋μ的值.[导学号：00680047]图2－3－11解：如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则eq\o<OC,\s\up6<→>>＝eq\o<OD,\s\up6<→>>＋eq\o<OE,\s\up6<→>>,在直角△OCD中,因为|eq\o<OC,\s\up6<→>>|＝2eq\r<3>,∠COD＝30°,∠OCD＝90°,所以|eq\o<OD,\s\up6<→>>|＝4,|eq\o<CD,\s\up6<→>>|＝2,故eq\o<OD,\s\up6<→>>＝4eq\o<OA,\s\up6<→>>,eq\o<OE,\s\up6<→>>＝2eq\o<OB,\s\up6<→>>,即λ＝4,μ＝2,所以λ＋μ＝6.9.<2016·马XX二中期末>如图2－3－12所示,▱ABCD中,E,F分别是BC,DC的中点,BF与DE交于点G,设eq\o<AB,\s\up6<→>>＝a,eq\o<AD,\s\up6<→>>＝b.图2－3－12<1>用a,b表示eq\o<DE,\s\up6<→>>；<2>试用向量方法证明：A、G、C三点共线．解：<1>eq\o<DE,\s\up6<→>>＝eq\o<AE,\s\up6<→>>－eq\o<AD,\s\up6<→>>＝eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\o<BE,\s\up6<→>>－eq\o<AD,\s\up6<→>>＝a＋eq\f<1,2>b－b＝a－eq\f<1,2>b.<2>证明：连接AC、BD交于O,则eq\o<CO,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2>eq\o<CA,\s\up6<→>>,∵E,F分别是BC,DC的中点,∴G是△CBD的重心,∴eq\o<GO,\s\up6<→>>＝eq\f<1,3>eq\o<CO,\s\up6<→>>＝eq\f<1,3>×eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<1,2>>>eq\o<AC,\s\up6<→>>＝－eq\f<1,6>eq\o<AC,\s\up6<→>>,又C为公共点,∴A,G,C三点共线．[能力提升]1．已知O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足eq\o<OP,\s\up6<→>>＝eq\o<OA,\s\up6<→>>＋λeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\o<AB,\s\up6<→>>,|\o<AB,\s\up6<→>>|>＋\f<\o<AC,\s\up6<→>>,|\o<AC,\s\up6<→>>|>>><λ∈[0,＋∞>>,则点P的轨迹一定通过△ABC的<>A．外心 B．内心C．重心 D．垂心解：eq\f<\o<AB,\s\up6<→>>,|\o<AB,\s\u