人教A版(2019)数学必修(第二册)：8.6空间直线、平面的垂直学案

/22【证明】 因为PA，平面ABCDBD?平面ABCD,所以BDXPA.因为四边形ABCD是菱形,所以BDXAC.又PAAAC=A,所以BD，平面PAC.又因为BD?平面PBD,所以平面PAC，平面PBD.梳究点回面面垂直的性质定理的应用偃国已知P是4ABC所在平面外的一点，且PA，平面ABC,平面PAC，平面PBC,求证：BCXAC.【证明】 如图，在平面PAC内作ADLPC于点D,因为平面PAC，平面PBC,平面PACA平面PBC=PC,AD?平面PAC,且

ADXPC,所以AD,平面PBC,又BC?平面PBC,所以ADXBC.因为PAL平面ABC,BC?平面ABC,所以PAXBC,因为ADAPA=A,所以BCL平面FAC,又AC?平面PAC,所以BCXAC.探究点包1垂直关系的综合问题03如图，4ABC为正三角形，EC,平面ABC,BD//CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点，求证：(1)DE=DA;(2)平面BDML平面ECA;(3)平面DEAL平面ECA.【证明】 (1)如图，取EC的中点F,连接DF.因为EC,平面ABC,BC?平面ABC,所以ECXBC.同理可得BDXAB,易知DF//BC,所以DFLEC.在RtAEFD和RtzXDBA中，1一—一因为EF=]EC,EC=2BD,所以EF=BD. 兄又FD=BC=AB,所以RtAEFD^RtADBA,故DE=DA.匕(2)取CA的中点N,连接MN,BN,WJMN//EC,且MN=1eC.- 1因为EC//BD,BD=2EC,所以MN统BD,所以N点在平面BDM内.因为EC,平面ABC,所以ECXBN.又CALBN,ECACA=C,所以BNL平面ECA.因为BN在平面MNBD内，所以平面MNBDL平面ECA,即平面BDM，平面ECA.(3)由(2)易知DM//BN,BNL平面ECA,所以DM，平面ECA.又DM?平面DEA,所以平面DEAL平面ECA.【学习小结】.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的也这两个半平面叫做二面角的面.(2)图形和记法图形：记作：二面角o-AB-B或二面角a-l-B或二面角P-AB-Q或二面角P-l-Q..二面角的平面角(1)定义：在二面角a-l-B的棱l上任取二点O,以点。为垂足，在半平面a和B内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的/AOB叫

做二面角的平面角.(2)图形、符号及范围图形：aAl,OCl符号：OA?a,OB?B?/AOB是二面角的平面角.OA±l,OB±l范围：0L-AOBW180：(3)规定：二面角的大小可以用它的平•面角来度量,二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平•面角是直角的二面角叫做直二面角..平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面a与B垂直，记作a±3.(2)判定定理文字语百图形谛言符号如果一个半闻过另一个平闻的垂线,那么这两个平间垂直；产7fl±B?dBl?a4.平面与平面垂直的性质定理文字语百两个平闻垂直，如果一个平向内后一直线垂直于这两个平向的交线，那么这条直线与另一个平闻垂直符号语言aX0公B=l力 ？」a?aall图形语言m幺“ 作用①向向垂直？线面垂直②作曲的垂线【精炼反馈】1.给出以下四个命题，其中真命题的个数是( )

①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直 .A.4 B.3D.1C.2D.1解析：选B.①②④正确.①线面平行的性质定理；②线面垂直的判定定理;③这两条直线可能相交或平行或异面;2③这两条直线可能相交或平行或异面;2.在下列关于直线m,1和平面④面面垂直的判定定理.&B的说法中，正确的是( )A.若l?B,且也A.若l?B,且也B,则1，B.若1，&且all&则1，C.若1，&且a±&则1//D.若aAB=m,且l//m,则l//解析：选B.A项中1与a可以平行或斜交，A项错.B项中，UB且all&所以Ua正确.C项中，1可在a内，C项错.D项中，1可在a内，D项错.3.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AC=BC=2,PC=1AB=2[3,则二面角P-AB-C的大小为P-AB-C的大小为W.CM±CM±解析：取AB的中点M,连接PM,MC,则PMXABAB,所以/PMC就是二面角P-AB-C的平面角.在4PAB中，PM=722-(V3)2=1,同理MC=PC=1,则△PMC是等边三角形，所以/PMC=60°.答案：60°.已知平面a,B和直线m,1,则下列说法:①若a±3aCB=m,l±m,贝U1，B;②若aAB=m,1?%Um,则1，B；③若a±31?&则1，B；④若aX3aCB=m,1?a,1Xm,则1，6其中正确的说法序号为w.解析：对于说法①缺少了条件：1?a；说法②缺少了条件：0aB；说法③缺少了条件：aAB=m,1±m；说法④具备了面面垂直的性质定理的所有条件.答案：④.如图，四边形ABCD,BD=2j3,AB=2,AD=4,将ACBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDBL平面ABD.求证：ABIDE.证明：在4