数值分析教学课件：复习提纲

数值分析综合复习提纲华长生制作1内容:

（1）、误差的基本概念理解截断误差、舍入误差、绝对（相对）误差和误差限、有效数字、算法的数值稳定性等基本概念。

（2）、数值算法设计若干原则

掌握数值计算中应遵循的几个原则：简化计算步骤以节省计算量（秦九韶算法），减少有效数字的损失（避免相近数相减），选择数值稳定的算法。一、内容提纲及考试点1.绪论华长生制作2一、内容提纲及考试点考核知识点 :

误差的来源类型(分类)；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。

1.绪论华长生制作32.线性代数方程组的直接解法内容:1、三角形方程组的解法熟练掌握三角形方程组解法（前推、回代公式）。

2、Gauss消去法熟练掌握顺序Gauss消去法和列主元Gauss消去法的原理，并会应用之求解具体的方程组，理解选主元的优点。

3、三角分解法掌握三角分解法的原理，并会用直接三角分解法求解具体的方程组。

4、追赶法和平方根法掌握追赶法与平方根法的原理，并会应用之求解具体的方程组。

5、向量和矩阵的范数、谱半径与条件数知道向量和矩阵范数的概念与基本性质，掌握常用的向量和矩阵范数的计算，掌握矩阵谱半径的定义与计算，掌握矩阵范数和谱半径的大小关系，会计算条件数，掌握条件数大小与方程组病态程度的关系，知道条件数不小于1。华长生制作42.线性代数方程组的直接解法考核知识点:

高斯顺序消去法，列主元消去法；消去法消元能进行到底的条件;

追赶法的应用;

向量和矩阵的范数、谱半径与条件数的计算。华长生制作53.线性代数方程组的迭代解法

内容:

1、迭代法的基本思想理解迭代法的基本概念，掌握基本型迭代的公式。

2、Jacobi迭代和G-S迭代

熟悉Jacobi迭代与G-S迭代的公式及迭代矩阵。

3、迭代法收敛性分析熟练掌握迭代法收敛性充要条件与收敛性充分条件、Jacobi迭代与G-S迭代的收敛性判定，知道收敛速度与迭代矩阵谱半径（范数）大小的关系。4、了解SOR法及其收敛性结论华长生制作63.线性代数方程组的迭代解法

考核知识点:

一般迭代法的迭代矩阵;J迭代法和GS迭代法收敛的充要条件及迭代法的迭代矩阵;华长生制作74.方程求根

内容:1、二分法：掌握二分法及其误差估计。

2、不动点迭代法：理解不动点迭代法，掌握迭代法的局部收敛条件与收敛阶的判定。

3、Newton迭代法熟悉Newton迭代法及其收敛性结论，掌握Newton法的应用（如应用于代数方程等特殊方程）。考核知识点:

二分法；迭代法(迭代函数,收敛性)；牛顿法(计算,迭代函数,收敛性

)；

华长生制作85.插值方法内容:1、插值问题的提法理解插值问题的基本概念、插值多项式的存在唯一性。

2、Lagrange插值（基函数构造法）

熟悉Lagrange插值公式（线性插值、抛物插值、n次Lagrange插值），掌握其余项表达式（及各种插值余项表达式形式上的规律性）。

3、Newton插值

熟悉Newton插值公式，了解其余项公式，会利用均差表和均差的性质计算均差。

4、Hermite插值掌握两点三次Hermite插值及其余项表达式，会利用承袭性方法构造非标准Hermite插值

5、分段线性插值知道Runge现象，了解分段插值的概念，掌握分段线性插值（分段表达式）。

6、三次样条函数与三次样条插值的概念了解三次样条函数与三次样条插值的定义。

华长生制作95.插值方法考核知识点:插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：插值基函数；均差及其性质，牛顿插值多项式；分段线性插值、线性插值基函数，样条函数，三次样条插值函数.掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。了解均差概念和性质，掌握均差表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造.华长生制作106.函数逼近与曲线拟合内容:

1、正交多项式掌握函数正交和正交多项式的概念（函数内积、2-范数、权函数，正交函数序列，正交多项式），了解Legendre多项式。

2、曲线拟合的最小二乘法

熟练掌握曲线拟合最小二乘法的原理和解法（只要求线性最小二乘拟合），会求超定方程组的最小二乘解。3、连续函数的最佳平方逼近

了解最佳平逼近函数的概念，掌握最佳平方逼近多项式的求法（从法方程出发）。

华长生制作116.函数逼近与曲线拟合考核知识点最小二乘法（原理、应用），法方程组，线性拟合、二次拟合华长生制作127.数值微积分内容:1、数值求积的基本思想、插值型求积公式与代数精度掌握插值型求积公式（系数表达式），理解代数精度概念，会利用代数精度构造求积公式。

2、Newton-Cotes公式（等距节点插值型求积公式）掌握梯形公式和Simpson公式，了解其余项公式与代数精度的联系，了解系数之和的性质，掌握稳定性条件；理解复化求积方法的思想。

3、Gauss型求积公式理解Gauss型求积公式的概念（最高代数精度、插值型），掌握构造Gauss型求积公式的方法（Gauss点和系数的求法），掌握其数值稳定性结论。

4、Romberg算法的原理

5、基于Taylor公式的数值微分公式握常用的几个一阶差商公式。华长生制作137.数值微积分考核知识点数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；插值型求积公式，Newton―Cotes求积公式，Cotes系数及其性质，(复化)梯形求积公式，(复化)抛物线求积公式；

Gauss型求积公式(插值型,最高代数精度)，高斯点，(二点、三点)高斯型求积华长生制作148.常微分方程数值解法内容:

1、数值解的概念

理解数值解的概念，掌握初值问题数值解法的特点（步进式）。

2、Euler方法、局部截断误差掌握Euler公式、隐式Euler公式和梯形公式，会推导其局部截断误差，并判断方法的阶；了解改进的Euler公式。

3、Runge-Kutta方法的原理

知道Runge-Kutta方法的原理，掌握经典4阶Runge-Kutta公式的特点（性质）。

4、线性多步法的概念知道线性多步法的一般形式与构造途径。

5、单步法的收敛性与稳定性（模型方程中Reλ<0）掌握单步法的收敛性与稳定性的概念，会论证收敛性和推导绝对稳定的条件（限于模型方程形式，其中λ为负实数）。华长生制作158.常微分方程数值解法考核知识点欧拉公式，梯形公式，改进欧拉法，局部截断误差；龙格―库塔(Runge-Kutta)法，局部截断误差;

稳定性判断.

华长生制作16二、不作要求的内容第一章：1.4节第二章：2.4节中第2小节；

2.6节（但要求掌握条件数的概念、性质与计算）第三章：3.4节第四章：4.4节；4.5节第五章：5.3节中第3、4小节；5.5节中第3小节,5.6节中第2小节第六章：6.3节；6.4节中第3、4小节以及第1小节中的“Gram-Schmidt正交化方法”第七章：7.3节中第3小节；7.5节中第2小节第八章：8.4节中第4小节

华长生制作17三、复习题第一章：复习题1.4、1.5、1.7；例题1.7；习题1.1、1.12第二章：复习题2（2.4除外）；例题2.6；习题2.1、2.3、

2.5、2.9(1)(2)、2.11第三章：复习题3.1、3.3、3.5、3.6、3.7(1)(2)、3.8；例题3.3、3.5；习题3.1、3.4、3.6、3.10第四章：复习题4（4.2除外）；习题4.3、4.5、4.10第五章：复习题5（5.3③④、5.7除外）；例题5.1、5.6；习题5.2、5.3、5.4、5.5、5.13第六章：复习题6（6.7除外）；例题6.1、6.3；习题