清华827电路原理生课件媛

第16章网络图论基础§1

网络的图网络拓扑i1i2

i3i1i2i3i2

i3i1i

=

0抽象连接性质抽象电路图抽象图支路+-一.图的基本概念R2CLuSR1抽象抽象无向图有向图+-连通图图不连通图+-抽象连通图抽象不连通图二

.

名词和定义1.图G={支路，节点}①②１不含自环允许孤立节点存在2.子图路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路经。连通图图G的任意两节点间至少有一条路经时称G为连通图。有向图图中的方向表示原电路中支路电压和电流关联参考方向。§2.

回路、树、割集一.

回路回路L是连通图G的一个子图。具有下述性质连通；每个节点关联支路数恰好为2。2

3617

58

4235回路127589不是回路树不唯一树支：属于树的支路连支：属于G而不属于T的支路二.

树(Tree)树T是连通图G的一个子图，具有下述性质：连通；包含G的所有节点；(3)不包含回路。16个树支数bt=n-1连支数bl=b-(n-1)单连支回路（基本回路）1234567单连支回路单连支回路145树支数4连支数3独立回路独立回路三.

割集割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质：把Q

中全部支路移去，将图分成两个分离部分；保留Q

中的一条支路，其于都移去，G还是连通的。①421②3④③56①1②3④③4256Q1: {

2,5,4

,6}①421②3④③56①421②3④③56①421②3④③56Q4: {

1

,

5

,

2

}Q2: {

2

,

3

,

6

}

Q3: {

1

,

5

,

4}①42单树支割集（基本割集）②3④③56①421

1②3④③56①421②3④③56Q3: {

1,5,3,

6}Q2: {

3,5,4}Q1: {

2,3,6

}单树支割集单树支割集独立割集独立割集132{1，2，3，4}4割集三个分离部分1234{1，2，3，4}

割集4保留4支路，图不连通的。①421②3④③56基本回路基本割集{1，2，3，4}{1，4，5}{1，2，6}{1，5，3，6}{2，3，6}{3，4，5}基本回路和基本割集关系对同一个树1.

由某个树支bt确定的基本割集应包含那些连支，每个这种连支构成的单连支回路中包含该树支bt

。2.

由某个连支bl确定的单连支回路应包含那些树支，每个这种树支所构成的基本割集中含有bl

。421②3④①

5③6

{1，2，6}

{3，4，5}基本回路基本割集{1，2，3，4}{1，4，5}{1，5，3，6}{2，3，6}①421②3④③56基本回路基本割集{1，2，3，4}{1，4，5}{1，2，6}{1，5，3，6}{2，3，6}{3，4，5}§

3

图的矩阵表示一.关联矩阵A用矩阵形式描述节点和支路的关联性质aijaij

=

1aij=

-1aij

=0关联矩阵Aa={aij}n

b节点数

支路数有向支路j背离i

节点有向支路j

指向i

节点i节点与j

支路无关45321①②④③a362

3

4

5

6支1节1A

=

21-100-11001-10001010-1400-11-10Aa=1支1节2

3

4

5

61

0

0

-1

0

12-1-10010301100-1400-11-10设④为参考节点支节1

2

3

4

5

61100-101A=

2-1-10010301100-1称A为降阶关联矩阵(n-1)b

，表征独立节点与支路的关联性质设:45321①②④③2

3

4

5

6支1节1100-101A=

2-1-10010301100-15

4

2

u6

u

u3

u

u1

u

u支路电压

i

26i1

5

4

i6

i

i

i

i3

支路电流

n3

n2

nu

un1

u

u节点电压矩阵形式的KCLAi=1-10-100-10011001100-11

2 5

i1

i4

i6

i2

i3

i6

i

i

i

0i654i1i2iii3645321①②④③A

i=

0矩阵形式KVLn3

n1n2

n3

u

uun2

u

un1un3

un2n1

u

u

uu

u

u5u6u4321

01

0

n3

n1un2

1

1 0

0

1 1

u

0

0

1

0 0

u1

1

0

1nATu

u645321①②④③二.基本回路矩阵B用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质1

支路j与回路i关联，方向一致-1

支路j

与回路i关联，方向相反0

支路j不在回路i中bij=1２３６５４B

=

{b

ij

}l

b基本回路数

支路数约定：回路电流的参考方向取连支电流方向。支路排列顺序为先连(树)支后树(连)支。1２３６５４选4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。1B

=

23支45

6

1

2

3回1-101001-1101001-1001=[

Bt

1]设4

5

6

1

2

3[i]

[i

i

i

i

i

i

]T矩阵形式的KVLulut4

5

6

1

2

3[u]

[u

u

u

u

u

u

]TBtBlB

u

=

0矩阵形式的KVL的另一种形式B

u

=0

可写成

l

[Bt

1

]u

0ut

Bt

ut+

ul

=

0ul

=

-

Btut5

u6

u4

u

u

2

u3

u1

u

u

tl用树支电压表示连支电压连支电压树支电压

0

0

10

001２３６５４KCL的另一种形式B=[Bt

1

]

1

BT

BT

t

il

it

t

i

l

1

BT

i

BTit

t

l用连支电流表示树支电流BT

il

=

i矩阵形式的KCL约定(1)

割集方向与树支方向相同。(2)支路排列顺序先树(连)支,后连(树)支。qij=1

j支路与割集i方向一致-1

j支路与割集i方向相反0

j

支路不在割集i中1２３６５４三.

基本割集矩阵Q用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质Q

=

{

q

ij

}n-1

b基本割集数支路数C2:{1,2,3,5}5

6

1

2

3支4割集C1:{1,2,4}C3:{2,3,6}设4

5

6

1

2

3[i]

[i

i

i

i

i

i

]Tut=[

u4

u5

u6

]T矩阵形式的KCL：２1３５４６C1100-1-10Q=

C201011-1C30010-11QlQtQi

=0

0

l

liit

[1

Q

]it

Ql

il回路矩阵表示时t

lti

BT

iQ

BTl

t用连支电流表示树支电流矩阵形式的KCL的另一种形式Qi

=0

可写成

l

liit

[Qt

Q

]回路矩阵和割集矩阵的关系tuut

u

l

l

TTQ1

Q

uu

QTul

l

t1２３６５４

1

1

0KVL的另一种形式[u]

矩阵形式的KVL用树支电压表示连支电压QTut=uABQKCLAi=0BTil=ii

BT

it

t

lQi=0it

Ql

ilKVLATun=uBu=0ul=-

BtutQTut=uu

QTul

l

t小结：Q

BTl

t§4

节点电压法电路分析依据：KCL A

i

=0KVL

u=ATun元件特性方程规定每个支路必须有一个阻抗U

第k条支路电kU

Sk

独立电压源ISk

独立电流源kI

第k支路抽象为：k设标准支路为：U

kSkIU

SkkIek

IYkk支路电压、电流关系：SkkU

k

Zk

(ISk

I

)

U设T1

2

bI

I

I

I

Z=diag[Z1

Z2

Zb

]Y=diag[Y1

Y2

Yb

]Sk

Yk

(U

Sk

U

k

)

IkIT1

2

bU

U

U

U

U

U

U

TS

1

S

2

SbU

S

TSbS

1

S

2I

I

IS

IZ=Y

-1U

kSkIU

SkIkIekYkI

Y

U

Y

U

S

IS

IS

1

US

1

Sb

b Sb

b

b

I

U

U

U

Sk

ISk

I

I

11

00

00

U

k

Ik

0Y1

0

0

0 0

U

0

0

0 0

0

Yk

00

0

0

0

0

Y支路电压的矩阵方程SkkSkkk

U

)

I

Y

(UIU

kI

SkU

SkkIek

Ik

YI

Y

U

Y

U

S

IS由KCLA

i

=0由KVLu=ATunA

I

AY

U

AY

U

S

A

IS

0TS

A

I

0S节点导纳阵Yn

Un

A

IS

-

AY

U

SnAY

A

U

AY

U

令

Y

AYATn得节点电压方程由此求得支路电压和电流nUUnATUII

YU

YU

S

IS例5V

3A1A1①23456②③④1.

画有向图2.00

1

1

0

0

0 1

1

1

1

0

0

1

0

1

1A

03.Y

diag2

0.5UkSkISkIkIek

U

Yk5V

3A1A1①23456②③④4.SU

5 0

0

0

0

0T

0 0 0

1 3 0TSIY

U

A

I

-

AY

U

3

10

0.5

1

2Un2

14

U

n3

n1

5.6.

n

n

S

S得

3.5

0.5

1U

2.7

2kUISU

SkIkIekYk5

210

00

0

0R

0Z

00

0 0

jL

jM

0jM

jL3

00

0

1

jC

0

0

0

0

R123451001

1

0

0

0

1

1

10

1

0A

0例2U

+S5L2L3R5R1

C4IS1M[Y]=[Z]-15

1

0

00

0

R

3

41

0

0

0

10

0

0

jC0

0

00000ML

RY

0

M

L2

M

2

)2

3

j(L

L其中Yn

Un

A

IS

-

AY

U

SnY

AYATek

k

ekI

Y

Ukj

ejdk

g

UI设§

5

具有VCCS的节点分析U

k+kISkUIdkISkkYek

U

gkjU

ej

ISkek

dk

Sk

YkU

ekk

I

I

II考虑b条支路

eb

Sb

b

b

ISk

IY

U

I

I

jIk

I

S

1

e1

1

0

I

0

00

U

I

ej

Sj

00

0