2022-2023学年福建省宁德市乍洋乡中学高三数学理联考试卷含解析

2022-2023学年福建省宁德市乍洋乡中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=|sinx|?cosx，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x=对称 B．f（x）的周期为πC．若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+2kπ（k∈Z） D．f（x）在区间[，]上单调递减参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用；三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】f（x）=|sinx|?cosx=，进而逐一分析各个答案的正误，可得结论．【解答】解：∵f（x）=|sinx|?cosx=，故函数的图象关于直线x=kπ，k∈Z对称，故A错误；f（x）的周期为2π中，故B错误；函数|f（x）|的周期为，若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z），故C错误；f（x）在区间[，]上单调递减，故D正确；故选：D2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．8π B．π C．π D．12π参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，故选：C．3.已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于()A．{－1,2}

B．{－1,0}C．{0,1}

D．{1,2}参考答案：A4.已知定义域为的函数满足，当时，单调递增，若且，则的值

（

）A．恒大于0

B．恒小于0

C．可能等于0

D．可正可负参考答案：B略5.已知函数f（x）=，则f（﹣2016）=（）A．e2 B．e C．1 D．参考答案：B【考点】分段函数的应用．【分析】由已知条件利用分段函数的性质先由函数的周期性求出f，再由指数的性质能求出结果．【解答】解：∵f（x）=，∴当x＞2时，函数是周期函数，周期为5，f（﹣2016）=f=f（1）=e，故选：B．6.设是等差数列的前项和，若，则＝(

)

A．1

B．－1

C．2

D．参考答案：A略7.已知向量共线，那么的值为

A．1

B．2

C．3

D．4

参考答案：D本题主要考查平面向量共线的充要条件、平面向量坐标运算与数量积，同时考查转化的思想、方程的思想及逻辑思维能力、运算能力．难度较小．a＋b＝(3，k＋2)，∵a＋b与a共线，∴3×k－1×(k＋2)＝0，得k＝1，∴a·b＝1×2＋1×2＝4．8.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则正视图中的值为

A.8

B.6

C.4

D.2参考答案：B略9.某人到甲、乙两市各个小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B由茎叶图可知甲、乙小区空置房套数的中位数分别为和，故答案选B．10.对于数列{xn}，若对任意n∈N*，都有＜xn+1成立，则称数列{xn}为“减差数列”．设bn=2t﹣，若数列b3，b4，b5，…是“减差数列”，则实数t的取值范围是（）A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．（1，+∞） D．（﹣∞，1]参考答案：C【考点】数列递推式．【分析】数列b3，b4，b5，…是“减差数列”，可得n≥3时，bn+bn+2＜2bn+1，代入化简即可得出．【解答】解：∵数列b3，b4，b5，…是“减差数列”，∴n≥3时，bn+bn+2＜2bn+1，∴2t﹣+2t﹣＜2，化为：4（tn﹣1）+t（n+2）﹣1＞4t（n+1）﹣4，∴t，∵n≥3，∴≤1，∴t＞1．∴实数t的取值范围是（1，+∞）．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（2016?桂林模拟）定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是．参考答案：（0，）【考点】抽象函数及其应用；函数的零点．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】令x=﹣1，求出f（1），可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，画出图形，根据函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），∴f（1）=0则有f（x+2）=f（x），∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=loga（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，要使函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），可得loga（2+1）＞f（2）=﹣2，即loga3＞﹣2，∴3＜，解得＜a＜，又0＜a＜1，∴0＜a＜，故答案为：（0，）．【点评】此题主要考查函数奇偶性、周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，正确赋值是迅速解题的关键．12.在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为

．参考答案：13.已知集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|－1＜x＜1}，集合C={x|mx+1＞0}，若，则实数m的取值范围是______________.参考答案：由题意，，

∵集合，

①②m时，成立；

③综上所述，故答案为．

14.若在圆上有且仅有两个点到原点的距离为1，则实数的取值范围是

．参考答案：.试题分析：在圆上有且仅有两个点到原点的距离为1，圆与圆相交，两圆的圆心距，则，因此的取值范围.考点：1、圆的标准方程；2、圆与圆的位置关系.15.已知数列满足a1=an=0，且当2≤k≤n(k∈)时，（=1，

令．则

（1）S(An)的所有可能的值构成的集合为

；

（2）当An存在时，S(An)的最大值是

。参考答案：16.平面上三点A、B、C满足，，则+

.参考答案：--2517.实数x，y满足不等式组：，若z=x2+y2，则z的取值范围是．参考答案：[0，4]【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由z=x2+y2的几何意义，即可行域内动点到原点距离的平方求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，z=x2+y2的几何意义为可行域内动点到原点距离的平方，∴当动点（x，y）为O（0，0）时，z有最小值为0；为A（0，2）时，z有最大值为4．∴z的取值范围是[0，4]．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：

《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过ppm．（1）检查人员从这条鱼中，随机抽出条，求条中恰有条汞含量超标的概率；（2）若从这批数量很大的鱼中任选条鱼，记表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．参考答案：解：（1）记“条鱼中任选条恰好有条鱼汞含量超标”为事件，则，∴条鱼中任选条恰好有条鱼汞含量超标的概率为.（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率，可能取，，，.则，，，．其分布列如下：0123∴略19.设函数．(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．参考答案：故a的取值范围为.20.已知椭圆C：的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)已知圆M：的切线与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由，参考答案：（1）；（2）见解析【分析】(1)根据抛物线的方程确定椭圆的顶点，结合离心率可得a、b的值，进而求得椭圆的方程；（2）首先利用特殊情况确定点的坐标，然后根据直线和圆、椭圆的位置关系验证以AB为直径的圆是否过定点.【详解】（1）因为椭圆的离心率，所以，即．因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，所以，所以．所以椭圆的方程为．（2）（i）当直线的斜率不存在时．因为直线与圆相切，故其中的一条切线方程为．由，不妨设，，则以为直径的圆的方程为．（ii）当直线的斜率为零时．因为直线与圆相切，所以其中的一条切线方程为．由，不妨设，，则以为直径的圆的方程为．显然以上两圆都经过点．（iii）当直线的斜率存在且不为零时．设直线的方程为．由消去，得，所以设，，则，．所以．所以．①因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离，整理，得，

②将②代入①，得，显然以为直径的圆经过定点，综上可知，以为直径的圆过定点．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解及圆锥曲线相关的定点问题，相对复杂，需综合运用所学知识求解.21.（12分）如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=900，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点。（1）求证：PB∥平面EFG；（2）求异面直线EG与BD所成的角；参考答案：解析：解法一：（1）证明：取AB中点H，连结GH，HE，∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，∴GH//AD//EF，∴E，F，G，H四点共面。又H为AB中点，∴EH//PB。又面EFG，平面EFG，∴PB//面EFG。

（2）解：取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM//BD，∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角。在Rt△MAE中，，同理，又，∴在Rt△MGE中，故异面直线EG与BD所成的角为。

12分解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

则，，，，，，，。（1）证明：∵，，，设，即解得。∴，又∵与不共线，∴、与共面。∵平面EFG，∴PB//平面EFG。

6分（2）解：∵，，∴。故异面直线EG与BD所成的角为。

12分22.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD边长为4的正方形，PA=PD=2，平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）点E为线段PD上一点，且三棱锥E﹣BCD的体积为，求平面EBC与平面PAB所成锐二面角的余弦值的大小．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（I）利用面面垂直的性质得出CD⊥平面PAD，故而平面PAD⊥平面PCD；（II）利用体积公式计算E到平面ABCD的距离得出E点位置，建立坐标系求出两平面的法向量，从而可求出二面角的大小．【解答】（I）证明：∵面ABCD边长为4的正方形，∴CD⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，∴CD⊥平面PAD，又CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD．（II）取AB的中点O，连结OP，∵PA=PD=2，AD=4，∴OP⊥AD，OP=AB=2，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OP?平面PAD，∴OP⊥平面ABCD，设E到平面ABCD的距离为h，则V===．解得h=h，∴E为PB的中点．以O为原点，以OB