2021-2022学年广东省广州市天河区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

2021-2022学年广东省广州市天河区高二（上）期末数学试卷8540分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．15分）直线2+3+60在y轴的截距是（A．﹣2 B．2）C．3D．﹣325分）已知点（，﹣，点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）A（，，2） B（，，） C2，1，）D（，，2）35分）已知点（，Q是圆+＝4上的动点，则线段PQ长的最小值为（ ）A．3 B．4 C．5

D．645分）已知椭圆方程为：A． B．

，则其离心率为（ ）C． D．55分《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的类似问题把150个完全相同的面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使较大的三份面包数之和的是较小的两份之和，则最大的那份面包数为（ ）A．30 B．40 C．50 D．6065分）已知抛物线C212x的焦点为F，直线l经过点F交抛物线C于，B两点，CP，若A．2 B．3

，则 为（ ）C．4 D．675分已知圆+2直线＝k+1k直线l被圆O截得的弦长最短（ ）A． B． C．8 D．985分）数列1245，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故它们为六边形数，那么第11个六边形数为（ ）A．153 B．190 C．231第1页（共20页）

D．276二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．95分过点（的直线l与直线+﹣＝0平行则下列说法正确的（ ）l45°l的方程为：x+y+2＝0ll1间的距离为Pl1（5分）已知曲线 与曲线 ，则下列说法正确的是（ ）C139＜k＜16时，两曲线的焦距相等k＜9C2为椭圆k＞16C2为双曲线15分）已知数n，下列说法正确的是（ ）A{an}01{an}为单调数列B．{an}nn＝10最大C．若点在函数y＝kx+b（k，b为常数）D．若点（n，an）在函数y＝k•ax（k，a为常数，k≠0，a＞0，且a≠1）的图象上，则数列{an}为等比数列15分）如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线AC和BF上移动，结论中正确的有（ ）

，则下列第2页（共20页），使MN存在最小值，最小值为MNABEF45°MNBCE4520分．15分）已知圆C：2+0关于直线2+a0对称，则＝ ．15分）如图，在平行六面体ABC﹣1C1中，设BC的中点，则向量 ＝ （用 表示）

，N是15分已知n是数an的前n项和且＝n2+则a＝ 数列的通项公式an＝ ．15分）已知F2是双曲线 的左、右焦点，点M是双曲线E上的任意一点（不是顶点，过1作1M2角平分线的垂线，垂足为NO坐标原点．若 ，则双曲线E的渐近线方程为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1（10分）已知（5N（，）两点．页（共20页）MNC的方程；在MC的切线方程．4 1（12分）已知nan的前n项和，且aS＝14 {an}an；令 ，求数{bn}的前n项和Tn．1（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱P⊥底面ABC，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．EDB；⊥平面EFD．2（12分）已知数n满足 ．证明：数列设

为等差数列，并求数列{an}的通项公式an；，求数列{bn}的前n项和Tn．2（12分如图1是直角梯形ABCADD90°A＝A＝ C＝2ED1 ＝2BEBCECCBCEABED21 11

与AD所成角的余弦值；第4页（共20页）DC1PPEBC1EB

？若存在，则求三棱锥C1﹣PBE的体积，若不存在，则说明理由．2（12分）已知点A（0）及圆B+2+＝，点P是圆B上任意一点，线段APlBPTPTE．E的方程；设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2E、D、M、N，且四边形CDMN是菱形，求该菱形周长的最大值．第5页（共20页）2021-2022学年广东省广州市天河区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析8540分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．15分）直线2+3+60在y轴的截距是（A．﹣2 B．2）C．3D．﹣32x+3y+6＝0y＝﹣x﹣2y轴的截距是25分）已知点（，﹣，点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）A（，，2） B（，，） C2，1，）D（，，2）解：∵点A（，﹣，∴点A关于x轴的对称点的坐标为35分）已知点（，Q是圆+＝4上的动点，则线段PQ长的最小值为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6解：圆：2＝4的圆心为，，半径为＝，所以，所以，QOP＝5﹣2＝3，45分）已知椭圆方程为：，则其离心率为（）A． B．C．D．【解答】解：椭圆方程为：，则其离心率为：＝ ＝，故选：B．第6页（共20页）55分《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的类似问题把150个完全相同的面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使较大的三份面包数之和的是较小的两份之和，则最大的那份面包数为（ ）A．30 B．40 C．50 D．60【解答解：根据题意，设这5个人所分到的面包分别为则 ，即 ，所以最大的那份面包数为a+2d＝50．故选：C．65分）已知抛物线C212x的焦点为F，直线l经过点F交抛物线C于，B两点，CP，若A．2 B．3

，则 为（ ）C．4 D．6A，F，B|BN|＝|BF|，因为 设|BF|＝m，|AF|＝n，则|AM|＝n，|PF|＝3m，∴2n＝n+3m，∴n＝3m，∴|AF|＝|PF|＝3m，∴ ＝，又|CF|＝p＝6，∴|AM|＝12＝3m，∴|BF|＝m＝4，故选：C．75分已知圆+2直线＝k+1k直线l被圆O截得的弦长最短（ ）第7页（共20页）A． B． C．8 D．9解：直线方程即＝（﹣）+，直线恒过定点1，圆心与定点直线的距离为 ，由圆的几何性质可知，最短弦长为 ．故选：B．85分）数列1245，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故它们为六边形数，那么第11个六边形数为（ ）A．153 B．190 C．231 D．276【解答】解：因为：1，6＝1+5，15＝1+5+9，28＝1+5+9+13，45＝1+5+9+13+19；即这些六边形数是由首项为1，公差为4的等差数列的和组成的所以：cn＝1•n+ ×4＝2n2﹣n；11二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．95分过点（的直线l与直线+﹣＝0平行则下列说法正确的（ ）l45°l的方程为：x+y+2＝0ll1间的距离为PllP（﹣2，0）代入，﹣2+0+m＝0m＝2，第8页（共20页）lx+y+2＝0B正确；k＝﹣1135A直线l与直线l1间的距离为 ＝2 ，故C正确；Ply＝x+2x﹣y+2＝0D正确．故选：BCD．1（5分）已知曲线 与曲线 ，则下列说法正确的是（ ）C139＜k＜16时，两曲线的焦距相等k＜9C2为椭圆k＞16C2为双曲线【解答】解：曲线3x±4y＝0，

是焦点在x轴上的双曲线，焦点坐标（，0，渐焦点到渐近线的距离为＝3，所以A正确；当9＜k＜16时，曲线

10，曲线

的焦距为：2曲线

＝2 B不正确；（k＜9）是焦点在x轴上的椭圆，所以C正确；曲线 ，当k＞16时，曲线C2不是双曲线，所以D不正确．故选：AC．15分）已知数n，下列说法正确的是（ ）A{an}01{an}为单调数列B．{an}nn＝10最大C．若点y＝kx+b（k，b为常数）第9页（共20页）D．若点（n，an）在函数y＝k•ax（k，a为常数，k≠0，a＞0，且a≠1）的图象上，则数列{an}为等比数列解：对于n+a＝（1q1n+nn}递减，0＜q＜1时，an+1＞an数列递增，同理可分析首项为正数，q＞1时，数列{an}递增，0＜q＜1数列递减，故数列{an}A正确；对于B，S11＝11a6＝0，即a6＝0，又a1＞0，所以S5＝S6最大，故B错误；C，点（n，an）y＝kx+ban＝kn+ban+1﹣ak＝k{an}为等C正确；D，点y＝kax，即

，所以 ，{an}D故选：ACD．15分）如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线AC和BF上移动，结论中正确的有（ ）

，则下列，使MN存在最小值，最小值为MNABEF45°MNBCE平行的平面ABCDABEFBA、BE、BC两两垂直，第10页（共20页）建系如图，（0，0，A（，，C（0，01F110E（，1，0，（ ，0， ，（ ， ，0，A

，

，＝01，1，所以当＝ 时，＝，所以A对；|≥

即| |时，等号成立，所以B错；对于C，因为平面ABEF的法向量是＝001，设直线MN与平面ABEF所成角余弦值为θ，θ∈（0， ]，cosθ＝ ＝ ，当a→0时，cosθ→1，θ→ ，所以C错；对于D，因为平面BCE的法向量是D对．故选：AD．

＝0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．15分）已知圆C：2+0关于直线2+a0对称，则＝1 ．C：x2+y2﹣2x+4y＝0l：2x+ay＝0对称，∴直线l经过圆心1，2，即﹣2＝，解得＝．故答案为：1．第11页（共20页）11 1 15分）如图，在平行六面体ABC﹣ABC11 1 BC的中点，则向量 ＝ （用 表示）

，N是11 1 【解答】解：∵六面体六面体ABCD11 1 ∴ ，∵ ，NBC的中点，∴ ，＝ ．故答案为： ．1 1（5分）已知nan的前n项和，且a＝S2n+，则a＝1 的通项公式an＝ ．1【解答】解：∵Sn是数列{an}的前n项和，且a＝1，Sn＝2an+1，①11 1 2 ∴a＝S＝2a a＝1 1 2 且n＝2n（n②①﹣②即n+＝an（n）即数列{an}从第2项起是首项为，公比为的等比数列，3∴a＝×＝，3第12页（共20页）

；数列{an}an＝ ，故答案为：， ．15分）已知F2是双曲线 的左、右焦点，点M是双曲线E上的任意一点（不是顶点，过1作1M2角平分线的垂线，垂足为NO坐标原点．若 ，则双曲线E的渐近线方程为 y＝ x ．F1NMF2MN如图所示：所以△F1MQ为等腰三角形，|F1M|＝|MQ|，NF1QF1F2的中点，ON是△F1F2Q|ON|＝|F2Q|，若 ，则|F1F2|＝3|F2Q|＝3（|MQ|﹣|MF2|）＝3（|MF1|﹣|MF2|）＝2a，即2c＝3a，可得b2＝c2﹣a2＝a2﹣a2＝a2，所以＝ ，所以双曲线的渐近线的方程为y＝±x＝ x．故答案为x．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第13页（共20页）1（10分）已知（5N（，）两点．MNC的方程；在MC的切线方程．15（﹣MN（1MN|＝ ＝6 ，线段MN是圆C的直径，则圆C的圆心为2，，半径＝3 则圆C方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝18，（2）根据题意，圆C的方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝18，M为圆上一点则kCM＝ ＝1，故切线的斜率k＝﹣1，切点为（，2，则切线的方程为﹣2＝﹣﹣，变形可得﹣＝；1（12分）已知nan的前n项和，且43＝1．{an}an；令 ，求数{bn}的前n项和Tn．【解答解）设等差数n的公差为，由 ，得 ，解得 所以an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）由可知bn＝ ＝所以（1﹣+ ﹣+•+ ﹣

＝（）＝（1﹣

﹣ ，）＝ ．1（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱P⊥底面ABC，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．EDB；EFD．第14页（共20页）1）连接A，交BD于点O，连接O，∵底面ABCD是正方形，∴O是AC的中点，∵E是PC的中点，∴OE∥PA，∵PA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PA∥平面EDB．（2）∵底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，∴PD⊥BC，CD⊥BC，DE⊥PC，∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PDC，∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE，∵BC∩PC＝C，∴DE⊥平面PBC，∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB，∵EF⊥PB，DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD．2（12分）已知数n满足 ．证明：数列设

为等差数列，并求数列{an}的通项公式an；，求数列{bn}的前n项和Tn．【解答证明1）数an满足 ，整理得 （常数，第15页（共20页）所以数列故整理得

3为公差的等差数列；，；（2）由得： ；故当 n 为偶数时， ＝＝ ，当n为奇数时， ．故 ．2（12分如图1是直角梯形ABCADD90°A＝A＝ C＝2ED＝2BEBCECC1BC1EABED2．BC1AD所成角的余弦值；DC1PPEBC1EBC1﹣PBE的体积，若不存在，则说明理由．）连接因为CE∥BA，CE＝BA＝AE，则四边形ABCE为菱形，第16页（共20页）

？若存在，则求ACBECF⊥BE，在Rt△ACD中所以AF＝CF＝ ，

＝2 ，BC1EABEDC1F⊥BE，故C1F⊥平面ABED，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，D（0，0，0，A（（ ，，

，0，0，B（ ，2，0，E（0，1，0，F（ ，，0，1＝− −， ， ＝（

， ＞|＝ ＝ ，故异面直线BC1与AD所成角的余弦值为 ；（2）假设在棱DC1上存在点P，使得二面角P﹣EB﹣C1的平面角为 ，则

，， ，＝λ （ λ，λ， λ

λ，λ， λ，所以

，1， ＝（﹣ λ