2021-2022学年-有答案-河北省沧州市某校初三(上)12月月考数学试卷

PAGE3030页2021-2022学年河北省沧州市某校初三（上）12月月考数学试卷一、选择题A.B.C.D.A.B.C.D.在下列气温的变化中，能够反映温度上5的是( )气温3 气温1 5

气温1 气温41A.B.在下列各图形中，不是正方体的展开图的A.B.C.D.4.近似1.23×103精确C.D.百分位 十分位 个位 十位将一幅三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上，且两锐角顶重合），连接另外两锐角顶点，并测∠1=47∘，∠2的度数( )A.60∘ B.58∘ C.45∘ D.43∘使硬币边缘上一点𝑃与原点𝑂重合，让这枚硬币沿数轴正方向无滑动滚动，转动一周时，点𝑃𝑃′𝑃′()A.2𝜋7.化简𝑥

B.6.28 C.𝜋 D.3.141 的结果( )A.𝑥2

𝑥1

B.𝑥−1

C.𝑥1

D.𝑥𝑥 𝑥 𝑥−1𝐴75∘𝐵𝐵25∘方向到𝐶村，若要保持公𝐶𝐸与𝐴村到𝐵村的方向一致，则应顺时针转动的度数( )A.50∘ B.75∘ C.100∘ D.105∘𝑥10天完成任务．根据题意，下列方程正确的是( )A.600−600

=10

−

=10𝑥C.600−𝑥

𝑥5𝑥10

𝑥−5=5 D.600

𝑥10=600𝑥如图，将正五边𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸沿逆时针方向绕其顶𝐴旋转，若使𝐵落𝐴𝐸边所在的直线上，则旋转的角度可以( )A.72∘ B.54∘ C.45∘ D.36∘将一元二次方𝑥2−6𝑥 5=0配方后，原方程变形( )A.(𝑥−3)2=

B.(𝑥−6)2=5 C.(𝑥−6)2=4 D.(𝑥−3)2=4某市公园的东、南、西、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个口进入该公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率( )A.1 B.1 C.1 D.12 4 6 16𝑂𝐴𝐵的长度为( )A.√3 B.2 C.2√3 D.(1 2√3)𝑦=−𝑥−3𝑚𝑦=2𝑥+的交点在第二象限，则𝑚可以取得的整数值( )A.4个 B.5个 C.6个 D.7个15.如图，在锐角△𝐴𝐵𝐶中，延长𝐵𝐶到点𝐷，点𝑂是𝐴𝐶边上的一个动点，过点𝑂作直线𝑀𝑁//𝐵𝐶，𝑀𝑁分别交∠𝐴𝐶𝐵、∠𝐴𝐶𝐷的平分线于𝐸、𝐹两点，连结𝐴𝐸、𝐴𝐹，在下列结论中：①𝑂𝐸=𝑂𝐹；②𝐶𝐸=𝐶𝐹；③若𝐶𝐸=12，𝐶𝐹=5，则𝑂𝐶的长为6；④当𝐴𝑂=𝐶𝑂时，四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是矩形.其中正确的( )A.①④ B.①② C.①②③ D.②③④16.如图，抛物线𝐿：𝑦=−1(𝑥−𝑡)(𝑥−𝑡+4)（常数𝑡>0），双曲线𝑦=6(𝑥>0)，2 𝑥设𝐿与双曲线有个交点的横坐标为𝑥0，且满足3<𝑥0<4，在𝐿位置随𝑡变化的过程中，𝑡的取值范围( )A.3<𝑡<22

B.3<𝑡<4 C.4<𝑡<5 D.5<𝑡<7(−2)3= ．分解因式：𝑎𝑏2−4𝑎𝑏+4𝑎．如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，∠𝐵𝐴𝐶=30∘，𝐴𝐵=4，以𝐴𝐶为斜边作𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐶1，=30∘，𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐶1的面积；再为斜边作𝑅𝑡△𝐴𝐶1𝐶2，使∠𝐶1𝐴𝐶2=30∘，𝑅𝑡△𝐴𝐶1𝐶2的面积为𝑆2，……，以此类推，则．（的式子表示）三、解答题在多项式的乘法公式中，完全平方公式(𝑎+𝑏)2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2是其中重要的一个．(1)请补全完全平方公式的推导过程；(𝑎+𝑏)2=(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)=𝑎2+ +𝑏2=𝑎2+𝑏2𝑎+𝑏ⅠⅠⅠ方公式的几何解释．(3)用完全平方公式求5982的值．为在中小学生中普及交通法规常识，倡导安全出行，某市教育局在全市范围内组织七“”知识竞赛．为了解市七年级学生的竞赛成绩，随机抽取了若干名学生的竞赛成绩（分），频数分布表和如图所示的频数分布直方图（频数分布直方图中有一处错误）．组别（单位：分）频数频率50.5~60.5200.160.5~70.5400.270.5~80.570𝑏80.580.5~90.590.5~100.5𝑎100.30.05请根据图表信息回答下列问题：(1)在频数分布表中= ，𝑏= (2)指出频数分布直方图中的错误，并在图上改正；:“”么范围？80分以上（80分）为优秀，估计这次竞赛中成绩为优秀的学生有多少人？【探究】1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；……1+3+5+⋯+(2𝑛−1)= ．（𝑛是正整数）如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18①层中分别含块正方形块正三角形地板砖；②𝑛层中含块正三角形地板砖（用𝑛的代数式表示）．【应用】该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形和420块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，最多能铺多少层？请说明理由．已知：如图，作∠𝐴𝑂𝐵的平分线𝑂𝑃，在∠𝐴𝑂𝐵的两边上分别截取𝑂𝐴=𝑂𝐵，再以点𝐴为圆心，线段𝑂𝐴长为半径画弧，交𝑂𝑃于点𝑃，连接𝐵𝑃．(1)求证：四边形𝑂𝐴𝑃𝐵是菱形；(2)尺规作图：作线段𝑂𝐴的垂直平分线𝐸𝐹，分别交𝑂𝑃于点𝐸，𝑂𝐴于点𝐹，连接𝐵𝐸（不写作法，保留作图痕迹）；(3)当∠𝐴𝑂𝐵=60∘时，判断△𝑃𝐵𝐸的形状，并说明理由．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6𝑚，在长度为8𝑚的两支柱𝑂𝐶和𝐴𝐵之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离均为5𝑚．建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数表达式；𝐸𝐹的长度；3𝑚的汽车能够通过（0.3𝑚），?如图，在𝑅𝑡△𝑂𝐴𝐵中，∠𝐴𝑂𝐵=90∘，𝑂𝐴=𝑂𝐵=4，以点𝑂为圆心、2为半径画圆，点𝐶是⊙𝑂上任意一点，连接𝐵𝐶，𝑂𝐶．将𝑂𝐶绕点𝑂按顺时针方向旋转90∘，交⊙𝑂于点𝐷，连接𝐴𝐷．(1)当𝐴𝐷与⊙𝑂相切时，①求证：𝐵𝐶是⊙𝑂的切线；②求点𝐶到𝑂𝐵的距离．(2)连𝐵𝐷，𝐶𝐷，△𝐵𝐶𝐷的面积最大时，𝐵到𝐶𝐷的距离．如图，直线𝑦=2𝑥+2与𝑥轴，𝑦轴分别交于𝐴，𝐵两点，与反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)的𝑥图象交于点𝑀，过𝑀作𝑀𝐻⊥𝑥轴于点𝐻，且𝐴𝐵=𝐵𝑀，点𝑁(𝑎,1)在反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)的图象上．𝑥(1)求𝑘的值；(2)在𝑥轴的正半轴上存在一点𝑃，使得𝑃𝑀+𝑃𝑁的值最小，求点𝑃的坐标；(3)点𝑁关于𝑥轴的对称点为𝑁′，把△𝐴𝐵𝑂向右平移𝑚个单位到△𝐴′𝐵′𝑂′的位置，当𝑁′𝐴′+𝑁′𝐵′取得最小值时，请你在横线上直接写𝑚的值，𝑚= ．参考答案与试题解析2021-2022学年河北省沧州市某校初三（上）12月月考数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】中心对称图形轴对称图形【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：𝐴、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；𝐵、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；𝐶、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；𝐷、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误.故选𝐶.2.【答案】A【考点】有理数的减法有理数的加法【解析】本题主要考查有理数的加减运算.【解答】解：𝐴．气温由−3∘𝐶到2∘𝐶，上升了2−(−3)=5(∘𝐶)，符合题意；𝐵．气温由−1∘𝐶到−6∘𝐶，−6−(−1)=−5(∘𝐶)，∴温度下降了5∘𝐶，不符合题意；𝐶．气温由−1∘𝐶到5∘𝐶，上升了5−(−1)=6(∘𝐶)，不符合题意；𝐷．气温由4∘𝐶到−1∘𝐶，−1−4=−5(∘𝐶)，∴温度下降了5∘𝐶，不符合题意.故选𝐴.3.【答案】C【考点】几何体的展开图【解析】本题主要考查了几何体的展开图.【解答】解：由正方体展开图的特征可知，𝐴，𝐵，𝐷选项可以拼成一个正方体，而𝐶选项，有两个面重合，所以其不是正方体的展开图.故选𝐶.4.【答案】D【考点】近似数和有效数字【解析】本题考查了近似数和有效数字.【解答】解：∵1.23 ×103=1230，∴ 这个近似数精确到十位．故选𝐷.5.【答案】B【考点】三角形内角和定理【解析】本题考查平角定义及三角形内角和定理.【解答】解：如图所示，根据题意，∠3=180∘−60∘−45∘=75∘，则∠2=180∘−∠1−∠3=180∘−47∘−75∘=58∘．故选𝐵.6.【答案】A【考点】数轴【解析】硬币沿数轴正方向无滑动滚动，转动一周时，前进了一个周长，即前进了2𝜋个单位长度．【解答】解：硬币的周长是2𝜋，转动一周时前进了2𝜋个单位长度，所以点𝑃′所对应的数是2𝜋．故选𝐴.7.【答案】B【考点】分式的化简求值【解析】本题考查分式的运算.【解答】解：原=

− 1 =(𝑥1)(𝑥−1)

=𝑥−1.故选𝐵.8.C

𝑥(𝑥1)

𝑥(𝑥1)

𝑥(𝑥1) 𝑥平行线的性质方向角【解析】此题主要考查了平行线的性质.【解答】解：如图所示，由题意可得：𝐴𝑁//𝐹𝐵，𝐴𝐷//𝐶𝐸，∴∠𝑁𝐴𝐵 =∠𝐹𝐵𝐷=75∘，∵∠𝐶𝐵𝐹 =25∘，∴∠𝐶𝐵𝐷 =100∘，则应顺时针转动的度数为100∘.故选𝐶.9.【答案】B【考点】由实际问题抽象为分式方程【解析】关键描述语是：实际平均每天比原计划多制作了10个，根据等量关系列式．【解答】解：根据题意，原计划每天制作600个，实际每天制作600个，𝑥由实际平均每天多制作了10个，可得600 600=10．

𝑥5𝑥5 𝑥故选𝐵.10.【答案】A【考点】多边形的内角和旋转的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示.根据多边形的内角和公式可知正五边形的内角和(5 2)×180∘=540∘，∴∠𝐵𝐴E=540∘÷5=108∘，∴∠𝐵𝐴𝐹 =180∘ 108∘=72∘，即使点𝐵落在𝐴E边所在的直线上，则旋转的角度是72∘.故选𝐴.11.【答案】D【考点】解一元二次方程-配方法【解析】本题考查了利用配方法解一元二次方程．【解答】解：𝑥2 6𝑥=5 ，𝑥2 6𝑥+9=5 +9，(𝑥 3)2=4，故选𝐷.12.【答案】B【考点】列表法与树状图法【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有16种等可能结果，其中佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的有4种等可能结果，所以佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率为416

=1.4故选𝐵.13.【答案】C【解析】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及翻折的性质.【解答】解：过𝑂作𝑂𝐶⊥𝐴𝐵，交圆𝑂于点𝐷，连接𝑂𝐴，由折叠得到𝐶𝐷=𝑂𝐶=1𝑂𝐷=1，2在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐶中，根据勾股定理得：𝐴𝐶2+𝑂𝐶2=𝑂𝐴2，即𝐴𝐶2+1=4，解得：𝐴𝐶=√3，则𝐴𝐵=2𝐴𝐶=2√3．故选𝐶.14.【答案】B【考点】一次函数图象与几何变换象限中点的坐标【解析】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标．【解答】解：直线𝑦=−𝑥−3向上平移𝑚个单位后可得：𝑦=−𝑥−3+𝑚，𝑦=−𝑥−3+𝑚,联立两直线解析式得𝑦=2𝑥+4,𝑥=𝑚−7,解得：{𝑦=

32𝑚−2.3∵交点在第二象限，𝑚−7∴{ 33

<0,>0,解得：1<𝑚<7，∴ 𝑚个．故选𝐵.15.【答案】A【考点】平行四边形的性质与判定角平分线的性质平行线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵𝑀𝑁//𝐵𝐶，𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，∴∠𝑂𝐸𝐶=∠𝐵𝐶𝐸=∠𝑂𝐶𝐸，∴𝑂𝐸=𝑂𝐶；同理可得𝑂𝐹=𝑂𝐶，∴𝑂𝐸=𝑂𝐹，故①正确；∵△𝐴𝐵𝐶是锐角三角形，𝐶𝐸，𝐶𝐹分别是∠𝐴𝐶𝐵和∠𝐴𝐶𝐷的角平分线，∴∠𝐴𝐶𝐸<∠𝐴𝐶𝐹，∵△𝑂𝐸𝐶和△𝑂𝐹𝐶分别为等腰三角形，且𝑂𝐸=𝑂𝐶=𝑂𝐹，∴𝐶𝐸≠𝐶𝐹，故②错误；∵𝐶𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵∠𝐴𝐶𝐷的角平分线，∴∠𝐸𝐶𝐹 =90∘，若𝐶𝐸=12，𝐶𝐹=5，根据勾股定理可知𝐸𝐹=13，则𝑂𝐸=𝑂𝐹=𝑂𝐶=1𝐸𝐹=6.5，故③错误；2∵𝐴𝑂=𝐶𝑂，𝑂𝐸=𝑂𝐹，∴四边形𝐴𝐸𝐶𝐹的对角线互相平分，∴四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是平行四边形，∵∠𝐸𝐶𝐹=90∘，∴四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是矩形，故④正确.故选𝐴.16.【答案】D【考点】函数的综合性问题【解析】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平移等知识.【解答】2解：对双曲线，当3<𝑥0<4时，3<𝑦0<2，即𝐿与双曲线在这之间的一段有个交点．2①由3=−1(4−𝑡)(4−𝑡+4)，解得𝑡=5或7．2 2②由2=−1(3−𝑡)(3−𝑡+4)，解得𝑡=5．2满足条件的𝑡的值为5<𝑡<7．故选𝐷.二、填空题【答案】−8【考点】有理数的乘方【解析】本题主要考查了立方根.【解答】解：(−2)3=−8.故答案为：−8.【答案】𝑎(𝑏−【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】本题考查提公因式法和公式法分解因式的运用.【解答】解：原式=𝑎(𝑏2−4𝑏+4)=𝑎(𝑏−2)2.故答案为：𝑎(𝑏−2)2.【答案】3√3,3𝑛√32 22𝑛−1【考点】相似三角形的性质与判定三角形的面积规律型：图形的变化类含30度角的直角三角形【解析】此题考查勾股定理、含30∘角直角三角形的性质以及三角形的面积等知识点，规律型题目．【解答】解：∵∠𝐴𝐶𝐵=90∘，∠𝐵𝐴𝐶=30∘，𝐴𝐵=4，∴𝐵𝐶=1𝐴𝐵=2，2∴𝐴𝐶=√3𝐵𝐶=2√3，2∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=1𝐵𝐶⋅𝐴𝐶=2√3，在△𝐴𝐶𝐶1中，2∵∠𝐶𝐴𝐶1=30∘，∴𝐶𝐶 =1𝐴𝐶=√3，121∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝐶1，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐶1𝐶=90∘,∴△𝐴𝐶𝐵∼△𝐴𝐶1𝐶，∴𝑆△𝐴𝐶𝐶1

=(𝐶𝐶1)2=(√3)2=3，𝑆△𝐴𝐵𝐶

𝐶𝐵 2 4∴=3⋅=3√3，4 2同理可得，𝑆2=(3)2⋅𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝑆3=(3)3⋅𝑆△𝐴𝐵𝐶，…，4

=(3)𝑛⋅

4=3𝑛√3，𝑛 4故答案为：3√3；3𝑛√3．

△𝐴𝐵𝐶

22𝑛12三、解答题【答案】𝑎𝑏,𝑎𝑏,2𝑎𝑏

22𝑛1(2)𝑆

=𝑆1+𝑆2+𝑆3+𝑆4=𝑎2+𝑎𝑏+𝑎𝑏+𝑏2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2=(𝑎+𝑏)2.大正方形(3)5982=(600 2)2=6002 2×600×2+=360000 2400+4=357604.【考点】完全平方公式的几何背景【解析】本题考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释.(1)依据多项式乘以多项式法则，即可得到结果.(2)依据边长为𝑎+𝑏的正方形分割成1、2、3、4四部分，即可得到完全平方公式的几何解释.(3)利用完全平方公式，即可得到5982的值.【解答】解：(1)(𝑎+𝑏)2=(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)=𝑎2+𝑎𝑏+𝑎𝑏+𝑏2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2.故答案为：𝑎𝑏；𝑎𝑏；2𝑎𝑏.(2)𝑆

=𝑆1+𝑆2+𝑆3+𝑆4=𝑎2+𝑎𝑏+𝑎𝑏+𝑏2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2=(𝑎+𝑏)2.大正方形(3)5982=(600−2)2=6002−2×600×2+22=360000−2400+4=357604.【答案】60,0.35分）4060．正确的频数分布直方图如下：∵一共有200与101个数都落在第三组：70.5~80.5，∴此次抽样调查所得数据的中位数是70.5~80.5，∴甲同学的成绩所在范围是70.5~80.5；(4)这次考试中成绩为优秀的学生为：5000×(0.3+0.05)=1750(人)．答：估计这次竞赛中成绩为优秀的学生有1750人．【考点】中位数频数（率）分布直方图频数（率）分布表用样本估计总体【解析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.𝑎、𝑏的值．𝑎(3)根据中位数的定义即可求解；80分）频率相加，乘以全市七年级学生总人数即可求解．【解答】解：(1)抽取的学生总人数为：20÷0.1=200(人)．𝑎=200×0.3=60，𝑏=故答案为：60；0.35．

70

=0.35．分）4060．正确的频数分布直方图如下：∵一共有200与101个数都落在第三组：70.5~80.5，∴ ∴ (4)这次考试中成绩为优秀的学生为：5000×(0.3+0.05)=1750(人)．答：估计这次竞赛中成绩为优秀的学生有1750人．【答案】𝑛26,30,12𝑛−6(3)正方形：150÷6=25（层），三角形：6𝑛2=420，解得：𝑛=±√70，∵𝑛 为正整数，∴𝑛 8，∴ 层．答：铺设这样的图案最多能铺8层.【考点】规律型：数字的变化类规律型：图形的变化类平方根【解析】和乘以个数，再化简即可．本题考查图形规律问题．通过观察分析，找出规律求解即可．【应用】本题考查平方根的应用，实数大小的比较．分别求出正方形铺的层数与三角形铺的层数，再比较即可．【解答】解：(1)1+3+5+⋅⋅⋅+(2𝑛−1)=2𝑛−1+1×𝑛=𝑛2.2故答案为：𝑛2.(2)①由图可知中每层正方形个数相等，所以第3层正方形的个数为6；②第1层三角形的个数为：6=6×(2×1−1)；第=6×(2×2−1)；第=6×(2×3−1)；第𝑛层三角形的个数为：6(2𝑛−1)=12𝑛−6.故答案为：6；30；12𝑛−6.(3)正方形：150÷6=25（层），三角形：6𝑛2=420，解得：𝑛=±√70，∵𝑛 为正整数，∴𝑛 8，∴ 层．答：铺设这样的图案最多能铺8层.【答案】(1)证明：∵𝑂𝑃 ∠𝐴𝑂𝐵的平分线，∴∠𝐴𝑂𝑃 =∠𝐵𝑂𝑃，∵𝑂𝐴 =𝑂𝐵，𝑂𝑃=𝑂𝑃，∴△ 𝑂𝐴𝑃≅△𝑂𝐵𝑃(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐴𝑃 =𝐵𝑃，∵𝑂𝐴 =𝐴𝑃，∴𝑂𝐴 =𝐴𝑃=𝑃𝐵=𝑂𝐵，∴ 𝑂𝐴𝑃𝐵.(2)解：如图所示，(3)解：△𝑃𝐵𝐸为直角三角形.理由：连结𝐴𝐸，如图由(1)知四边形𝑂𝐴𝑃𝐵是菱形，∴∠𝐴𝑂𝐸 =∠𝐵𝑂𝐸=1∠𝐴𝑂𝐵=1×60∘=30∘，𝐴𝐸=𝐵𝐸，2 2∵𝐸𝐹 为𝑂𝐴垂直平分线，∴𝐴𝐸 =𝑂𝐸，∴𝑂𝐸 =𝐵𝐸，∴∠𝑂𝐵𝐸 =∠𝐵𝑂𝐸=30∘，∵𝑂𝐴//𝐵𝑃 ，∴∠𝐴𝑂𝐵 +∠𝑂𝐵𝑃=180∘，∴∠𝑂𝐵𝑃 =180∘−60∘=120∘，∴∠𝑃𝐵𝐸 =∠𝑂𝐵𝑃−∠𝑂𝐵𝐸=120∘−30∘=90∘，∴△ 𝑃𝐵𝐸.【考点】全等三角形的性质与判定作图—尺规作图的定义菱形的判定线段垂直平分线的性质平行线的性质【解析】△𝑂𝐴𝑃≌△𝑂𝐵𝑃，𝐴𝑃=𝐵𝑃𝑂𝐴=𝐴𝑃=𝑃𝐵=𝑂𝐵，即可得出结论．(20𝐴、𝑂长的一半为半径𝑂𝑃于𝐸，交𝑂𝐴于𝐹𝐵𝐸即可．(3)𝐴𝐸∠𝑃𝐵𝐸=90∘即可.【解答】(1)证明：∵𝑂𝑃 ∠𝐴𝑂𝐵的平分线，∴∠𝐴𝑂𝑃 =∠𝐵𝑂𝑃，∵𝑂𝐴 =𝑂𝐵，𝑂𝑃=𝑂𝑃，∴△ 𝑂𝐴𝑃≅△𝑂𝐵𝑃(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐴𝑃 =𝐵𝑃，∵𝑂𝐴 =𝐴𝑃，∴𝑂𝐴 =𝐴𝑃=𝑃𝐵=𝑂𝐵，∴ 𝑂𝐴𝑃𝐵.解：如图所示，(3)解：△𝑃𝐵𝐸为直角三角形.理由：连结𝐴𝐸，如图由(1)知四边形𝑂𝐴𝑃𝐵是菱形，∴∠𝐴𝑂𝐸 =∠𝐵𝑂𝐸=1∠𝐴𝑂𝐵=1×60∘=30∘，𝐴𝐸=𝐵𝐸，2 2∵𝐸𝐹 为𝑂𝐴垂直平分线，∴𝐴𝐸 =𝑂𝐸，∴𝑂𝐸 =𝐵𝐸，∴∠𝑂𝐵𝐸 =∠𝐵𝑂𝐸=30∘，∵𝑂𝐴//𝐵𝑃 ，∴∠𝐴𝑂𝐵 +∠𝑂𝐵𝑃=180∘，∴∠𝑂𝐵𝑃 =180∘−60∘=120∘，∴∠𝑃𝐵𝐸 =∠𝑂𝐵𝑃−∠𝑂𝐵𝐸=120∘−30∘=90∘，∴△ 𝑃𝐵𝐸.【答案】解：(1)根据题意，设拱桥抛物线的函数表达式为：𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥，∵相邻两支柱间的距离为5𝑚，∴𝑂𝐴=4×5𝑚=20𝑚，∴(20,0)，(10,6)两点都在抛物线上，400𝑎+20𝑏=0∴{100𝑎+10𝑏=6，解得{

𝑎=𝑏=

350，65∴𝑦=−350

𝑥2+6𝑥.5(2)设点𝐹的坐标为(15,𝑦)，∴𝑦=−3

×152+6×15=9，50 5 2∴𝐸𝐹=8−9=7𝑚=3.5𝑚.2 2答：支柱𝐸𝐹的长度为3.5𝑚.(3)当𝑦=3+0.3=3.3(𝑚)时，有−350

𝑥2+6𝑥=5化简，得𝑥2−20𝑥+55=0，解得𝑥=10±3√5，𝑥1=3.292，𝑥2=16.708，∴𝑥2−=16.708−3.292=13.416≈答：行车道最宽可以铺设13.4米．【考点】二次函数的应用待定系数法求二次函数解析式二次函数图象上点的坐标特征一元二次方程的解【解析】本题考查二次函数的实际应用.(2)设𝐹(15𝑦)𝐸𝐹的长度；(3)令𝑦=3.3，求得𝑥的值即可求解．【解答】解：(1)根据题意，设拱桥抛物线的函数表达式为：𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥，∵ 5𝑚，∴ 𝑂𝐴=4×5𝑚=20𝑚，∴ 两点都在抛物线上，∴ {400𝑎+20𝑏=100𝑎+10𝑏=6解得{

𝑎=−350，𝑏=65∴ 𝑦=−350

𝑥2+6𝑥.5(2)设点𝐹的坐标为(15,𝑦)，∴𝑦=−3

×152+6×15=9，50 5 2∴E𝐹=8−9=7𝑚=3.5𝑚.2 2答：支柱E𝐹的长度为3.5𝑚.当𝑦=30.3=−350化简，得𝑥2−20𝑥+55=0，解得𝑥=10±3√5，==

𝑥2+6𝑥=3.3，5∴ 𝑥2

−

=16.708−3.292=13.416≈13.4.答：行车道最宽可以铺设13.4米．【答案】(1)①证明：∵𝐴𝐷与⊙𝑂相切，∴∠𝐴𝐷𝑂=90∘，∵∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝑂𝐷=90∘，∴∠𝐴𝑂𝐵−∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐶𝑂𝐷−∠𝐴𝑂𝐶，即∠𝐶𝑂𝐵=∠𝐴𝑂𝐷，∵𝑂𝐵=𝑂𝐴，𝑂𝐶=𝑂𝐷，∴△𝐵𝑂𝐶≅△𝐴𝑂𝐷（𝑆𝐴𝑆）．∴∠𝐵𝐶𝑂=∠𝐴𝐷𝑂=90∘．∴𝐵𝐶是⊙𝑂的切线．②解：过点𝐶作𝐶E⊥𝑂𝐵，垂足为E，则𝐶E即为点𝐶到𝑂𝐵的距离．在𝑅𝑡△𝐵𝑂𝐶中，∵𝑂𝐵=4，𝑂𝐶=2，∴𝐵𝐶=√𝑂𝐵2−𝑂𝐶2=√42−22=2√3，∴𝑂𝐵⋅𝐶E=𝐵𝐶⋅𝑂𝐶，即4𝐶E=2×2√3，𝐶E=√3．∴点𝐶到𝑂𝐵的距离是√3．4+√2【考点】全等三角形的性质与判定切线的判定垂径定理勾股定理【解析】此题主要考查了圆的综合以及等腰直角三角形的性质、旋转的性质、切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识.（1）①先证明△𝐵𝑂𝐶≌△𝐴𝑂𝐷，则∠𝐵𝐶𝑂=∠𝐴𝐷𝑂=90∘，𝐵𝐶是⊙𝑂的切线；②过点𝐶作𝐶E丄𝑂𝐵，根据勾股定理得𝐵𝐶=2√3，由△𝐵𝐶𝑂的面积公式可得𝑂𝐵⋅𝐶E=𝐵𝐶⋅𝑂𝐶，求得𝐶E=√3；（2）𝐶⊙𝑂△𝐵𝐶𝐷𝐵𝑂𝐶𝐷𝐵𝐶𝐷的面积最大（2），𝑂𝐹=√2𝐵𝐶𝐷的距离为4+√2．【解答】(1)①证明：∵𝐴𝐷与⊙𝑂相切，∴ ∠𝐴𝐷𝑂=90∘，∵ ∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝑂𝐷=90∘，∴ ∠𝐴𝑂𝐵−∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐶𝑂𝐷−∠𝐴𝑂𝐶∠𝐶𝑂𝐵=∠𝐴𝑂𝐷，∵ 𝑂𝐵=𝑂𝐴，𝑂𝐶=𝑂𝐷，∴ △𝐶△𝐷𝑆．∴ ∠𝐵𝐶𝑂=∠𝐴𝐷𝑂=90∘．∴ 𝐵𝐶𝑂的切线．②解：过点𝐶作𝐶𝐸⊥𝑂𝐵，垂足为𝐸，则𝐶𝐸即为点𝐶到𝑂𝐵的距离．在𝑅𝑡△𝐵𝑂𝐶中，∵ 𝑂𝐵=4，𝑂𝐶=2，∴ 𝐵𝐶=√𝑂𝐵2−𝑂𝐶2=√42−22=2√3，∴ 𝑂𝐵⋅𝐶𝐸=𝐵𝐶⋅𝑂𝐶4𝐶𝐸=22√3，𝐶𝐸=∴ 𝐶到𝑂𝐵√3．𝐶在⊙𝑂△𝐵𝐶𝐷𝐵𝑂𝐶𝐷垂直位置时，△𝐵𝐶𝐷的面积最大（如图2），此时𝑂𝐵=4，𝑂𝐶=𝑂𝐷=2，∵△𝐶𝑂𝐷是等腰直角三