考研选讲-随机变量及其分布

概率统计一随机变量及其分布重要看法一分布函数；分布律；概率密度；重要性质和方法一分布函数与分布律或概率密度的关系；失散或连续状况下求随机变量生成的事件的概率；求随机变量函数的分布。重要分布一泊松分布；二项分布；平均分布；指数分布；正态分布。(注意正态分布性质)【例

2.1】选择题C1)

假设随机变量

X

的概率密度

g

擡偶曲数

?分布函数为

FQh

则

(A)F(x)

是偶甫数

?

是奇函数

.(C)F(x)+

=1.

(D)2F(x)

-F(-x)

1.

[_

]【解析与解答】能，故只能选C.

由分布函数单调性和非负性知

A,B

均不能能，由极限性质知

D不能x

x事实上，

F(x)f(t)dt

f(u)du

%f(

t)

dtx因此F(x)F(x)f(t)dtf(t)dtf(t)dt1x(2)假设X为随机变量?则对任意实数s槪率=2=0的充分必要条件是(A)X是失散型随机变量.(B)X不是失散型随机变量-g)X的分布函数是连续函数.(D)X的概率密度是连续函数.[]【解析与解答】对任意实数"有P(X=^)=0是连续型随机变量的必要条件但不充分?因此不能够选.失散型随机变議必有a便IHX=a)HOMA)不能够选?故正确选顼是(Ch事实上少(X=a)=O^F(a)-F^-O)对任意实数a.F(^)=F(?-O)^F(r)是龙的连续函数.(和假设随机变的分布函数+槪率密度分别为F,(J：).Fz(x)Iy3(x).兀(工八若是0>0T6>O.r>0.则以下结论否丐辱的是(A>aF1<x)+iF2(x)是某一随机变矍分希诂如的充要条件是a^b=L是英一随机变61?分布函数的充要条件是『=L(C｝世八(刃丄bfzU｝是某一随机变量概率密度的充要条件是a^rb=L(0"门?)兀〔工)某一随机变飛槪率密度的充要条件是r=L[]【解析与解答】由分布函数的充要条件正确.由槪率密度充要条件知(C)正确，而(D)未必正确■因此选择(DX事实上-c/iCx)/￡(x)为概率密cf1=l^c/j(x)(假设右式积分存在)?显然A未必等于】?所A=P/(x>/：(x｝dx(以选坝(D)不—W正确.【例2.2】(1>已知蘭机变鱼X的概率分布为k123P<X=Jt)似j一e>(1-W!且P(X^2)=2?求未知参数〃及X的分布函数玖工).<2)已知X的分布函数为Fa：).槪率密度为只工人当龙笙0时川刃连续且/<x)=F(x).若F(0)=X求FUr)JG).【解析与解答】(D由F(X>2)=P(X=2)-FP(X=3)=2^(1-0)+(1—鉗=1一护=■求得仁士丄?又p(X=2)=2<?C1孑0?故取抄=4V'￡￡进而得X的概率分布k123F(X=k)111T~27由此可再求得F(x)(2)由于F?}是单调不减函数■故对Vx>0有F&)=知/Q)=F3.由微分方程F7X)=F(Q,F(O)=解得F(X)=eJ(x^O).进而得F(D={

X又当工冬0时捉刃连续，故Lf吧"*工W0?亡fCr)="

八工)=已H*工<Q.11?

H>0*

0.【例2.3】假设X是连续型随机变量，其分布函数为(I婁<■1F(x)={虹!y+cr十d*1xe.Id?x>e*试求常数ZZ及槪率密度f(工人【解析与解答】由FQ)充婆条件及是连续函数确定a.b.c.d,且八刃F(￡=尸(丈人由于F(￡是连续型随机变境的分布函数*因此F3是连续单调不减函数.且=i*F(—g)=0,由此即得0=F(—oo)=aF(1)=F(1—0)?即c+=>c=—1L=F(+8)

=d

F(e)=F(

芒+

0)$

艮卩

6e+ce+d

—d^Z>=

1?再由F(x)导数简单求得概率密度f(x)d)设X槪从参数为人的泊松分布?MX=1)=P(X=2>.求概率P{O<X￡<3}?(4)(91103)设X?)且P(2<X<4)=0.3,求PCX<0),【解析与解答】<3)已知PCX=M占=.八由于P(X=打=即k!(hlF(X=2),名戶=务/?解得“比■4■-故P(0<<3)=P(X=1)=(4)已知X?N(2,^).故P(2<X<4)=麒匕一叙=0(-)aera9F(X<0)=報_)=1d—7?一0”5=O.3.0(—)=0.&因此一秋二》=0.2.250350(5)由于X的概率密度关于X对称，故EX23000a(7【例2.4】⑴已知随机变HE在［45］上遵从平均分布*试求方程4T+4&74E十2=0有实粮的概率；已知随机变議??且方程Xs+-x+f=0有实根的概率为*、求未知参数冬【解析与解答】按条件写出相应事件并用分布计算其槪率，进而可求得未知参数.1已知W?孑匕)=V5：°'叭所求的概率为Irt廿亠.由于巩工〉是单调不减函数，故对Vx>0有FQ)=1,又当工W0时只工)连续.故/(工)=已知=F<x).由微分方程Ff(r)=F(x).F(O)=L解得F(x>=e*(x0几进而紂F(H)=6J°/(H)?/z<0?|10.lO.x>0,(3}设X遵从参数'为湎泊松务布JCX=1)=P(X=2几求概率/?{0<^<3}.(4X9H03)设X?N(2.tr)且p(2<X<4)=0*3?求P(X<0).1卜即0(^—)=扌扌一严=皿=￡【例2.5】已知随机变量X?N(0,1){-\.X<1>(1)令丫=-求丫的分布函数：(2)求V=ex的槪率密度M3)\I*A耳1求/=丨X)的槪率密度.1结黒能够用标准正态分布函数①“》表示).【解析与解答】先用定义法求分布南数，此后再求概率密度.(1)由题设知F是失散型随机变其槪率分布为P(Y=-1)=P(X<1)=<P(1).P(Y=1)=P(X^l)=1-P(X<1)=1—孰】>=d(故Y的分布函数F(W=P{Y^y}==yt)o<y<-l]=“P<Y=-1〉=叙]〉，一1GV】>、—1Wy.<2)Y=eA的分布函数F(y)=P(Y^y)=P(ex<>)故F(>-)=|』W0*y￡o.y>0y>Q*0.因此当$冬0时?F(j)=Ot当y>0时?F(y)=_P(XW=①(】2)<3)Y=|X|的分布函数=尸当』<0时?F?)=0；当yAO时.F(y)=P{|X|<yl=P{-y^X^y}F?=(>■<0一1y<0\2^(y)y豪0j>0.因此概率密度心=={泅F?

0*如(，)*=叙y)-0(—y)=2力(歹)—I.【例2.6]一给水设备每次供水时间为2小时?已知设备启动时发生故障的概率为旦设备启动.它的无故障工作时间X遵从指数分布?平均无故障工作时间(EX)为10小时.试求设备每次启动无故障工作时问Y的分布函数【解析与解答】为求Y的分布?第一要解析题目中涉及的三个变量Y.X.2Z间的关系.丫是设备启动后无故障工作时间且最多工作2小时.因此0依题意.X是设备启动后兀故障工作吋间.若是记A=“启动时设备发生故障S则P(A)=0.001*且在忑发Fx(^|A)=P!X<J|■r￡工>0.生条件下X报从指数分布，即在A发生条件下’X的分布函数.其屮入=俵=缶当互发生时y=x.综上解析知的分布函数当y<0时?FY(W=0当>5=2时.Fy<y）=1当02时，心=PWS=P{Y<0}+円丫=2+WW对=0+P⑷+P（0<Y^y.A}=o.ool十p（A）P{0.<XCytA}=0*001+6999（1一e_v）=0.001+0.999（1—.y<0.2S故所求的分布函数［例2.7】设随机变量X的概率密度为f（x）

x1x,其他0,令Y=X2+1，求（|）Y的概率密度fY（y）；（II）解：（I）记Y的分布函数为FY（y），则

P{X2FY（y）FY（y）当1<y<2时,FY（y）0

P{Yy}P{y1“厂u—xdxy1y12xdx0y11,1y2

1}X..y1}FY（y）故Y的概率密度为0,其他fY（y）3II）解法1P{1Y}23、3、1FYFY（1）FY（2）（；）233解法2P{1Y}12fdy2P(X=1)

=芜在事件

{-KX<1}

发生条件下在

(-1H)

内任一子区闾上

4取值的条件槪率与该子区间长度成正比

*试求

X

的分布函数

FS【解析与解答】第一要将题目中的已知条件所蕴备的数量关系写出■由題设

知P{|X|<1}

=I-P(X=-1)

=当』(X=

“=?记A={—1CXV1Xo

4依题意?在

A

发生条件下

.X在(

一

1.1)上遵从平均分布

.

即在

A

发生条件下

.X的密度甫数?分布函数分别为0.0,FV(X|A)=P<X<XA)工+】~r~.IT由题设得P(A)=P(-1<X<1)=P(-1Wxc1)-P<X=-l)-P(X=1).1I5=I———―6-=8■84故所求的X的分布甬数FQ)=当工<-1时?F(刃=円兀点小=当一10工<1时.OrF<x)=P(X<x)