人教B版(2019)数学必修(第三册)：7.3.1正弦函数的性质与图像教案

/6正弦函数的性质与图像教学目标核心素养.能正确使用“五点法”、“几何法”做出正弦函数的图像。(难点).理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值。(重点).通过正弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养。.借助正弦函数图像和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养。【教学过程】、问题导入以摩天轮转轮中心为原点O,以水平线为横轴，建立平面直角坐标系。设。到地面的高OT为1m,P点为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为rm。记以OP为终边的角为xrad,点P离地面的高度为ym,那么y是x的函数吗？如果是，这个函数有什么性质？、新知探究1.正弦函数的性质与图像【例1】用五点法做出函数y=1—2sinx,xC1冗，nt的简图，并回答下列问题:(1)观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间。①y>1;②y<1.(2)若直线y=a与y=1—2sinx有两个交点，求a的取值范围；(3)求函数y=1—2sinx的最大值，最小值及相应的自变量的值。【解】按五个关键点列表x—九jt-20Jt2冗sinx0-10101—2sinx131-11描点连线得:-2eina*u*ir］-2eina*u*ir］(1)由图像可知图像在y=l上方部分y>l，在y=1下方部分y<l,e当xe(一&0)时，y>1,当x€(0,施时，y<1.(2)如图，当直线丫=2与丫=1—2sinx有两个交点时，1<a<3或一1<a<1,Ca的取值范围是｛a|1<a<3或—1<a<1｝。.. .一一., ... 兀 ... 兀(3)由图像可知ymax=3,止匕时x=—2；ymin=—1,止匕时X=/。［教师小结］(1)正弦函数图像的关键是要抓住五个关键点，使函数中x取0,，，&y,2冗，然后相应求出y值，做出图像。(2)五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向。(3)仔细观察图像，找出函数图像v=1与y=a的交点及最大值，最小值点正确解答问题。2.正弦函数的单调性及应用【例2】比较下列各组数的大小。(1)(3)sin194和cos160°;(1)(3)sin7和cos5；4 3.3Tt 37tsinsin—和sincos万。［思路探究］先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小。解：(1)sin194°=sin(180°+14°)=—sin14：cos160=cos(180-20)=—cos20=-sin70:€0°<14°<70°<90°Csin140<sin700从而一sin140>sin70°,即sin1940>cos160°(2)Ccog=sin2+5,

°兀7兀53乂2<4<九<2+3<2几,,九3 ,1,、一、,,，y=sinx在5,2冗上是减函数,「 7九5 5€sin4>sin3+3=cos3,7、 5sin4>cos3。冗8,冗8,8£0<cos|^sin7t不<£0<cos|^sin7t不<1<2。—. -江，而y=sinx在0,2内递增,3Tt3TtSsincosg<sinsin3f0［教师小结］(1)求出正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图像，同时注意三角函数的周期性。(2)比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较。3.正弦函数的值域与最值问题［探究问题］一 兀， ・一 (1)函数y=sinx+4在xC［0,nt上取小值能否为一1?… … 万冗5冗^ 【提示】不能。因为x€［0,兀］所以x+.e4,-,由正弦函数图像可知函数的最小值为—容(2)函数y=A•sxn+b,x€R的最大值一定是A+b吗？【提示】不是。因为A>0时最大值为A+b,若A<0时最大值应为—A+B.【例3】求下列函数的值域。冗y=3+2sin2x—3;y=1—2sin2x+sinx。［思路探究］(1)用|sinW0构建关于y的不等式，从而求得y的取值范围。(2)用t代替sinx,然后写出关于t的函数，再利用二次函数的性质及|t|0即可求出y的取值范围― _冗解：(1)C—10sin2x一弓3L 八 八.C 九€-2<2sin2x-7&工3冗€102si2x—e+30》3 兀一一 €1乎0》即函数y=3+2sin2x—3的值域为［1,5］。y=1—2sin2x+sinx,令sinx=t,则一1401c 1c9y=-2t2+t+1=-2t-42+8。由二次函数y=—2t2+t+1的图像可知一2对微，9即函数y=1—2sin2x+sinx的值域为一2,g。［教师小结］(1)换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性。(2)转化成同一函数，要注意不要一见sinx就有一1Wsirx&l要根据x的范围确定。三、课堂总结.“几何法”和“五点法”画正弦函数图像的优缺点“几何法”就是利用单位圆中正弦线做出弦函数图像的方法。该方法作图较精确，但较为繁琐。“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法。.正弦函数周期性的释疑由正弦函数的图像和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数， 2k冗(kCZ且kw。都是它的周期，最小正周期为2冗。.正弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，反映在图像上，正弦曲线关于原点 O对称。(2)正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形。.正弦函数单调性的说明(1)正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间。(2)求解(或判断)正弦函数的单调区问(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步。(3)确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断。.正弦函数最值的释疑（1）明确正弦函数的有界性，即|sinx|<!（2）对有些正弦函数，其最值不一定是1或-1,要依赖函数定义域来决定。（3）形如y=Asin（cox+小）（A>0,⑴>0）的函数的最值通常利用“整体代换”，即令cox+-z,将函数转化为y=A-siz的形式求最值。四、课堂检测.以下对于正弦函数y=sinx的图像描述不正确的是（ ）。A.在xC[2ktt,2k冗+2nt]kCZ上的图像形状相同，只是位置不同B.关于x轴对称C.介于直线y=1和y=—1之间D.与y轴仅有一个交点【答案】B【解析】观察y=sinx图像可知A,C,D项正确，且关于原点中心对称，故选B..函数y=-sinx,x€—2,32t的简图是（ ）。【答案】D【解析】可以用特殊点来验证。当x=0时，y=—sin0=0,排除A,C;当x：3^寸,y=—sin32a=1,排除B..若sinx=2m+1且xCR,则m的取值范围