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文档简介

aaxaax同底指数函数与对数函数图象交点个数必修一教材第76页这样一个探究：指数函数

y

x

(a且a

与对数函数yx且a

互为反函数，那么它们图象有什么关系呢？通过探究发现我们容易知道它的图象关于直线yx

对称那它们图象交点有几个呢？教科书上为何没有把它们两者图象画在同一坐标系下？这是一个探究价值很高的问题，教材这样处理，主要原因是这两个函数图象交点个数不定下面我们一起来研究分

和

两者情况进行讨论.当

时在几何画板中，画出

y

x

与

ylog

图象，发现它们没有公共点（如图）.当底数

(

逐渐变小时，

ya

与

ylogxaa

图象与

逐渐接近，然后相切（如图相（如图且们清楚地看到它们交点在yx

上.图

图2

图3事实上，由反函数图象对称性知确如此，所以研究

ya

与ylogxaa

图象交点情况即研究

yaa

与

图象交点情下面界状态研数度看只需联立方程

x

a

让方程只有一个根即可，属于超越方程，无法用常规方法解，利用导数（选修2-2中识）解法如下：x

11lnxlnxa∴

x,a

1,a1所以，当a

时，函数yx

y图与y切a根据指对数函数单调性以及以上分析得：

当

1e

时，函数

y

x

与

ylogxa

图象有0个交点；1当时函数

y

x

与

yloga

图象有1个交点；当

1

时，函数

y

x

与

ya

图象有2个交点当

时同样地，我们也在几何画板中画出与（如图）.

12

图象，发现它们有一个交点当底数

a(0a

逐渐变小时，我们惊奇地现

y(0a

与ylogxaa

图象出现了3个交点（如图）图

图5由函数的单调性和连续性知，当

时，yx(0a

与ylogxaa

图象不可能相切，所以交点情况只有个者3个同样地，我们也可以用导数解出临界状态时的

a

的值，类似的，我们得到以下结论：当

e

时函数

x

与

yloga

图象有交点；当

0a

时，函数yx与

yloga

图象有交点.综上所述，当

1e

时，函数yx与

ylogxa

图象有0个交点；当

1ae

或

a

时，函数

y

x

与

yloga

图象有1交点；当

1

时，函数

y

x

与

ya

图象有2个交点；当

0a

时，函数

y

x

与

yloga

图象有交点.

微练习：1．下列命题①若m,n数

y

x

图象上，则函数

yloga

图象上②当时函数a

的图象与直线yx无共点③若m,n函数y

x

图象上，也在函数

ylogxa

图象上，则

m④当

时函数

x

的图象与直线yx有且只有一个公共点其中正确的命题的个数为（）A．个B．个C．个．3个2．已知,则程

logxa

实根的个数为（）A．个．个C．1个2个．个或个3．已知

0a

，则方程

a|xlog|a

的实根的个数为（）A．个．个C．个或3个．个个【答案】①反函数图象对称性知正确；②当

时，函数

yloga

的图象与直线yx

可能有0个1个2个点，所以错误；③当

0a

时，函数

y

x

与函数

ylogxa

交点有3个，其中个在

上，所以错误；④当

时，函数

y

x

与直线只有一个交点，所以正.故选C.由函数方程思想知，方程的根的个数即函数

y

x

与函数

xa

图象交点个数，而

x是ylog图在x轴下方部分作关于x轴对称因为当时函a数yx与数

yloga

图象交点可能有个1个2个所以

a

logxa

实根个数可能是个或2个3个故D

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