小学数学计算教学的问题和对策课件

问题一：算法、算理的厚此薄彼之现象问题二：算用结合陷入两难之境地问题三：口算、估算、笔算、简算泾渭分明问题四：计算教学的练习设计基础与发展的失衡第1页/共71页问题一：算法、算理的厚此薄彼之现象第1页/共71页1问题一：算法、算理的厚此薄彼之现象（一）问题描述

计算教学改革历经两个明显阶段。第一阶段：教材选定算法——教师讲解算法——学生模仿算法——练习强化算法。教师的典型语言是“你算对了吗？”，其核心是掌握算法，能正确计算，并追求计算的速度。第二阶段是倡导“算法多样化”的教学理念。教师的典型语言是“还有不同的方法吗？”，其核心是促进学生自主探究算法、培养创新精神。综观两个阶段，都是极大的凸显了“算法”，而算理似乎仅仅是算法的附庸，在教学中处于可有可无的境遇。第2页/共71页问题一：算法、算理的厚此薄彼之现象（一）问题描述第二阶段是2一道试题引发思考江干区2008年6月小学数学三年级三部测查试题:区正确率３5.1%最低的班级正确率13.3%第3页/共71页一道试题引发思考区正确率３5.1%第3页/共71页3典型错误:买4套服装要272元；买40套套服装要272元；买4套服装要2720元；买45套服装要2720元；买45套服装要3060元。第4页/共71页典型错误:买4套服装要272元；第4页/共71页4试题二：列竖式计算。543÷3520÷5844÷628×4375×8437×69阅卷结果统计：全区全对率是73．4%（全对的学生人数占总人数的百分比），得分率是93．7%。结论：计算技能很坚实，算理的理解有缺失。第5页/共71页试题二：列竖式计算。结论：计算技能很坚实，算理的理解有缺失。5师：2×30等于60，你们是怎么算的？

生1：先算2×3等于6，再添一个0等于60。

师：你们听懂这位小朋友的算法了吗？

指名复述（略）

师：你们都同意这种算法吗？

生齐（响亮而整齐地）：同意！

师（作疑惑状）：一会儿把0去掉，一会儿又把0添上去，真的可以这样算吗？

生齐（声音明显小了许多）：应该可以的吧。（可以看出，不少学生已经开始了新的思考。）

师：可以这样算吗？说说你们的理由。

生1：前面去掉的是1个0，后面添上去的也是1个0，没有多也没有少，肯定是可以的。

生2：我是用加法算的，2×30就是2个30相加，结果也是等于60。

师：这位小朋友很会动脑筋，想到用加法来验证结果的正确性。但还是没有说清楚为什么可以添上0、去掉0。

生3（急着站了起来）：老师，我妈妈早就教过我了，就是这么算的！

生4（挑战般地）：万一你妈妈教错了呢！

生5（发现新大陆般）：老师，我知道可以怎么想了！我们可以先把30看作3个十，3个十乘2等于6个十，6个十就是60。

教室里十分安静，多数学生露出了恍然大悟的神情，仿佛在说：噢，原来是这么回事啊！但也看得出还有不少学生依然似懂非懂的样子。

师：谁再能说一说？（停顿）老师这里有一些小棒，每一小捆都是10根，你可以借助这些小棒来说道理。

生6借助小棒表述算理（略）。

第6页/共71页师：2×30等于60，你们是怎么算的？

生1：先算2×36（二）教学思考：如何兼顾算理和算法，使两者相得益彰。1．什么是算理?什么是算法?

算法是解决问题的操作程序，算理是算法赖于成立的数学原理。简单的说，算法是指向“怎么算”，算理是指向“为什么可以这样算”。算理是客观存在的规律，算法是人为规定的操作方法；算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度；算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括。第7页/共71页（二）教学思考：如何兼顾算理和算法，使两者相得益彰。1．什么7

2．促进算理理解的有效策略。

（1）创设情境，以支持算理的理解。10×3=30（枝）2×3=6（枝）30+6=36（枝）多位数乘一位数的笔算第8页/共71页2．促进算理理解的有效策略。

（1）创设情境，以支持算理8三个情境的取舍：每盒12支水彩笔，有3盒，一共有几支？每人2本书，有41人，一共有几本？王老师买数学作业本，一个班需要32本，3个班要买多少本？

思考：你会选哪一个，为什么？情境创设要有利于对算理的理解和表达。30本30本30本第9页/共71页三个情境的取舍：每盒12支水彩笔，有3盒，一共有几支？情境创9（2）借助学具或图形，使算理理解更加直观。在教学《乘数是一位数的口算乘法》，如30×2，大部分学生都采用“先算3×2等于6，后面再加一个0”的方法，但至于“为什么可以先不看0，后又要添0？”这个问题学生却百思不得其解。于是老师围绕3个问题进行引导：（1）30乘2表示什么意义？（2个30或30个2）（2）如果用小棒表示2个30，可以怎样摆？（2个3捆）（3）根据小棒图理解“3×2表示什么？为什么末尾要添0？”学生借助小棒进行解释：30看作3个十，3个十乘2等于6个十，6个十就是60。第10页/共71页（2）借助学具或图形，使算理理解更加直观。第10页/共71页10

还可以借助矩形模型，帮助学生理解竖式计算的算理。如12×14，可以设计以下图形：

12×1448（表示4个12）

120（表示10个12）

168将抽象的竖式与形象直观的图形结合，使竖式中的每一部分都和图形中的相应部分对应，第11页/共71页还可以借助矩形模型，帮助学生理解竖式计算的算理。如1211181818×3×3×3944434错误算法分析：（1）个位满十进2，十位先加后乘：1+2=3，3×3=9。（2）只进了“1”；（3）忘了进位;或者3乘8满20,十位就是1+2=3。分析错例不是简单的告知，而是从算理上知错改错。（3）呈现错例，从算理的角度知错纠错。第12页/共71页181812

引导：结合问题情境（每个班有18人参加集体舞表演，三年级3个班有多少人参加？）理解先算3×8，表示3个8人是24人；如果十位先加进上来的“2”再乘3，就表示3个30人，与题意和主题图不符合了。所以十位应该先乘后加。第13页/共71页引导：结合问题情境（每个班有18人参加集体舞表演，三年级313（4）沟通不同算法背后的算理，使算理趋向统领。

一种计算类型就会有相应的算法，让学生感到烦杂，以至混淆。而实际上有很多看似不同的算法，它们的算理是相同的，所以需要教师要有“回回头，比一比”的求联意识。第14页/共71页（4）沟通不同算法背后的算理，使算理趋向统领。第14页/共714教学编写进度计算类型计算方法一上《11-20各数的认识》11+2=1313-2=11先算个位上的数，再算10加几。一下《100以内数的认识》30+2=3232-2=30想数的组成，如3个十和2个一组成32。一下《100以内的加法和减法》10+20=3030-10=20先算十位上的数，再在个位上写0。一下《100以内的加法和减法》（1）32+5=37（2）32+50=82（1）先算个位，再加几十。（2）先算十位，再加几。一下《100以内的加法和减法》24+9=33先算个位，再加几十，注意进位。一下《100以内的加法和减法》（1）35-2=33（2）35-20=15（1）先算个位，再加几十。（2）先算十位，再加几。一下《100以内的加法和减法》36-8=28先算个位，再加几十，注意退位。第15页/共71页教学编写进度计算类型计算方法一上《11-20各数的认识》11153．促进掌握算法的有效策略。

（1）引导比较多种算法之间的联系。在交流多种算法和选择某种好方法之间，还需有一个过程，那就是引导学生对这些算法进行比较、分类，理解内在的联系，把握差异，以便学生更好的掌握和选择算法。

第16页/共71页3．促进掌握算法的有效策略。（1）引导比较多种算法之间的16口算：85×20=170085×6=5101700+510=2210笔算：对计算过程及表示的实际意义建立对应联系。第17页/共71页口算：笔算：对计算过程及表示的实际意义建立对应联系。第17页17案例《除数是两位数的除法》

1.问题情境：175本书，准备每32本装一包，可以装几包？还剩几本？2.请学生尝试计算，呈现5种方法。方法一：32×6=192方法二：175≈（5）×3232×5=16032×5=160175-160=15175-160=15

方法三：175÷32≈5方法四：方法五：

30×5=150552×5=1032）17532）175150+10=16016015175-160联系与沟通第18页/共71页案例《除数是两位数的除法》1.问题情境：175本书，准备每18

分别让学生说说思考过程，并适时提问，如：方法二、三、四中，你是怎样想到“5”？这一步表示什么？方法五中的两个“15”分别表示什么意思？商“5”应该写在什么位置？提问的目的有两个，一是修正算法中的错误（如方法五商的位置）；二是让学生理解多种方法;三是感受方法之间的联系：都要先估计大约装几包；估计时把除数“32”看作“30”比较便捷；都要算出5包有几本；最后算出还剩多少本。使学生结合情境理解了除数是两位数除法的计算程序，还突破了“如何定商”这个教学难点，顺利掌握了算法。第19页/共71页分别让学生说说思考过程，并适时提问，如：方法二、三、19（2）循序渐进，逐步完善算法。从算理理解到掌握算法，并不是一个自动转化的过程，而需要引导完善。算法从合理走向简捷。在教学“两位数加两位数的笔算”，学生理解算理并不难，知道十位上的数可以相加，个位上的数可以相加，因为它们的计数单位是相同的。但是要学生认同“从个位算起”，不能仅仅依赖教师的规定，而是通过比较不进位和进位加法的过程，令学生真切感受到从个位算起会简捷一些。

算法从“原生态”走向规范。学生原生态的算法往往是算理的直接反映，对学生个体来说是一种创造。而约定俗成的算法往往就是一种规定，与学生的理解不能完全相符，需要教师引导。第20页/共71页（2）循序渐进，逐步完善算法。从算理理解到掌握算法，并不是一20（3）挖坑又掘井，适时提炼算法。

对比新旧教材不难发现，完整的计算法则从现行的数学课本中消失了！这是不是意味着计算不需要法则了呢？教材编写者之所以把计算法则从课本中请出去，是基于传统计算教学中对计算法则的过度重视和依赖，试图改变要求学生一字不拉的背诵、默写法则的现象，倡导把教学重心转到对算理的理解、对算法交流比较，促使学生个体对法则有一个感悟的过程。第21页/共71页（3）挖坑又掘井，适时提炼算法。对比新旧教材不难21

但凡是技能就一定会有相应的法则，适时的提炼有助于技能的正确和熟练。结合具体的计算过程进行提炼。如在教学《多位数乘一位数》例题教学后，27×215×5214×3，改作以下算式：18×5192×4412×3

具体意图：18×5的特点是个位相乘满“40”，积的末尾为“0”；192×4的特点是三位数乘一位数，并且是十位相乘满“30”；412×3的特点是百位相乘有进位，并且对“12”的书写位置做进一步明确。通过这组练习，可以进一步提炼：哪一位上的数相乘满几十就向前一位进几。计算教学的练习设计中，把握同类计算的特殊类型，使学生的计算困惑能在课堂教学中得以呈现和解决。提炼法则不求一步到位。

感悟计算法则是建立在一定量的练习之上，先感受到的往往是最重要或最容易错的某一点，然后随着多个例题的教学、练习课，技能趋向熟练，对法则的感受也会日益全面。第22页/共71页但凡是技能就一定会有相应的法则，适时的提炼有助于技22

计算教学中兼顾算理和算法，让学生“知其然，并知其所以然”，可以使学生掌握的数学知识更具可持续发展的张力。第23页/共71页计算教学中兼顾算理和算法，让学生“知其然，并23问题二：算用结合陷入两难之境地（一）问题描述

应用题是传统小学数学课程的重要内容，专门设计独立单元进行编排。而现行的课标试验教材不再单独设立应用题单元，而是注重让学生“经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并解决简单的问题”。面对改革，一线教师在观念上已经达成共识，但在具体教学把握中还存在一些偏差。第24页/共71页问题二：算用结合陷入两难之境地（一）问题描述第24页/共7124解决问题成为引出计算的“幌子”。

观察当前的计算课，基本形成了教学程序，即问题情境——列式计算（明算理，探算法）——基本计算练习——解决问题。

解决问题成为计算技能形成的“障碍”。

(1)千呼万唤始出来;(2)过早应用,忽略技能的训练。围棋的棋盘面由纵横各19道线交叉组成，棋盘上一共有多少个交叉点？第25页/共71页解决问题成为引出计算的“幌子”。围棋的棋盘面由纵横各19道线25（二）教学思考：如何处理计算教学中算与用的关系？１．计算教学中实现“算”与“用”的双赢。（1）解决问题对计算的促进作用。解决问题中感受计算的必要性解决问题中理解“怎样计算”（2）计算教学促进解决问题能力的提高。在“以用引算”中加强数学信息的处理和数量关系的分析。在“以用明算”中关注运算与实际意义的理解。在“以用促算”中丰富解决问题的策略和经验。在“以算激用”中沟通、比较多种数量关系。2．计算教学中恰当选择解决问题的时机。第26页/共71页（二）教学思考：如何处理计算教学中算与用的关系？１．计算教学26

如在教学《除数是一位数的除法》，创设情境“四年级2个班共种树52棵，平均每班种多少棵？”，通过分析后列出算式52÷2，在探究计算方法时，适时的理解下面的问题。如：十位上5除以2表示什么？——50棵树平均分给2个班，平均每班分到多少棵？十位上5减4表示什么？——50棵树，分掉了40棵，还剩多少棵？竖式中下面的“12”是怎样来的？表示什么？——每班种6棵，2个班共种了12棵。

……

学生在理解算理的同时，又是对多个数学问题的分析和解决的过程。第27页/共71页如在教学《除数是一位数的除法》，创设情境“四年级2个班共27课堂中呈现两种思路：（1）1000-35×28=20（元），（2）35×28+10=990（元），引导学生交流具体思考过程，发现两种思路都很合理。在解决这样的问题中，不仅强调了数量关系，还悄然地丰富了学生解决问题的策略和经验。第28页/共71页课堂中呈现两种思路：（1）1000-35×28=20（元），28《两位数减两位数》的教学中，设计一个解决问题“小红连续跳绳50下，小明连续跳绳35下，小红比小明多跳多少下？”学生列式计算“50-35=15”后，继续设问：算式“50-35”还可以解决哪些数学问题呢？学生就会从不同的视角提出不同数量关系的数学问题，诸如：有50元钱，买书包用去35元，还剩多少钱？东东有50本课外书，奇奇比他少35本，奇奇有多少本？买台灯要50元，明明现在有35元，还差多少元钱？

……

以算激用，让学生自主激活已有经验，分析不同问题的数量关系，整体把握问题之间的联系和区别。第29页/共71页《两位数减两位数》的教学中，设计一个解决问题“小红连续跳绳29问题三：口算、估算、笔算、简算泾渭分明

（一）问题描述课程标准多处提到要“结合具体情境，体会四则运算的意义”、“重视口算，加强估算”、“能熟练口算20以内的加减法和表内乘除法”、“能为解决问题选择合适的算法，能估计运算的结果”等等，其实就是指向计算能力的三个层次：（1）计算的正确性，理解算理，掌握算法；（2）计算的速度，如熟练或比较熟练；（3）计算的灵活性，达到合理、简捷。第30页/共71页问题三：口算、估算、笔算、简算泾渭分明（一）问题描述第30江干区三上试题

“聪聪装了一碗花生米，数一数有198颗。在一个盆子里倒进3碗，盆子里一共大约有（）颗花生米”。

结果是：79．8%的学生填“594颗”，15．6%的学生填“600颗”。在考试后的访谈中还有两点发现：（1）一经老师提醒“这题可用估算吗？”，选择精算的大部分孩子就意识到选择估算更合适；（2）填“600颗”的学生里面还有小部分学生是先算得“594”，再把结果写成“600”。第31页/共71页江干区三上试题“聪聪装了一碗花生米，数一数有198颗。31

三下试题

食堂要购买大米，每袋59.8元，买了15袋。王师傅带了1000元，够吗？

估算在1-3年级期间已经多次出现，学生已经能熟练估算以下式题：

59×19≈60×20=1200201+597≈200+600=800398÷5≈400÷5=801000-899≈1000-900=100

但我们的学生就是想不到59元8角很接近60元！测试中只有32.5%的学生想到用“60×15=900”进行计算（有一所学校没有学生想到估算）。看来形式化估算的表面下缺少的是意识和精神。第32页/共71页三下试题第32页/共71页32三年级下册期末测试的试题：第33页/共71页三年级下册期末测试的试题：第33页/共71页33测试结果：在随机抽出481份试卷中，只有5位学生先根据数据特点先比较,再估算。大部分学生是先依次计算，再比较。

432÷6=72(米)；

432÷8=54(米)；

544÷8=68(米)；

72>68>54第34页/共71页测试结果：在随机抽出481份试卷中，只有5位学生先根据数据特345÷（+）得分率71.3%2×3×4×（++）得分率78.7%2010×+2010÷15×13得分率72.8%第35页/共71页5÷（+）35学生缺乏合理地、灵活地选择简捷计算策略和方法的意识。出现这个问题的主要原因是估算、口算、笔算、简算教学各自为阵，缺少互相融合的意识，缺乏选择策略的空间。第36页/共71页学生缺乏合理地、灵活地选择简捷计算策略和方法的意识。出现这个36（二）教学思考：如何培养学生自主选择计算方法策略的意识。

1．提升计算教学目标定位，从单纯技能走向综合能力。如估算教学，除了掌握“看成整十整百数再计算”的方法外，还要关注理解“什么时候可以用估算”，即估算的适用性；体会“估算有什么好处”，即估算的价值；能判断“运用估算，结果变大还是变小”，即对估算结果的大致把握；意识到“即便不需要精算结果，但估算有时也不能解决问题”，即估算的局限性。

2．估算、笔算、口算、简算多种方法策略的融合，着眼灵活选择。

（1）一般计算法则和特殊方法的灵活选择，在“立”与“破”中提高。（2）估算、笔算、口算、简算的相互交融，在比较中优化。

3．强化评价促进选择计算策略意识的形成。

第37页/共71页（二）教学思考：如何培养学生自主选择计算方法策略的意识。137

教学《分数除法》后，学生都能掌握一般的方法“除以一个分数，可以乘这个数的倒数”。在后续的练习中可以设计以下练习：

8/9÷4/9=18/19÷6/19=3/14÷3/7=4/25÷4/5=

让学生观察算式的特点，思考：有没有其它的计算方法？使学生发现：有些分数除法还可以用“分子除以分子的结果做商的分子，分母除以分母的结果做商的分母”这样的方法，使计算更快捷。第38页/共71页教学《分数除法》后，学生都能掌握一般的方法“除以一个分38

教学“小数四则混合运算”中设计如下问题：

给16平方米的墙壁贴墙纸，墙纸每张长2.2米，宽1.25米，8张这样的墙纸够吗？

学生根据数量关系列出算式2.2×1.25×8，有的学生按照从左往右计算；有的学生想到乘法结合率，先算出1.25×8；还有的先估算一张墙纸的面积大于2平方米。这样的练习，有选择不同计算策略的空间，在交流中学生之间互相影响，体会到选择快捷策略的优势。长此以往，比较、选择计算方法和策略会逐渐成为学生的自觉行为。第39页/共71页教学“小数四则混合运算”中设计如下问题：第39页/共739自主选择计算策略的意识的形成不能奢望“一次性完成”，而是依赖于长期培养，在不同的教学内容领域和教学年段都要一如既往的关注，使学生的计算从正确走向快捷、灵活。第40页/共71页自主选择计算策略的意识的形成不能奢望“一次性完成”，而是依赖40问题四：计算教学的练习设计基础与发展的失衡（一）问题描述新知教学后的练习设计极其重要，起着巩固、查漏、发展等作用。但在当前计算教学课堂中的练习有“一口吃成胖子”的倾向，最基本的计算寥寥几题，却急于端出“解决问题”“思维训练”等练习。第41页/共71页问题四：计算教学的练习设计基础与发展的失衡（一）问题描述第441（二）教学思考：追求计算教学中基础练习和发展练习的平衡。第42页/共71页（二）教学思考：追求计算教学中基础练习和发展练习的平衡。第4421.基础性练习的设计视角（1）关注知识缺口，适时弥合。

在新知探究阶段，会发现学生存在某些知识方法的遗忘或比较薄弱，从而影响计算的正确，这样就需要在练习阶段设计相应的练习进行弥补和强化。如教学五上《小数乘法》例7、8，让学生利用运算定律进行简便运算，发现学生对算出结果是整数的数据把握比较迟钝，于是就设计练习：

12．5×0．81．9+8．112．15-2．150．25×41．25×80．5×480×0．256．42+4．58

第43页/共71页1.基础性练习的设计视角（1）关注知识缺口，适时弥合。第4343

例142÷2

例252÷2

例3238÷6(分析学习困难)

例3有“三新”：（1）被除数从两位数扩展为三位数；（2）被除数百位上的数除以除数不够商1该怎么办？（3）计算238÷6的结果有余数

《除数是一位数的除法》第44页/共71页例142÷2《除数是一位数的除法》第44页/共44

例1、例2的基本练习应承载补缺功能，以缓解坡度。例1教学后可以补充“被除数是三位数、各个数位上的数都能被整除”的算式，如369÷3、428÷2等等，使学生尽早接触到三位数除以一位数；例2教学后可以补充“被除数是两位数，十位上的数被除后有余数，最后结果也是有余数”的算式，如73÷6、80÷7等等，以激活有余数除法的经验，从而降低学习难度。第45页/共71页例1、例2的基本练习应承载补缺功能，以缓解坡度。第445（2）着眼要点，巩固完善。

同样是三位数除以一位数，又包含不同的类型，如：658÷5，百位除后有余数，而十位除后没有余数；436÷3，被除数各个数位上的数被除后都有余数；324÷4，百位不够商1，而十位被除后没有余数；540÷4，被除数末尾有0，商的各个数位上都没0；704÷6，被除数中间有0，而商各个数位上均0；……。虽然无需让学生分析这些算式的特点，但教师备课时却要考虑周全，尽可能让学生经历每一种类型，熟悉每一个计算细节，关注“同中求异”保证计算技能的落实。第46页/共71页（2）着眼要点，巩固完善。同样是三位数除以一位数，又包含不同46（3）针对难点，聚力突破。

《被减数中间有0的减法》的练习：

单项训练或对比练习依然是用以“攻坚”的高招！

第47页/共71页（3）针对难点，聚力突破。单项训练或对比练习依然是用以“攻坚47（4）练习要促进对基本知识、技能的真正理解和掌握，而不是机械的记忆、模仿。《负数的认识》

质量检测局对一批山核桃的重量进行抽样检测，其中一包山核桃包装袋上写着“净含量500+5克”，结果检测的结果是496克。你觉得这包山核桃的重量合格吗？说说你的理解。

第48页/共71页（4）练习要促进对基本知识、技能的真正理解和掌握，而不是机械48用你的手来画圆，把大拇指的指端作为固定的一点，让中指的指端绕着这个点转一周，画一个尽可能大的圆，这个圆的周长大约是

厘米。相关的技能：画圆、估计、圆周长计算创设新颖的问题情境，突破机械模仿。第49页/共71页用你的手来画圆，把大拇指的指端作为固定的一点，让中指的指端绕49（5）练习要反映基本数学思想的学习和数学活动经验的情况。第50页/共71页（5）练习要反映基本数学思想的学习和数学活动经验的情况。第550一年级《比一比》一一对应思想第51页/共71页一年级《比一比》一一对应思想第51页/共71页512.设计发展性练习的思考维度

(1)着眼六大核心内容的练习数感符号感空间观念统计观念推理能力应用能力(2)着眼知识发生发展的过程，强调“来”与“去”(3)着眼知识的结构体系，强调“联”与“合”(4)着眼知识的思维层级，强调“伸”与“展”

第52页/共71页2.设计发展性练习的思考维度第52页/共71页52

右图是两位数除以两位数的竖式计算，方框中的数都看不清了。请观察右边竖式，计算结果用小数表示应该是（）

该练习中被除数和除数都是未知，也就关闭了学生擅长的计算通道，促使学生根据每次除后的余数来判断商是多少。目的是指向除法中商是循环小数的形成原因的理解。第53页/共71页右图是两位数除以两位数的竖式计算，方框中的数都看不清53

任何知识的学习都不是孤立的，而是镶嵌于一定的知识体系之中。因此在设计发展性练习时要关注前后知识的联系，使学生的认知结构趋向紧密。《多位数乘一位数》可以设计如下练习：1-3年级各班书架藏书情况统计表（单位：本）具体意图：一年级各班的数据，蕴含“凑整”的简便计算，二年级各班的数据可以用乘加或乘减进行计算，三年级各班数据可以用乘法计算，计算后还会发现，三个年级的藏书分别都是328本，最后计算总数时，又可以用“328×3”计算。这样设计旨在学生能自主联系乘法与加法之间的关系，灵活应用简算，进一步理解乘法、乘加、乘减的意义，以提高学生计算的综合素养。年级1班2班3班4班合计一年级756012568二年级83837983三年级82828282总计第54页/共71页任何知识的学习都不是孤立的，而是镶嵌于一定的知识54

乐乐一家去饭店吃饭，情况如下。大约需要多少元？菜名

价格/元葱油扁鱼

28

炒虾仁

32

铁板牛柳

30

菌菇煲

29

炒青菜

8第55页/共71页乐乐一家去饭店吃饭，情况如下。大约需要多少元？菜名55学校方法百分率学校128+32+30+29+8=12710.98%28+32+30+29+8=127127≈1309.25%30+30+30+30+10=13041.23%30×4+10=13020.81%学校228+32+30+29+8=1276.6%30+30+30+30+10=13066.7%30×4+10=13023.5%学校328+32+30+29+8=1276.2%30+30+30+30+10=13061%30×4+10=13025%第56页/共71页学校方法百分率28+32+30+29+8=12710.98%56、、、你能用上面的四个数，选择符号“＋、－、÷、×”或“（）”组成一些得数尽可能大的算式吗？分析：整体任务难度过高，中下生无从入手，缺少思维的方向，需要适度的分解。讨论：请解读该任务的难度系数。练习内容：六年级分数乘除法的练习课第57页/共71页、、、你能用上面的四个数，选择571.如果不计算出结果，你能将这些算式按结果在数轴上找到它们的位置吗？②①③④①②③④0、、、分解与实施第58页/共71页1.如果不计算出结果，你能将这些算式按结果在数轴上找到它们58

2.你能用上面的四个数，选择符号“＋、－、÷、×”或“（）”组成一些得数尽可能大的算式吗？(1)巡视，搜集学生作业，根据情况,让学生说说思考过程.(2)针对性指导,从个别学生的理解到全体的理解.第59页/共71页2.你能用上面的四个数，选择符号“＋、－、÷、×”或“（59判断哪个算式的得数大?为什么?——除数相等，被除数越大，商越大①

②

③④

判断哪个算式的得数大?为什么?——被除数越大，除数越小，商越大第60页/共71页判断哪个算式的得数大?为什么?①②③④判断哪个算式的60⑤

③④

=108比较算式4、5，可以通过计算，再进行比较。==15÷（2/3÷6/5-0.5=27015÷（6/5-2/3-0.5）=450第61页/共71页⑤③④=108比较算式4、5，可以通过计算，再进行比较61（1）“鸡蛋、鸭蛋32箱共438千克，鸡蛋每箱15千克，鸭蛋每箱12千克。各多少箱？总面积438（2）利用长方形面积公式来计算组合图形中某一部分的边长。两题有联系吗？第62页/共71页总面积438（2）利用长方形面积公式来计算组合图形中某一部分62如在教学“表内乘法”后，设计练习如下：（1）用画的形式表示口诀“五五二十五”的意义。学生会出现两种情况：方法一：方法二：

通过方法二，引导学生把“五五二十五”和“正方形”建立联系。（2）看到口诀“三六十八”，你能想到什么图形，再把它画下来。（3）依次呈现下列图形，分别让学生说说“想到哪一句口诀”。学生看到式能想出形，看到形能抽象出式，实现“数形结合”，发展学生思维。第63页/共71页第63页/共71页63（）+（）=10（）+（）=10一年级上册第64页/共71页（）+（）=1064整十数加减的练习买和，８０元够吗？

羽毛球乒乓球4元买和，大约需要多少钱?第65页/共71页整十数加减的练习买和652.解决问题。22元49元买和，大约需要多少钱?

羽毛球乒乓球0102030405060708090100第66页/共71页2.解决问题。22元49元买和662.解决问题。22元49元买和，大约需要多少钱?

羽毛球乒乓球0102030405060708090100第67页/共71页2.解决问题。22元49元买和6722元49元买和，大约需要多少钱?

羽毛球乒乓球50+20=70（元）第68页/共71页22元49元买和68

人们常说：熟悉的地方没有风景。也许，如果能放慢脚步多一刻停留；如果能放宽视线多一份寻觅；如果能平和心灵多一份思考，兴许会发现沿途中某片草更绿了，某朵花绽放了，某块石头有灵气了……，风景也就美了。计算教学也是如此，在我们习以为常的课堂中总感觉精彩已不再。因此需要我们再度出发，思考如“计算教学能承载什么？”“计算教学可以走到哪里？”“应该如何到达？”……等等问题，在看似熟悉的地方重新审视，也许风景依然迷人！第69页/共71页人们常说：熟悉的地方没有风景。也许，如果能放慢69谢谢大家！第70页/共71页谢谢大家！第70页/共71页70感谢您的欣赏！第71页/共71页感谢您的欣赏！第71页/共71页71问题一：算法、算理的厚此薄彼之现象问题二：算用结合陷入两难之境地问题三：口算、估算、笔算、简算泾渭分明问题四：计算教学的练习设计基础与发展的失衡第1页/共71页问题一：算法、算理的厚此薄彼之现象第1页/共71页72问题一：算法、算理的厚此薄彼之现象（一）问题描述

计算教学改革历经两个明显阶段。第一阶段：教材选定算法——教师讲解算法——学生模仿算法——练习强化算法。教师的典型语言是“你算对了吗？”，其核心是掌握算法，能正确计算，并追求计算的速度。第二阶段是倡导“算法多样化”的教学理念。教师的典型语言是“还有不同的方法吗？”，其核心是促进学生自主探究算法、培养创新精神。综观两个阶段，都是极大的凸显了“算法”，而算理似乎仅仅是算法的附庸，在教学中处于可有可无的境遇。第2页/共71页问题一：算法、算理的厚此薄彼之现象（一）问题描述第二阶段是73一道试题引发思考江干区2008年6月小学数学三年级三部测查试题:区正确率３5.1%最低的班级正确率13.3%第3页/共71页一道试题引发思考区正确率３5.1%第3页/共71页74典型错误:买4套服装要272元；买40套套服装要272元；买4套服装要2720元；买45套服装要2720元；买45套服装要3060元。第4页/共71页典型错误:买4套服装要272元；第4页/共71页75试题二：列竖式计算。543÷3520÷5844÷628×4375×8437×69阅卷结果统计：全区全对率是73．4%（全对的学生人数占总人数的百分比），得分率是93．7%。结论：计算技能很坚实，算理的理解有缺失。第5页/共71页试题二：列竖式计算。结论：计算技能很坚实，算理的理解有缺失。76师：2×30等于60，你们是怎么算的？

生1：先算2×3等于6，再添一个0等于60。

师：你们听懂这位小朋友的算法了吗？

指名复述（略）

师：你们都同意这种算法吗？

生齐（响亮而整齐地）：同意！

师（作疑惑状）：一会儿把0去掉，一会儿又把0添上去，真的可以这样算吗？

生齐（声音明显小了许多）：应该可以的吧。（可以看出，不少学生已经开始了新的思考。）

师：可以这样算吗？说说你们的理由。

生1：前面去掉的是1个0，后面添上去的也是1个0，没有多也没有少，肯定是可以的。

生2：我是用加法算的，2×30就是2个30相加，结果也是等于60。

师：这位小朋友很会动脑筋，想到用加法来验证结果的正确性。但还是没有说清楚为什么可以添上0、去掉0。

生3（急着站了起来）：老师，我妈妈早就教过我了，就是这么算的！

生4（挑战般地）：万一你妈妈教错了呢！

生5（发现新大陆般）：老师，我知道可以怎么想了！我们可以先把30看作3个十，3个十乘2等于6个十，6个十就是60。

教室里十分安静，多数学生露出了恍然大悟的神情，仿佛在说：噢，原来是这么回事啊！但也看得出还有不少学生依然似懂非懂的样子。

师：谁再能说一说？（停顿）老师这里有一些小棒，每一小捆都是10根，你可以借助这些小棒来说道理。

生6借助小棒表述算理（略）。

第6页/共71页师：2×30等于60，你们是怎么算的？

生1：先算2×377（二）教学思考：如何兼顾算理和算法，使两者相得益彰。1．什么是算理?什么是算法?

算法是解决问题的操作程序，算理是算法赖于成立的数学原理。简单的说，算法是指向“怎么算”，算理是指向“为什么可以这样算”。算理是客观存在的规律，算法是人为规定的操作方法；算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度；算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括。第7页/共71页（二）教学思考：如何兼顾算理和算法，使两者相得益彰。1．什么78

2．促进算理理解的有效策略。

（1）创设情境，以支持算理的理解。10×3=30（枝）2×3=6（枝）30+6=36（枝）多位数乘一位数的笔算第8页/共71页2．促进算理理解的有效策略。

（1）创设情境，以支持算理79三个情境的取舍：每盒12支水彩笔，有3盒，一共有几支？每人2本书，有41人，一共有几本？王老师买数学作业本，一个班需要32本，3个班要买多少本？

思考：你会选哪一个，为什么？情境创设要有利于对算理的理解和表达。30本30本30本第9页/共71页三个情境的取舍：每盒12支水彩笔，有3盒，一共有几支？情境创80（2）借助学具或图形，使算理理解更加直观。在教学《乘数是一位数的口算乘法》，如30×2，大部分学生都采用“先算3×2等于6，后面再加一个0”的方法，但至于“为什么可以先不看0，后又要添0？”这个问题学生却百思不得其解。于是老师围绕3个问题进行引导：（1）30乘2表示什么意义？（2个30或30个2）（2）如果用小棒表示2个30，可以怎样摆？（2个3捆）（3）根据小棒图理解“3×2表示什么？为什么末尾要添0？”学生借助小棒进行解释：30看作3个十，3个十乘2等于6个十，6个十就是60。第10页/共71页（2）借助学具或图形，使算理理解更加直观。第10页/共71页81

还可以借助矩形模型，帮助学生理解竖式计算的算理。如12×14，可以设计以下图形：

12×1448（表示4个12）

120（表示10个12）

168将抽象的竖式与形象直观的图形结合，使竖式中的每一部分都和图形中的相应部分对应，第11页/共71页还可以借助矩形模型，帮助学生理解竖式计算的算理。如1282181818×3×3×3944434错误算法分析：（1）个位满十进2，十位先加后乘：1+2=3，3×3=9。（2）只进了“1”；（3）忘了进位;或者3乘8满20,十位就是1+2=3。分析错例不是简单的告知，而是从算理上知错改错。（3）呈现错例，从算理的角度知错纠错。第12页/共71页181883

引导：结合问题情境（每个班有18人参加集体舞表演，三年级3个班有多少人参加？）理解先算3×8，表示3个8人是24人；如果十位先加进上来的“2”再乘3，就表示3个30人，与题意和主题图不符合了。所以十位应该先乘后加。第13页/共71页引导：结合问题情境（每个班有18人参加集体舞表演，三年级384（4）沟通不同算法背后的算理，使算理趋向统领。

一种计算类型就会有相应的算法，让学生感到烦杂，以至混淆。而实际上有很多看似不同的算法，它们的算理是相同的，所以需要教师要有“回回头，比一比”的求联意识。第14页/共71页（4）沟通不同算法背后的算理，使算理趋向统领。第14页/共785教学编写进度计算类型计算方法一上《11-20各数的认识》11+2=1313-2=11先算个位上的数，再算10加几。一下《100以内数的认识》30+2=3232-2=30想数的组成，如3个十和2个一组成32。一下《100以内的加法和减法》10+20=3030-10=20先算十位上的数，再在个位上写0。一下《100以内的加法和减法》（1）32+5=37（2）32+50=82（1）先算个位，再加几十。（2）先算十位，再加几。一下《100以内的加法和减法》24+9=33先算个位，再加几十，注意进位。一下《100以内的加法和减法》（1）35-2=33（2）35-20=15（1）先算个位，再加几十。（2）先算十位，再加几。一下《100以内的加法和减法》36-8=28先算个位，再加几十，注意退位。第15页/共71页教学编写进度计算类型计算方法一上《11-20各数的认识》11863．促进掌握算法的有效策略。

（1）引导比较多种算法之间的联系。在交流多种算法和选择某种好方法之间，还需有一个过程，那就是引导学生对这些算法进行比较、分类，理解内在的联系，把握差异，以便学生更好的掌握和选择算法。

第16页/共71页3．促进掌握算法的有效策略。（1）引导比较多种算法之间的87口算：85×20=170085×6=5101700+510=2210笔算：对计算过程及表示的实际意义建立对应联系。第17页/共71页口算：笔算：对计算过程及表示的实际意义建立对应联系。第17页88案例《除数是两位数的除法》

1.问题情境：175本书，准备每32本装一包，可以装几包？还剩几本？2.请学生尝试计算，呈现5种方法。方法一：32×6=192方法二：175≈（5）×3232×5=16032×5=160175-160=15175-160=15

方法三：175÷32≈5方法四：方法五：

30×5=150552×5=1032）17532）175150+10=16016015175-160联系与沟通第18页/共71页案例《除数是两位数的除法》1.问题情境：175本书，准备每89

分别让学生说说思考过程，并适时提问，如：方法二、三、四中，你是怎样想到“5”？这一步表示什么？方法五中的两个“15”分别表示什么意思？商“5”应该写在什么位置？提问的目的有两个，一是修正算法中的错误（如方法五商的位置）；二是让学生理解多种方法;三是感受方法之间的联系：都要先估计大约装几包；估计时把除数“32”看作“30”比较便捷；都要算出5包有几本；最后算出还剩多少本。使学生结合情境理解了除数是两位数除法的计算程序，还突破了“如何定商”这个教学难点，顺利掌握了算法。第19页/共71页分别让学生说说思考过程，并适时提问，如：方法二、三、90（2）循序渐进，逐步完善算法。从算理理解到掌握算法，并不是一个自动转化的过程，而需要引导完善。算法从合理走向简捷。在教学“两位数加两位数的笔算”，学生理解算理并不难，知道十位上的数可以相加，个位上的数可以相加，因为它们的计数单位是相同的。但是要学生认同“从个位算起”，不能仅仅依赖教师的规定，而是通过比较不进位和进位加法的过程，令学生真切感受到从个位算起会简捷一些。

算法从“原生态”走向规范。学生原生态的算法往往是算理的直接反映，对学生个体来说是一种创造。而约定俗成的算法往往就是一种规定，与学生的理解不能完全相符，需要教师引导。第20页/共71页（2）循序渐进，逐步完善算法。从算理理解到掌握算法，并不是一91（3）挖坑又掘井，适时提炼算法。

对比新旧教材不难发现，完整的计算法则从现行的数学课本中消失了！这是不是意味着计算不需要法则了呢？教材编写者之所以把计算法则从课本中请出去，是基于传统计算教学中对计算法则的过度重视和依赖，试图改变要求学生一字不拉的背诵、默写法则的现象，倡导把教学重心转到对算理的理解、对算法交流比较，促使学生个体对法则有一个感悟的过程。第21页/共71页（3）挖坑又掘井，适时提炼算法。对比新旧教材不难92

但凡是技能就一定会有相应的法则，适时的提炼有助于技能的正确和熟练。结合具体的计算过程进行提炼。如在教学《多位数乘一位数》例题教学后，27×215×5214×3，改作以下算式：18×5192×4412×3

具体意图：18×5的特点是个位相乘满“40”，积的末尾为“0”；192×4的特点是三位数乘一位数，并且是十位相乘满“30”；412×3的特点是百位相乘有进位，并且对“12”的书写位置做进一步明确。通过这组练习，可以进一步提炼：哪一位上的数相乘满几十就向前一位进几。计算教学的练习设计中，把握同类计算的特殊类型，使学生的计算困惑能在课堂教学中得以呈现和解决。提炼法则不求一步到位。

感悟计算法则是建立在一定量的练习之上，先感受到的往往是最重要或最容易错的某一点，然后随着多个例题的教学、练习课，技能趋向熟练，对法则的感受也会日益全面。第22页/共71页但凡是技能就一定会有相应的法则，适时的提炼有助于技93

计算教学中兼顾算理和算法，让学生“知其然，并知其所以然”，可以使学生掌握的数学知识更具可持续发展的张力。第23页/共71页计算教学中兼顾算理和算法，让学生“知其然，并94问题二：算用结合陷入两难之境地（一）问题描述

应用题是传统小学数学课程的重要内容，专门设计独立单元进行编排。而现行的课标试验教材不再单独设立应用题单元，而是注重让学生“经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并解决简单的问题”。面对改革，一线教师在观念上已经达成共识，但在具体教学把握中还存在一些偏差。第24页/共71页问题二：算用结合陷入两难之境地（一）问题描述第24页/共7195解决问题成为引出计算的“幌子”。

观察当前的计算课，基本形成了教学程序，即问题情境——列式计算（明算理，探算法）——基本计算练习——解决问题。

解决问题成为计算技能形成的“障碍”。

(1)千呼万唤始出来;(2)过早应用,忽略技能的训练。围棋的棋盘面由纵横各19道线交叉组成，棋盘上一共有多少个交叉点？第25页/共71页解决问题成为引出计算的“幌子”。围棋的棋盘面由纵横各19道线96（二）教学思考：如何处理计算教学中算与用的关系？１．计算教学中实现“算”与“用”的双赢。（1）解决问题对计算的促进作用。解决问题中感受计算的必要性解决问题中理解“怎样计算”（2）计算教学促进解决问题能力的提高。在“以用引算”中加强数学信息的处理和数量关系的分析。在“以用明算”中关注运算与实际意义的理解。在“以用促算”中丰富解决问题的策略和经验。在“以算激用”中沟通、比较多种数量关系。2．计算教学中恰当选择解决问题的时机。第26页/共71页（二）教学思考：如何处理计算教学中算与用的关系？１．计算教学97

如在教学《除数是一位数的除法》，创设情境“四年级2个班共种树52棵，平均每班种多少棵？”，通过分析后列出算式52÷2，在探究计算方法时，适时的理解下面的问题。如：十位上5除以2表示什么？——50棵树平均分给2个班，平均每班分到多少棵？十位上5减4表示什么？——50棵树，分掉了40棵，还剩多少棵？竖式中下面的“12”是怎样来的？表示什么？——每班种6棵，2个班共种了12棵。

……

学生在理解算理的同时，又是对多个数学问题的分析和解决的过程。第27页/共71页如在教学《除数是一位数的除法》，创设情境“四年级2个班共98课堂中呈现两种思路：（1）1000-35×28=20（元），（2）35×28+10=990（元），引导学生交流具体思考过程，发现两种思路都很合理。在解决这样的问题中，不仅强调了数量关系，还悄然地丰富了学生解决问题的策略和经验。第28页/共71页课堂中呈现两种思路：（1）1000-35×28=20（元），99《两位数减两位数》的教学中，设计一个解决问题“小红连续跳绳50下，小明连续跳绳35下，小红比小明多跳多少下？”学生列式计算“50-35=15”后，继续设问：算式“50-35”还可以解决哪些数学问题呢？学生就会从不同的视角提出不同数量关系的数学问题，诸如：有50元钱，买书包用去35元，还剩多少钱？东东有50本课外书，奇奇比他少35本，奇奇有多少本？买台灯要50元，明明现在有35元，还差多少元钱？

……

以算激用，让学生自主激活已有经验，分析不同问题的数量关系，整体把握问题之间的联系和区别。第29页/共71页《两位数减两位数》的教学中，设计一个解决问题“小红连续跳绳100问题三：口算、估算、笔算、简算泾渭分明

（一）问题描述课程标准多处提到要“结合具体情境，体会四则运算的意义”、“重视口算，加强估算”、“能熟练口算20以内的加减法和表内乘除法”、“能为解决问题选择合适的算法，能估计运算的结果”等等，其实就是指向计算能力的三个层次：（1）计算的正确性，理解算理，掌握算法；（2）计算的速度，如熟练或比较熟练；（3）计算的灵活性，达到合理、简捷。第30页/共71页问题三：口算、估算、笔算、简算泾渭分明（一）问题描述第101江干区三上试题

“聪聪装了一碗花生米，数一数有198颗。在一个盆子里倒进3碗，盆子里一共大约有（）颗花生米”。

结果是：79．8%的学生填“594颗”，15．6%的学生填“600颗”。在考试后的访谈中还有两点发现：（1）一经老师提醒“这题可用估算吗？”，选择精算的大部分孩子就意识到选择估算更合适；（2）填“600颗”的学生里面还有小部分学生是先算得“594”，再把结果写成“600”。第31页/共71页江干区三上试题“聪聪装了一碗花生米，数一数有198颗。102

三下试题

食堂要购买大米，每袋59.8元，买了15袋。王师傅带了1000元，够吗？

估算在1-3年级期间已经多次出现，学生已经能熟练估算以下式题：

59×19≈60×20=1200201+597≈200+600=800398÷5≈400÷5=801000-899≈1000-900=100

但我们的学生就是想不到59元8角很接近60元！测试中只有32.5%的学生想到用“60×15=900”进行计算（有一所学校没有学生想到估算）。看来形式化估算的表面下缺少的是意识和精神。第32页/共71页三下试题第32页/共71页103三年级下册期末测试的试题：第33页/共71页三年级下册期末测试的试题：第33页/共71页104测试结果：在随机抽出481份试卷中，只有5位学生先根据数据特点先比较,再估算。大部分学生是先依次计算，再比较。

432÷6=72(米)；

432÷8=54(米)；

544÷8=68(米)；

72>68>54第34页/共71页测试结果：在随机抽出481份试卷中，只有5位学生先根据数据特1055÷（+）得分率71.3%2×3×4×（++）得分率78.7%2010×+2010÷15×13得分率72.8%第35页/共71页5÷（+）106学生缺乏合理地、灵活地选择简捷计算策略和方法的意识。出现这个问题的主要原因是估算、口算、笔算、简算教学各自为阵，缺少互相融合的意识，缺乏选择策略的空间。第36页/共71页学生缺乏合理地、灵活地选择简捷计算策略和方法的意识。出现这个107（二）教学思考：如何培养学生自主选择计算方法策略的意识。

1．提升计算教学目标定位，从单纯技能走向综合能力。如估算教学，除了掌握“看成整十整百数再计算”的方法外，还要关注理解“什么时候可以用估算”，即估算的适用性；体会“估算有什么好处”，即估算的价值；能判断“运用估算，结果变大还是变小”，即对估算结果的大致把握；意识到“即便不需要精算结果，但估算有时也不能解决问题”，即估算的局限性。

2．估算、笔算、口算、简算多种方法策略的融合，着眼灵活选择。

（1）一般计算法则和特殊方法的灵活选择，在“立”与“破”中提高。（2）估算、笔算、口算、简算的相互交融，在比较中优化。

3．强化评价促进选择计算策略意识的形成。

第37页/共71页（二）教学思考：如何培养学生自主选择计算方法策略的意识。1108

教学《分数除法》后，学生都能掌握一般的方法“除以一个分数，可以乘这个数的倒数”。在后续的练习中可以设计以下练习：

8/9÷4/9=18/19÷6/19=3/14÷3/7=4/25÷4/5=

让学生观察算式的特点，思考：有没有其它的计算方法？使学生发现：有些分数除法还可以用“分子除以分子的结果做商的分子，分母除以分母的结果做商的分母”这样的方法，使计算更快捷。第38页/共71页教学《分数除法》后，学生都能掌握一般的方法“除以一个分109

教学“小数四则混合运算