人教B版(2019)数学必修(第四册)：11.2平面的基本事实与推论教案

/4平面的基本事实与推论【教学目标】1．通过平面概念及画法的学习，培养直观想象的数学核心素养。2．借助平面基本事实及推论，培养逻辑推理的数学核心素养。【教学重难点】1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法。2．掌握平面的基本事实及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系。3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，并能解决空间线面的位置关系问题。【教学过程】一、直接导入前面我们通过几何体的学习，已经直观地认识了点、线、面之间的位置关系，从本节开始，我们将在直观认识的基础上来论证它们之间的关系，以期进一步培养大家的空间想象能力与逻辑推理能力。二、新知探究1．文字语言、图形语言、符号语言的相互转化【例】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：AC%B?a;l?&m?a,mna=A,A?l;PCI,P?&Q€l,QCofo［解］(1)点A在平面a内，点B不在平面a内。(2)直线l在平面a内，直线m与平面a相交于点A,且点A不在直线l上。(3)直线l经过平面a外一点P和平面a内一点Q。图形分别如图(1)，(2)，(3)所示。

【教师小结】(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示。(2)要注意符号语言的意义。如点与直线的位置关系只能用“C”或“？”表示，直线与平面的位置关系只能用“？”或“？”表示。(2)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别。2.平面的基本事实及推论公理内容图形符号基本事实1经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平间后支/A,B,C三点/、共线？存在唯一的平向a使A,B,CCa基本事实2如果一条直线上的两点在一个平间内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内^7ACl,B_€l_,且AC%B_€j?l?a基本事实3如果不重合的两个平向有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线V/PCa、PC夕aAB=1,且pci①②③推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图①)推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)。推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)。3.点、线共面问题【例】已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内。［思路探究］四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况。［解］已知：a,b,c,d四条直线两两相交，且不共点，求证：a,b,c,d四线共面。证明：(1)若a,b,c三线共点于O,如图所示，CO?d,e经过d与点O有且只有一个平面加CA、B、C分别是d与A、B、C的交点，CA、B、C三点在平面a内。由公理1知A、B、C都在平面a内，故A、B、C、D共面。(2)若A、B、C、D无三线共点，如图所示，Canb=A,e经过a、B有且仅有一个平面&CB、CC如由公理1知夕加同理，d?%从而有A、B、C、D共面。综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内。【教师小结】证明点线共面常用的方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内。(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合。、课堂检测

.判断(正确的打“,,错误的打“乂’)(1)三点可以确定一个平面。2)一条直线和一个点可以确定一个平面。(3)四边形是平面图形。(4)两条相交直线可以确定一个平面。［答案］(1)X(2)X(3)X(4)V［提示］(1)错误。不共线的三点可以确定一个平面。(2)错误。一条直线和直线外一个点可以确定一个平面。(3)错误。四边形不一定是平面图形。(4)正确。两条相交直线可以确定一个平面。.设平面a与平面B交于直线l,ACa,BC%且直线ABAl( )( )( )( )=C,则直线aba( )( )( )( )=C,则直线c[6/片i,ABm=c,cccb,ccab,caba片c.]pHy=a,于a.如图，三个平■面a,3丫两两相交于三条直线，即aC片C,=b,若直线pHy=a,于a求证：a,b,c三条直线必过同一点。［证明］CaC产b,pHy=a,Ca?卜b?单由于直线a和b不平行，