随机过程课件-第十七讲

第五章

平稳过程的谱分析（17）（一） 确定性函数（信号）的能谱分析1．

Fourier

变换若函数f

(t)在(,

)满足下列条件：（a）

f

(t)在任意有限区间上满足Dirichlet

条件（即函数连续或只有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点）；（b）

f

(t)在(,

)上绝对可积；则在f

(t)的连续点处有：

f

(t)

1

2jt

j[

f

(

)e

d

]e

d令：

jtF()

f

(t)e

dt（A）则有：(

)

(

)

jt

deF

1

2（B）称（A）为函数f

(t)的Fourier

变换，记作：F()

ℱ[

f

(t)

]F()称为f

(t)的象函数。称（B）为F()的Fourier

逆变换，记为f

(t)

ℱ-1[

F()

]f

(t)叫作F()的象原函数。在确定性信号的频谱分析中，Fourier变换F()又称为确定性信号f

(t)的频谱函数，而频谱函数的模F

()称为f

(t)的振幅频谱（亦简称为频谱）。由于

是连续变化的 称之为连续频谱。对一个确定性信号作

Fourier

变换，就是求这个信号的频谱。乘积定理：若f

(t),f

(t)都满足Fourier

变换的条件，且F

()ℱ1

2

1[f

(t)]，F

()ℱ[f

(t)]，则有：1

2

2)d

)dF

()

F

(2

F

()

F

(2

112121f1

(t)

f2

(t)dt

证明：由于，dtddt

d222

j

t

j

tj

tj

tf

(t)ef

(t)eF

()

F

()d2

F

()

2

f

(t)e

dF

()

dtf1

(t)

f2

(t)dt

1F

()

1

1

1F

()e

d

dt2f

(t)12112112

21同理可以证明另一个等式。2.

能量积分及能量谱密度设函数

f

(t)

满足

Fourier

变换的条件，若F()

ℱ[

f(t)

]，则有：

1

22F()

d2[

f

(t)]

dt

上面的等式称为Parseval

等式。其中S()

F

()

2称为函数（信号）

f

(t)的能量密度函数或能量谱密度。它可以决定函数（信号）

f

(t)的能量分布规律，将它对所有频率积分就得到f

(t)的总能量2[f

(t)]dt

。能量谱密度满足：S()

S()。3.

确定性信号的卷积与相关函数（1） 卷积若给定函数f1

(t),f2

(t)，则积分：f

(

)

f

(t

)d1

2称为函数f1

(t)和f2

(t)的卷积，记为f1

(t)

f2

(t)。即：f

(

)

f

(t

)df

(t)

f

(t)

211

2显然有：f1

(t)

f2

(t)

f2

(t)

f1

(t)。卷积定理：假设f1

(t),f2

(t)都满足Fourier

变换的条件，且F

()

ℱ[

f

(t)

]，

F

()

ℱ[

f

(t)

]1

1

2

2则有：ℱ[

f

(t)

f

(t)

]

F

()

F

()1

2

1

21

21

22ℱ[

f

(t)

f

(t)

]

1

F

()

F

()（2）相关函数对于两个不同的函数（信号）

f1

(t)和f2

(t)，积分：1

2f

(t)

f

(t

)dt称为两个函数（信号）

f

(t)

和

f

(t)

的互相关函数，记作R

(

)，1

2

12即f

(t)

f

(t

)dt1

212R

(

)

而积分f

(t

)

f

(t)dt1

2记为R21

(

)，即

f1

(t

)

f2

(t)dt21R

(

)

若f1

(t)

f2

(t)

f

(t)时，则积分f

(t)

f

(t

)dt称为函数（信号）ft() 的自相关函数（简称相关函数），记R为()，即f

(t)

f

(t

)dtR(

)

有：R

R(())

，

R

R(())12

21相关函数和能量谱密度之间的关系：F()

ℱ[

f

(t)

]在乘积定理中，令f1

(t)

f

(t),f2

(t)

f

(t

)，且根据

Fourier

变换的位移性质， 有：()

j

deS

1

2deF

1

2jfdteFfFd2j()()()1())(

2即有：

1

2R(

)

jS()e

d另外，由于f

(t

)edtdj

tf

(t)e

d

dt

j

(t

)

jf

(t

)

f

(t)e

jR(

)e d

令：t

u,t

t

，则有：2F()f

(t)e

jt

dudt

f

(u)eR(

)e d

ju

j即：S()

jR(

)e

d由此可得，自相关函数R(

)和能量谱密度函数S()构成一对Fourier

变换对。即：

jS()

R(

)e

d2R(

)

1

S()e

j

d利用自相关函数R(

)和能量谱密度函数S()是偶函数的性质有：S()

R(

)

cos(

)d2R(

)

1

S()cos(

)d当

0

时，则有：(0)[(2

1)]2

fRtdStd()此即为Parseval

等式。若F()

ℱ[

ft()

]，

F

()

ℱ[

ft

()

]，根据乘积定理，可得：1

1

2

22

()(())1

)()j(

def212112称

()()()FSF

为互能量谱密度，同样可见，互相关函12

1

2数和互能量谱密度之间构成一对Fourier

变换对，即即：

jS

(

)e

j

dR

(

)e

dS

()

2R

(

)

11212

1212另外，关于互能量谱密度， 有：S

S(())21

124．一些常用的结果（1）ℱ[

(t)

]

1，ℱ[

(t

t

)

]

e

jt0

；0j（2）设u(t)

为单位阶跃函数，则ℱ[

u(t)

]

1

()；（3）ℱ[1]

2()，ℱ[e

j0t

]

2(

)；即有：0(),00(

)e

dt

2

j

(

)t

e

dt

2

jt（4）ℱ[

sin

t

]

j[

(

)

(

)]，0

0

0ℱ[cos

t

]

[

(

)

(

)]。0

0

0（二）、平稳随机过程（信号）的功率谱密度现在 考虑在一有限时间区间上取值的平稳随机过程（信号）{

(t);

T

t

T}，在均方意义下计算其Fourier

变换，即：

(t)e

j

2

f

t

dtTTTX

(

f

)

ˆ（

2f

）则在这一区间上的功率谱分布为：

02TX

(

f

)

2T这率谱函数的集平均为：de

jf2R

()1dtdt2T2TT

TT2TT

TT1212Et[te()()

12

jf2tt()

2

12T

Xf

()()

SˆEf

2T

其中：

t1t2ST

(f

)表示平稳随机过程（信号）

(t)在时间区间(T,T

)上的平均功率随频率f

的分布，当T

时，这一分布给出了功率谱密度，即：S

(

f

)

ˆ

lim

S

(

f

)

R

(

)

e

j

2

f

d

0

TT

上式给出了平稳随机过程（信号）{

(t);

t

}的功率谱密度的定义，并且表明功率谱密度不可能为负。功率谱密度的性质：（1）功率谱密度S

(f

)是实的；证明：由复平稳随机过程功率谱的定义，有：fS)d(

eR()()jf2)(

dejf2)(

jf2

（2）

Sf

()0

；（3）自相关函数是功率谱密度的Fourier

逆变换，即dfSfejf2R

()()（4）功率谱密度对频率的积分给出随机信号

(t)的均方值，即S

(

f

)df

R

(0)

E

(t)

2

（5）R

(

)e

j

2

f

d

0S

(

f

)

ˆS

(

f

)e

j

2

f

dfR

(

)

以上两式所描述的关系称为Wienner-Khinchine

定理：任意平稳过程的功率谱S

(f

)和它的自相关函数R

(

)组成一对Fourier

变换对。（6）若

(t)是实的随机过程，则功率谱密度S

(f)是实的偶函数；（7）均值为零，功率谱密度为非零常数的平稳随机过程（信号

）

称

为

白

噪

声

（

信

号 ）

，

此

时S(f

)

S

(

f

),R

(

)

S

(

)。0

0关于离散型平稳随机过程的功率谱密度：假设{

(k);k

0,1,2,}为平稳随机序列，其相关函数满足：

R

(k

)

则称(

)ˆ

jk

R

(k)ef

()

为该序列的功率谱密度。有：k

210,f

()e

jk

dR

(k)

12

对于实的随机序列，由于R

(k)

R

(k),k

0,1,2，因此有：f

()

2

R

(k

)

cosk

R

(0)k

1

0R

(k)

1f

()cos(k)df

()

f

()两个联合平稳的随机过程的互功率谱密度：设两个联合平稳的随机信号

(t),(t)，其互相关函数为R

(

)则有：C

(

)

R

(

)

若

0,

0，则有C

(

)

R

(

)

。另外互相关系数为：C

(

)

C C

(0()0

(

)

定义

R

(

)

的

Fourier

变换为两个联合平稳随机信号

(t),(t)的互功率谱密度，即：R(

)

e

j

2

f

dS

(

f

)

ˆ注意，

它是关于频率

f

的复函数，

其实部称为同相谱（cospectrum），虚部称为正交谱（quadrature

spectrum）。记：S

(f

)

S

(f

)exp{j

(f

)}，称

(f

)的关于频率f

的导数为群延迟（group

delay）。例1：随机电报信号的相关函数为：4R

(

)

1

e2

为常数，

求其功率谱密度。解：由于

，因此功率谱存在。142e d

0R

(

)

d

214

4(2

2

f

2

)141R

(

)e