本科《化工过程分析与合成》复习题课件

流股断裂方法一：L-R分解法

L–R分解法遵循的原则：断裂流股数目最少，且将所有循环路打开。例：现有一个为最大循环网的不可分割子系统，其信息流图如下：

14253S4S3S2S1S6S5S7S8（4）流股断裂方法流股断裂方法一：L-R分解法L–R分1分析：在这个信息流程图中有8个流股：S1，S2，…,S8。五个节点：1，2，3，4，5。

构成了A，B，C，D四个环路。14253S4S3S2S1S6S5S7S8ADCB在Lee–Rudd法中，首先分析信息流图，再用环路矩阵表示出来.分析：在这个信息流程图中有14253S4S3S2S1S6S52ABCD环路

S1S2S3S4S5S6S7S8

011

0000000000011

11010000

00011110（流股）fR14253S4S3S2S1S6S5S7S8ACDBA环路S1S2S3S43

矩阵做法：Si流股若在A环中出现则标1，若不出现则标0。例如：A环，由S2，S3两流股构成，其余为零。矩阵中还有：

加和行，用f表示：它由每一列中的非零元素加和构成。

加和列（R）：它将每一行非零元素加和构成

f称为环路频率：代表某流股出现在所有环路中的次数

R称为环路的秩：代表某环路中包含的流股总数。矩阵做法：Si流股若在A环中出现则标1，若不4ABCD环路

S1S2S3S4S5S6S7S8

011

0000000000011

11010000

00011110（流股）fR14253S4S3S2S1S6S5S7S8ACDBA环路S1S2S3S45经运算，可得出加和f和R值，环路矩阵成为下面样子：

ABCD

S1S2S3S4S5S6S7S8

011

0000000000011

11010000

00011110R2234f12121121不独立的列经运算，可得出加和f和R值，环路矩阵成为6不独立的列(f=1)：与f值较大的列相比较，若某列中的非零元素与f值较大列的非零元素同行，则该列相对于f值大的列不独立。如：S2的f值较大，与其余小于它的列相比较，会发现S2的非零元素为C行和A行。而S1列，C行非零。S3，A行非零。其余列中无与S2同行的非零的元素，则判别出S1，S3相对于S2不独立。表示为：S1，S3S2。S5，S6S4。ABCD

S1S2S3S4S5S6S7S8

011

0000000000011

11010000

00011110R2234f12121121不独立的列不独立的列(f=1)：与f值较大的列相比较，若某列中的7

S7的f值较大，比较发现S8，S5，S6的f值较小且与S7有同行非零。故可认为：S5，S6，S8S7。S2，S4，S7独立。

寻找切断流股的方法是:I、在环路矩阵中除去不独立的列,构成仅有独立列的环路矩阵,并计算其秩。由前面分析可知：S1，S3，S5，S6，S8不独立，除去。原矩阵变为：

S7的f值较大，比较发现S8，S5，S6的f8

f222ABCD

S2

S4S7

1

00001

110

011R1122ABCD

S1S2S3S4S5S6S7S8

011

0000000000011

11010000

00011110R2234f12121121不独立的列f229

II，将独立列构成的环路矩阵中秩为1的行中非零元素所在列定为切断流股。本列即为S2，S7两列。结论：断裂S2，S7流股。f222ABCD

S2

S4S7

1

00001

110

011R1122f221014253S4S3S2S1S6S5S7S8ADCBIII，将选择出的断裂流股断开，若仍有环路存在，则重复I，II步。若无环路留下，则切断流股选择结束。分析：14253S4S3S2S1S6S5S7S8ADCBIII，将11

显然，断开S2，S7使A，B，C，D四个环路均打开。此时，可设定S2，S7流股变量。计算顺序：S2设计算1S7设计算4节点2的输出，S7计再与S7设比较。节点5的输出，S2计再与S2设比较。迭代计算，直至满足精度，即可求解14253S4S3S2S6S7S8ADCB显然，断开S2，S7使A，B，C，D四个环路均打121、进退算法的基本思想由单峰函数的性质可知，对于存在极小值的单峰函数，在极小点左边，函数值严格下降，而在极小点右边，函数值应严格上升。1、进退算法的基本思想由单峰函数的性质可知，对于存在极小值的13据此，可以从某个给定的初始点出发，沿着函数值下降的方向逐步前进（或后退）直至发现函数值开始上升为止。由两边高中间低的三点函数值，就可以确定极小值所在的初始区间[a0，b0]据此，可以从某个给定的初始点出发，沿着函数值下降的方向逐步前142、进退算法

(1)选定初始点a0与步长h(2)计算并比较y（a0）和y（a0+h），根据比较结果有前进和后退两种可能：

①

前进计算：②后退运算：2、进退算法(1)选定初始点a0与步长h15前进计算：若y（a0）≥y（a0+h），则步长加倍，计算y（a0+3h）。

若y（a0+h）≤y（a0+3h），则令a0=a0，b0=a0+3h前进计算：若y（a0）≥y（a0+h），则步长加倍，计算y（16若y（a0+h）≥y（a0+3h）

，令a0=a0+h，h=2h，重复上述前进运算。

若y（a0+h）≥y（a0+3h），令a0=a0+h，17后退运算：若y（a0）≤y（a0+h）,则后退计算y（a0-h）;若y（a0-h）≥y（a0），则令a0=a0-h，b0=a0+h，停止运算。否则继续后退。后退运算：若y（a0）≤y（a0+h）,则后退计算y（a0-18例：求函数的极小所在区间初始点a0=1，步长h=1解：h=a0=1例：求函数19所以应后退所以应后退20应继续后退，后退时步长加倍，所以计算后退，计算应继续后退，后退时步长加倍，所以计算后退，计算21找到了函数值大（）、小（）、大（）的三点，即a0=a0-3h=-2，b0=a0=1用进退算法找到了初始搜索区间[a0，b0]为[-2，1]找到了函数值大（）、小（224、黄金分割法的优缺点（1）、优点：简单、高效，计算次数少（2）、缺点：对解析性能好的单峰函数，计算量较大。例：用黄金分割法求下面问题的最优解

minf(x)=e–x+x2S.t.–2≤x≤3精度要求:将原始区间缩短5倍.4、黄金分割法的优缺点（1）、优点：简单、高效，计算次数少23解：a=-2,b=3x1=b-λ(b-a)=3-0.618034*(3+2)=-0.09017x2=a+λ(b-a)=-2+0.618034*(3+2)=1.09017

f(x1)=1.10249f(x2)=1.5246-231.09-0.09解：a=-2,b=3-231.09-0.0924f(x1)=0.9219<f(x2)=1.5246a=-2,b=1.09017x1=b-λ(b-a)=1.09017-0.618034*(1.09017+2)=-0.81966x2=a+λ(b-a)=-2+0.618034*(1.09017+2)=-0.09017-231.09-0.09f1=

1.10249f2=1.5246f(x1)=0.9219<f(x2)=1.5246-2325f(x2)=1.10249f(x1)=1.1124f(x2=-0.09017)=1.10249

<f(x1=-0.81966)=1.1124a=-0.81966,b=1.09017-231.09-0.09-0.819f1=1.1124f2=

1.10249f(x2)=1.10249-231.09-0.09-0.826a=-0.81966,b=1.09017-23b=1.09f2=0.83f1=

1.1a=-0.819x1=-0.09017f(-0.09017)=1.10249x2=a+λ(b-a)=-0.81966+0.618034*(1.09017+0.81966)=0.36067f(0.36067)=0.82729f(x2)=f(0.36067)=0.82729<f(x1)=f(-0.09017)=1.10249舍去[a,x1]a=-0.09017,b=1.090170.36-0.09a=-0.81966,b=1.09017-227-0.090171.090170.639320.36067f1=

1.10249f2=1.5246x1=0.36067f(0.36067)=0.82729x2=a+λ(b-a)=-0.09017+0.618034*(1.09017+0.09017)=0.63932f(0.63932)=0.93638f(x1)=f(0.36067)=0.82729<f(x2)=f(0.63932)=0.93638舍去[x2,b]a=-0.09017,b=0.63932若要求将原始区间缩短5倍∵b-a=0.63932+0.09017=0.73102<ln=l0×En=5×0.2=1∴x*=x1=0.36067,f*=f(0.36067)=0.82729a=-0.81966,b=1.09017-0.090171.090170.639320.36067f28例：求函数

的梯度和Hesses矩阵。解：1梯度：例：求函数29例Hesses矩阵例Hesses矩阵302231本科《化工过程分析与合成》复习题课件32例：用F-R共轭梯度法，求解解：由于F-R共轭梯度法计算过程中需原函数的梯度信息，所以应先求出梯度函数第一次迭代，首先确定搜索方向，利用原函数的导数信息例：用F-R共轭梯度法，求解第一次迭代，首先确定搜索方向，利33用该方向搜索新点x(1),将x(1)代入原函数进行一维搜索用该方向搜索新点x(1),34

35k=1进行第二次迭代，求

代入原函数

k=1进行第二次迭代，求36本科《化工过程分析与合成》复习题课件37解析法可直接解出可见用此法求解二元二次函数，只要精度足够，两步即达极值点，本题若用梯度法求解，需进行8次迭代。六．方法评价优点：1方法简单，计算及存储量小2收敛速度快缺点：收敛速度依赖于一维搜索的精确性。作业：用算法求解初始点解析法可直接解出38解这n+m个方程构成的方程组，可得：[x1*，

x2*，

x3*……

xn*，

u1*，

u2*……

um*]其中的[x1*，

x2*，

x3*……

xn*]就是原问题的最优解。例：用lagrange乘子法求解Minf(x)

=60-10x1-4x2+x12+x22-x1x2s.t.h(xi)=x1+x2-8=0

解：lagrange函数L(x,u)L(x,u)=60-10x1-4x2+x12+x22-x1x2+u（x1+x2-8）解这n+m个方程构成的方程组，可得：Minf(x)=39解上面方程组，可得

lagrange函数L(x,u)的解：x1*=5，

x2*=3，

u*=3原问题的最优解：x*=[5，

3]T，f*=17解上面方程组，可得40Minf(x)

=(x1-4)2+(x2-4)2s.t.h(xi)=x1+x2-5=0

例：用外点法求解最优化问题该问题只有等式约束解：首先建立罚函数：Minf(x)=(x1-4)2+(x2-4)2例：41用无约束问题求极值的方法求解解出x1,x2用无约束问题求极值的方法求解解出x1,x242M00.11101001000X1x2443.753.75332.51742.51742.50752.50752.500752.500752.52.5M00.11101001000X143.7532.51742432变量轮换法举例求函数Y=3+6X1+7X2-7X12+2X1X2-16X22的最大值，该函数的等值线如图：2变量轮换法举例求函数Y=3+6X1+7X2-7X12+44Y(1)=3+6X1+7(-0.2)-7X12+2X1(-0.2)

-16(-0.2)

2

=0.96+5.4X1-7X12

;转变为一维问题先固定X2＝-0.2，对X1寻优。maxY=3+6X1+7X2-7X12+2X1X2-16X22（1）

选定初始点x(0)，如图中A点。A(1.2,-0.2)并计算该点的函数值y(0)=-2.4（2）进行变量轮换。固定一个变量，对另一个寻优。解题步骤Y(1)=3+6X1+7(-0.2)-7X12+2X1(-45

对此问题求优，可找到最优点为X1=0.3857(B点），Y(1)=2.0786再固定X1＝0.3857，对X2寻优。Y(2)=3+6X1+7X2-7X12+2X1X2-16X22

=3+6(0.3857)+7X2-7(0.3857)

2+2(0.3857)

X2-16X22

=4.27+7.7714X2

-16X22转变为一维问题对此问题求优，可找到最优点为X2=0.2429(c点）；Y(2)=5.265Y(1)=0.96+5.4X1-7X12maxY=3+6X1+7X2-7X12+2X1X2-16X22X(2)=[0.3857,0.2429]

(c点）Y(2)=5.265X*

=[0.464,0.2477]

Y*=5.905对此问题求优，可找到最优点为X1=0.3857(B点），463算法应用举例用梯度法求函数的极小点和极小值。初始点取为3算法应用举例的极小点和极小值。47，第一次迭代：求在处的梯度解：首先求其梯度（一阶导函数），解：首先求其梯度（一阶导函数）48

的意义:在处要寻找极小点，寻找的方向已定，但这一步长应选多大的。当然应迈出去，使在这个方向上的函数值最小。此即一维搜索问题，可用黄金法、二次近似法。本例中用解析法，目的是寻找使下降最大的（现在为待求变量）。

的意义:在处要寻找极小点，寻找的方向49第一次迭代完成。令解出找出了方向上所应迈出的步长，则将带入原目标函数中，得到一个以h0为变量的一维问题:令解出找出了方向上所应迈出的步长，则将50

∵║║不够小，故应继续向前寻找

第二次迭代：第二次迭代：51仍用解析法寻找上的步长。解得据仍用解析法寻找上的步长。解得据52║║=，较大。第三次迭代：应继续寻找，这里不继续迭代了。║║=53

流股断裂方法一：L-R分解法

L–R分解法遵循的原则：断裂流股数目最少，且将所有循环路打开。例：现有一个为最大循环网的不可分割子系统，其信息流图如下：

14253S4S3S2S1S6S5S7S8（4）流股断裂方法流股断裂方法一：L-R分解法L–R分54分析：在这个信息流程图中有8个流股：S1，S2，…,S8。五个节点：1，2，3，4，5。

构成了A，B，C，D四个环路。14253S4S3S2S1S6S5S7S8ADCB在Lee–Rudd法中，首先分析信息流图，再用环路矩阵表示出来.分析：在这个信息流程图中有14253S4S3S2S1S6S555ABCD环路

S1S2S3S4S5S6S7S8

011

0000000000011

11010000

00011110（流股）fR14253S4S3S2S1S6S5S7S8ACDBA环路S1S2S3S456

矩阵做法：Si流股若在A环中出现则标1，若不出现则标0。例如：A环，由S2，S3两流股构成，其余为零。矩阵中还有：

加和行，用f表示：它由每一列中的非零元素加和构成。

加和列（R）：它将每一行非零元素加和构成

f称为环路频率：代表某流股出现在所有环路中的次数

R称为环路的秩：代表某环路中包含的流股总数。矩阵做法：Si流股若在A环中出现则标1，若不57ABCD环路

S1S2S3S4S5S6S7S8

011

0000000000011

11010000

00011110（流股）fR14253S4S3S2S1S6S5S7S8ACDBA环路S1S2S3S458经运算，可得出加和f和R值，环路矩阵成为下面样子：

ABCD

S1S2S3S4S5S6S7S8

011

0000000000011

11010000

00011110R2234f12121121不独立的列经运算，可得出加和f和R值，环路矩阵成为59不独立的列(f=1)：与f值较大的列相比较，若某列中的非零元素与f值较大列的非零元素同行，则该列相对于f值大的列不独立。如：S2的f值较大，与其余小于它的列相比较，会发现S2的非零元素为C行和A行。而S1列，C行非零。S3，A行非零。其余列中无与S2同行的非零的元素，则判别出S1，S3相对于S2不独立。表示为：S1，S3S2。S5，S6S4。ABCD

S1S2S3S4S5S6S7S8

011

0000000000011

11010000

00011110R2234f12121121不独立的列不独立的列(f=1)：与f值较大的列相比较，若某列中的60

S7的f值较大，比较发现S8，S5，S6的f值较小且与S7有同行非零。故可认为：S5，S6，S8S7。S2，S4，S7独立。

寻找切断流股的方法是:I、在环路矩阵中除去不独立的列,构成仅有独立列的环路矩阵,并计算其秩。由前面分析可知：S1，S3，S5，S6，S8不独立，除去。原矩阵变为：

S7的f值较大，比较发现S8，S5，S6的f61

f222ABCD

S2

S4S7

1

00001

110

011R1122ABCD

S1S2S3S4S5S6S7S8

011

0000000000011

11010000

00011110R2234f12121121不独立的列f2262

II，将独立列构成的环路矩阵中秩为1的行中非零元素所在列定为切断流股。本列即为S2，S7两列。结论：断裂S2，S7流股。f222ABCD

S2

S4S7

1

00001

110

011R1122f226314253S4S3S2S1S6S5S7S8ADCBIII，将选择出的断裂流股断开，若仍有环路存在，则重复I，II步。若无环路留下，则切断流股选择结束。分析：14253S4S3S2S1S6S5S7S8ADCBIII，将64

显然，断开S2，S7使A，B，C，D四个环路均打开。此时，可设定S2，S7流股变量。计算顺序：S2设计算1S7设计算4节点2的输出，S7计再与S7设比较。节点5的输出，S2计再与S2设比较。迭代计算，直至满足精度，即可求解14253S4S3S2S6S7S8ADCB显然，断开S2，S7使A，B，C，D四个环路均打651、进退算法的基本思想由单峰函数的性质可知，对于存在极小值的单峰函数，在极小点左边，函数值严格下降，而在极小点右边，函数值应严格上升。1、进退算法的基本思想由单峰函数的性质可知，对于存在极小值的66据此，可以从某个给定的初始点出发，沿着函数值下降的方向逐步前进（或后退）直至发现函数值开始上升为止。由两边高中间低的三点函数值，就可以确定极小值所在的初始区间[a0，b0]据此，可以从某个给定的初始点出发，沿着函数值下降的方向逐步前672、进退算法

(1)选定初始点a0与步长h(2)计算并比较y（a0）和y（a0+h），根据比较结果有前进和后退两种可能：

①

前进计算：②后退运算：2、进退算法(1)选定初始点a0与步长h68前进计算：若y（a0）≥y（a0+h），则步长加倍，计算y（a0+3h）。

若y（a0+h）≤y（a0+3h），则令a0=a0，b0=a0+3h前进计算：若y（a0）≥y（a0+h），则步长加倍，计算y（69若y（a0+h）≥y（a0+3h）

，令a0=a0+h，h=2h，重复上述前进运算。

若y（a0+h）≥y（a0+3h），令a0=a0+h，70后退运算：若y（a0）≤y（a0+h）,则后退计算y（a0-h）;若y（a0-h）≥y（a0），则令a0=a0-h，b0=a0+h，停止运算。否则继续后退。后退运算：若y（a0）≤y（a0+h）,则后退计算y（a0-71例：求函数的极小所在区间初始点a0=1，步长h=1解：h=a0=1例：求函数72所以应后退所以应后退73应继续后退，后退时步长加倍，所以计算后退，计算应继续后退，后退时步长加倍，所以计算后退，计算74找到了函数值大（）、小（）、大（）的三点，即a0=a0-3h=-2，b0=a0=1用进退算法找到了初始搜索区间[a0，b0]为[-2，1]找到了函数值大（）、小（754、黄金分割法的优缺点（1）、优点：简单、高效，计算次数少（2）、缺点：对解析性能好的单峰函数，计算量较大。例：用黄金分割法求下面问题的最优解

minf(x)=e–x+x2S.t.–2≤x≤3精度要求:将原始区间缩短5倍.4、黄金分割法的优缺点（1）、优点：简单、高效，计算次数少76解：a=-2,b=3x1=b-λ(b-a)=3-0.618034*(3+2)=-0.09017x2=a+λ(b-a)=-2+0.618034*(3+2)=1.09017

f(x1)=1.10249f(x2)=1.5246-231.09-0.09解：a=-2,b=3-231.09-0.0977f(x1)=0.9219<f(x2)=1.5246a=-2,b=1.09017x1=b-λ(b-a)=1.09017-0.618034*(1.09017+2)=-0.81966x2=a+λ(b-a)=-2+0.618034*(1.09017+2)=-0.09017-231.09-0.09f1=

1.10249f2=1.5246f(x1)=0.9219<f(x2)=1.5246-2378f(x2)=1.10249f(x1)=1.1124f(x2=-0.09017)=1.10249

<f(x1=-0.81966)=1.1124a=-0.81966,b=1.09017-231.09-0.09-0.819f1=1.1124f2=

1.10249f(x2)=1.10249-231.09-0.09-0.879a=-0.81966,b=1.09017-23b=1.09f2=0.83f1=

1.1a=-0.819x1=-0.09017f(-0.09017)=1.10249x2=a+λ(b-a)=-0.81966+0.618034*(1.09017+0.81966)=0.36067f(0.36067)=0.82729f(x2)=f(0.36067)=0.82729<f(x1)=f(-0.09017)=1.10249舍去[a,x1]a=-0.09017,b=1.090170.36-0.09a=-0.81966,b=1.09017-280-0.090171.090170.639320.36067f1=

1.10249f2=1.5246x1=0.36067f(0.36067)=0.82729x2=a+λ(b-a)=-0.09017+0.618034*(1.09017+0.09017)=0.63932f(0.63932)=0.93638f(x1)=f(0.36067)=0.82729<f(x2)=f(0.63932)=0.93638舍去[x2,b]a=-0.09017,b=0.63932若要求将原始区间缩短5倍∵b-a=0.63932+0.09017=0.73102<ln=l0×En=5×0.2=1∴x*=x1=0.36067,f*=f(0.36067)=0.82729a=-0.81966,b=1.09017-0.090171.090170.639320.36067f81例：求函数

的梯度和Hesses矩阵。解：1梯度：例：求函数82例Hesses矩阵例Hesses矩阵832284本科《化工过程分析与合成》复习题课件85例：用F-R共轭梯度法，求解解：由于F-R共轭梯度法计算过程中需原函数的梯度信息，所以应先求出梯度函数第一次迭代，首先确定搜索方向，利用原函数的导数信息例：用F-R共轭梯度法，求解第一次迭代，首先确定搜索方向，利86用该方向搜索新点x(1),将x(1)代入原函数进行一维搜索用该方向搜索新点x(1),87

88k=1进行第二次迭代，求

代入原函数

k=1进行第二次迭代，求89本科《化工过程分析与合成》复习题课件90解析法可直接解出可见用此法求解二元二次函数，只要精度足够，两步即达极值点，本题若用梯度法求解，需进行8次迭代。六．方法评价优点：1方法简单，计算及存储量小2收敛速度快缺点：收敛速度依赖于一维搜索的精确性。作业：用算法求解初始点解析法可直接解出91解这n+m个方程构成的方程组，可得：[x1*，

x2*，

x3*……

xn*，

u1*，

u2*……

um*]其中的[x1*，

x2*，

x3*……

xn*]就是原问题的最优解。例：用lagrange乘子法求解Minf(x)

=60-10x1-4x2+x12+x22-x1x2s.t.h(xi)=x1+x2-8=0

解：lagrange函数L(x,u)L(x,u)=60-10x1-4x2+x