利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状-高三数学一轮复习讲义

利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状例在△ABC中，，试问这个三角形的形状具有什么特点？解法一：由正弦定理得，，，∵，∴，∴，又∵、，∴或或，∴或或（舍去），∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．解法二：由余弦定理有，，，∵，∴，整理得，，，∴或，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．总结：利用正弦定理、余弦定理可以将条件中角的关系化成边的关系式或边的关系化成角的关系．角化边：，，边化角：，，另外，要注意的应用．练习题1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若bcosC＝(2a－c)cosB，求∠B的大小．解：由已知及正弦定理可得sinBcosC＝2sinAcosB－cosBsinC，∴2sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C)．又在三角形ABC中，sin(B＋C)＝sinA≠0，∴2sinAcosB＝sinA，即cosB＝，B＝．另解：由bcosC＝(2a－c)cosB，得，cosB＝，B＝．2．在△ABC中，已知sinBsinC＝cos2，则此三角形是__________三角形．答案：等腰解析：由已知得2sinBsinC＝1＋cosA＝1－cos(B＋C)，即2sinBsinC＝1－(cosBcosC－sinBsinC)，∴cos(B－C)＝1，得∠B＝∠C，∴此三角形是等腰三角形．3．在△ABC中，，sinA·sinB＝，则△ABC一定是()．A．等边三角形 B．有两边不相等的等腰三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形答案：A解析：由＝c2a3＋b3－c3＝(a＋b－c)c2a3＋b3－c2(a＋b)＝0(a＋b)(a2＋b2－ab－c2)＝0．∵a＋b＞0，∴a2＋b2－c2－ab＝0．(1)由余弦定理(1)式可化为a2＋b2－(a2＋b2－2abcosC)－ab＝0，得cosC＝，∠C＝60°．由正弦定理＝＝，得sinA＝，sinB＝，∴sinA·sinB＝＝，∴＝1，ab＝c2．将ab＝c2代入(1)式得，a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，a＝b．△ABC是等边三角形．4．在△ABC中，∠A最大，∠C最小，且∠A＝2∠C，a＋c＝2b，求此三角形三边之比．答案：6∶5∶4．解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用．由正弦定理得＝＝＝2cosC，即cosC＝，由余弦定理cosC＝，∵a＋c＝2b，∴cosC＝＝，∴＝，整理得2a2－5ac＋3c2＝0，解得a＝c或a＝c．∵∠A＝2∠C，∴a＝c不成立，a＝c，∴b＝＝＝，∴a∶b∶c＝c∶∶c＝6∶5∶4．故此三角形三边之比为6∶5∶4．5．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝eq\f(sinA＋sinB,cosA＋cosB)，sin(B－A)＝cosC.(1)求A，C；(2)若S△ABC＝3＋eq\r(3)，求a，c．解：(1)因为tanC＝eq\f(sinA＋sinB,cosA＋cosB)，即eq\f(sinC,cosC)＝eq\f(sinA＋sinB,cosA＋cosB)，所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，得sin(C－A)＝sin(B－C)．∴C－A＝B－C或(C－A)+(B－C)＝π(不成立)或(C－A)+(B－C)＝－π(不成立)，∴2C＝A＋B，得C＝eq\f(π,3)，所以B＋A＝eq\f(2π,3).又因为sin(B－A)＝cosC＝eq\f(1,2)，则B－A＝eq\f(π,6)，或B－A＝eq\f(5π,6)(舍去)．得A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(5π,12).所以A＝eq\f(π,4)，C＝eq\f(π,3)．另解：由tanC＝eq\f(sinA＋sinB,cosA＋cosB)，得，∴，整理得，，，，∴，C＝eq\f(π,3)．由sin(B－A)＝cosC，得sin(B－A)＝，∴，∴，∴或，∴或（舍去）．＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(6)＋\r(2),8)ac＝3＋eq\r(3)，