大一高数试题及答案电子教案

大一高数试题及答案大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）1x21x2

1 的定义域为 。1x2２．函数 yx1x2

上点（０，１）处的切线方程是 。0３．设ｆ（X）在x 可导,且f'(x)A，则0limh

f(x0

2h)f(x0h

3h)＝ 。４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x，y）的切线斜率为2x，则该曲线的方程是 。x4５． 1x4６．limxsinx

dx 。1 。x７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)= 。d3y 3 d2y９．微分方程

( )

的阶数为 。dx3 x dx2∞ ∞１０．设级数∑ａ发散，则级数∑ａ 。n nn=1 n=1000二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）１．设函数fx)1 1

1,g(x)1x11

则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ）1① x ② xsin 11

③1x ④x２． x

是 （ ）①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变３．下列说法正确的是 （ ）①若ｆ（X）在X＝Xo连续， 则ｆ（X）在X＝Xo可导②若ｆ（X）在X＝Xo不可导，则ｆ（X）X＝Xo不连续③若ｆ（X）在X＝Xo不可微，则ｆ（X）X＝Xo极限不存在④若ｆ（X）在X＝Xo不连续，则ｆ（X）X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有fx)0fx)0，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 （ ）①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧５．设

F'(x) G'(x)，则 （ ）①Ｆ(X)＋Ｇ(X)为常数②Ｆ(X)－Ｇ(X)为常数③Ｆ(X)－Ｇ(X)＝０d④dx1 16.-1

F(x)dx ddx( xdx (

G(x)dx①０ ②１ ③２ ④３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是 （ ①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线８．设 f

x,y) x3 y3 x2y

xy，则f(tx,ty)= （ ）①tf(x,y) ②t2 f(x,y)③t3 f(x,y

1④t2

(x,y)ａ＋１ ∞n９．设ａ≥０，且ｌｉｍ ─────＝ｐ，则级数∑ａ （ ）n nn→∞ ａ n=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是 （ ①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是 （ ①ｙ＝ｅx ②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ〈ｘ〈ｂ，则至少有一点1 2ζ∈（ａ，ｂ）使（ ）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X）在X＝Xo的左右导数存在且相等是ｆ（X）在X＝Xo导的 （ ）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则则ｆ（ｘ）＝ （ ）ｄｘ①ｃｏｓｘ ②２－ｃｏｓｘ ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝ （ ）①ｘ4 ②ｘ4＋ｃ ③ｘ4＋１④ｘ4－１１ x１６．ｌｉｍ───∫３ｔｇｔ2ｄｔ＝ （ ）x→0 ｘ3 0１①０ ②１ ③──④∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ─────＝ （ ）x→0 ｘ2＋ｙ2y→0①０ ② １ ③ ∞④ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是 （ ）设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ②设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝─────∞ｐｄｙ∞１９．设幂级数∑ａｘn在ｘ（ｘ≠０）收敛，则∑ａｘn在│n o o nｘ│〈│ｘo│（ ）n=o n=o①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与ａ有关nｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫─────ｄσ＝（ ）11D ｘｓｉｎｘ①∫0ｄｘ∫x─────ｄｙｘ②1∫0√yｄｙ∫yｓｉｎｘ─────ｄｘｘ③1∫0√xｄｘ∫xｓｉｎｘ─────ｄｙｘ④1∫0√xｄｙ∫xｓｉｎｘ─────ｄｘｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）１．设 y

x1x1x(x3)２．求ｌｉｍｓｉｎ（９ｘ2－１６）───────────。x→4/3３ｘ－４ｄｘ３．计算∫───────。（１＋ｅx）2t 1ｄｙ４．设ｘ＝∫（ｃｏｓｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，ｙ＝∫（ｓｉｎｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，求─── 。0 tｄｘ５．求过点Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。６．设ｕ＝ｅx＋√ｙ＋ｓｉｎｚ，求 ｄｕ 。xasinθ７．计算∫∫ｒｓｉｎθｄｒｄθ。0 0ｙ＋１８．求微分方程ｄｙ＝（────通解 。ｘ＋１３９．将ｆ（ｘ）＝─────────展成的幂级数 。（１－ｘ）（２＋ｘ）四、应用和证明题（共１５分）１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（比例常数为ｋ〉０）求速度与时间的关系。１２．（７分）借助于函数的单调性证明：当ｘ〉１时，２√ｘ 〉３－──。ｘ附：高数（一）参考答案和评分标准一、填空题（每小题１分，共１０分）１．（－１，１） ２．２ｘ－ｙ＋１＝０ ３．５Ａ1４．ｙ＝ｘ2＋１ 5.2

arctan x2

６．１７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）π/2π８．∫ｄθ0∫0ｆ（ｒ2）ｒｄｒ９．三阶１０．发散二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１．③ ２．③ ３．④ ５．②６．② ７．② ８．⑤ ９．④ ０．③（二）每小题２分，共２０分１１．④ １２．④ １３．⑤ １４．③ ５．③１６．② １７．① １８．③ １９．① ０．②三、计算题（每小题５分，共４５分）１（２分）２１ １ １ １ １──ｙ'＝──（────－──－────） （２分ｙ ２ ｘ－１ ｘ ｘ＋３１ ／ｘ－１ １ １ １ｙ'＝── ／──────（────－──－────）（１分）２√ ｘ（ｘ＋３） ｘ－１ ｘ ｘ＋３１８ｘｃｏｓ（９ｘ2－１６）２．解：原式＝ｌｉｍ────────────────（３分）x→4/3 ３１８（４／３）ｃｏｓ［９（４／３）2－１６］＝──────────────────────＝８（２分）３１＋ｅx－ｅx３．解：原式＝∫───────ｄｘ （２分（１＋ｅx）2ｄｘ ｄ（１＋ｅx）＝∫─────－∫─────── （１分１＋ｅx （１＋ｅx）2１＋ｅx－ｅx １＝∫───────ｄｘ＋───── （１分）１＋ｅx １＋ｅx１＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅx）＋─────＋ｃ （１分）１＋ｅx因为ｄｘ＝（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ，ｄｙ＝－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ （３分）ｄｙ －（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ所以───＝────────────────＝ｇｔ （２分）ｄｘ （ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝ （３分）ｘ－１ ｙ－１ ｚ－２所求直线方程为────＝────＝──── （２分）１ ０ －３６．解：ｄｕ＝ｅx+√y snｘ＋√ｙ＋ｓｉｎｘ） （３分）一、DCACABCCBADABADADBDA二课程代码：00020一、单项选择题（20240）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。设函数

1 xf()x x1

，（ ） 11

21xC.2xA.x+3C.2xx

f(-1)=2,f(1)-(x)（

D.xB.x-3D.-2x（ ）x x1A.e

D.1

C.函数y x3 的连续区间是（ ）(x2)(x1)A.(,2)B.C.(,2)(2,1)(1,)D.3,5.设函数f(x)(xln(x2 ，xa ，x1

在x=-1连续则a=（ ）A.1

D.0

B.-1 C.26.设y=lnsinx,则dy=（ ）A.-cotxdxC.-tanxdx

B.cotxdxD.tanxdx7.y=ax(a>0,a1),A.0C.lna

x0（ ）

B.1D.(lna)n8.设一产品的总成本是产量x的函数C(x),则生产x0个单位时的总成本变化率(即边际成本)是（ ）A.C(x)xC.dC(x)dx9.函数y=e-x-x在区间(-1,1)内（ ）单调减小

B.C(x)xdC(x)C(x)xdC(x)dx

xx0xx0不增不减10.如可微函数f(x)在x0处取到极大值f(x0),则（ A.f(x)00C.f(x)0011.[f(x)xf（ ）A.f(x)+CC.xf(x)+C

有增有减B.f(x)00D.f(x)不一定存在0B.xf(x)dxD.[xf(x)]dxf(x)的一个原函数是则x33

xf(x)dx（

x5+C2x3313.8e3xdx（ ）8A.0

x515

CB.28e3xdx0C.2exdx2下列广义积分发散的是（ ）A.1dx0x3xC.13x0

D.32x2exdx2B.1dx0 x1xD.11x0级数n1

U 一定收敛（ ）nni1

U有界i

limU 0n nlim

Un1

r1|U

|收敛nUn

nn1幂级数n1A.0,2C.0,2

(xn的收敛区间是（

B.(0,2)D.(-1,1)设zx2

x2y,则

（ ）y

x2 x2e

y2x x2

ey21

yx2 e yy

e yy18.函数z=(x+1)2+(y-2)2的驻点是（ ）A.(1,2)C.(-1,-2)

B.(-1,2)D.(1,-2)19.

cosxcosydxdy（ ）0x20y2A.0

D.2

B.1 C.-1微分方程dy1sinx满足初始条件y(0)=2的特解是（ ）dxA.y=x+cosx+1C.y=x-cosx+2

B.y=x+cosx+2D.y=x-cosx+3二、简单计算题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）n3n3n

n) n122.设yxx求求不定积分 cos2x dx.1sinxcosxz=ln(1+x2+y2)x=1,y=2时的全微分.n n1用级数的敛散定义判定级n n1n1

的敛散性.三、计算题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）设zxyxF(uuyF(u)求

zyz.x计算定积分I2xln xdx.1

x22计算二重积分Icos(x2y2,Dxx22

所围成的闭D区域.求微分方程xdyyex0y(1)=e的特解.dx四、应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）x件某产品的成本为(1)要使平均成本最小,?

1x2. 问40(2)如产品以每件500元出售,要使利润最大,应生产多少件产品?x求由曲线y ,直线x+y=6和x设函数y=lnx,则它的弹性函数Ey= .Ex函数f(x)=x2e-x的单调增加区间为 .不定积分 dx = .2x3f(x)连续且0

f(t)dtx2cos2x，则f(x)= .微分方程xdy-ydx=2dy的