教师青岛中考动点问题

教师版青岛中考动点问题教师版青岛中考动点问题教师版青岛中考动点问题采集青岛中考模拟试题中的数学压轴题——动点问题解题策略近几年来，运动型问题常常被列为中考的压轴问题。动点问题属于运动型问题，这类问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中陪同着等量关系、变量关系、图形的特别状态、图形间的特别关系等进行研究观察。问题常常集几何、代数知识于一体，数形联合，有较强的综合性。解决这类问题的策略一般有：1.掌握点运动的全过程，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，抓住其中的等量关系和变量关系。2.特别关注一些不变的量、不变的关系或特别关系，化动为静，由特别状况（特别点、特别地址、特别图形等）过渡到一般状况。要抓住图形在动向变化中暂时静止的某一刹时，将这些点锁定在某一地址上，问题的实质就简单显现出来，从而获取解题的方法。3.画出图形，这一步很重要。因为随着点的搬动，与之相关的一些图形必然随着改变，而且点搬动到不相同的地址，我们要研究的图形可能会改变。所以，必然要画图，不能够凭想象象。4.当一个问题是相关确定图形的变量之间的关系时，平时建立函数模型求解；当确定图形之间的特别地址关系也许一些特别值时，平时建立方程模型求解。一般会涉及到全等和相似。总之，动点问题的解题思路是动中取定（或说动中取静都能够），多画几个图形，通常一种状况画出一个图形，就可以把动点转变为一般的几何证了然。若是设时间为t,一般状况将从以下12个问题中选出（1）求某条线段的长度（2）求某个三角形的面积s与时间t的函数关系式（3）求两个图形重叠部分或动点所带的射线扫某个图形部分的面积s与时间t的函数关系式并求面积的最大值（4）t取何值时两直线平行（5）t取何值时两直线垂直？（6）t取何值时某三角形为等腰三角形三角形？（7）t取何值时某三角形为直角三角形？（8）t取何值时某四边形为特别四边形？（9）t取何值时两个三角形全等或相似（10）当动点所带的射线把某其中心对称图形的面积二均分时求t.（11）点在运动的过程中，某个图形的面积或角度可否发生变化，若不变，求出这个面积或角的度数，若变化，说明怎样变？（12）当抛物线均分某些特别点的数量时求t的取值范围2、练习：（2006浙江台州）如图(1)，直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点(OC＞1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E.（1）△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论;y（2）随着点C地址的变化，点E的地址可否E会发生变化?若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明原由.ACOxBD图(1)二、与四边形相关的动点问题1.例题：（2006晋江）在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.(1)当点P运动2秒时，设直线PM与AD订交于点E，求△APE的面积；(2)当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN，使QN∥PM.设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.①求S关于t的函数关系式；②(附加题)求S的最大值。解题思路：第（1）问比较简单，就是一个静态问题当点P运动2秒时，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=3.∴SΔAPE=32第（2）问就是一个动向问题了，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我们依照题目，综合解析，分类谈论，P点从A→B→C一共用了12秒，走了12cm，Q点从A→B用了8秒，B→C用了2秒，所以t的取值范围是0≤t≤10不变量：P、Q点走过的总行程都是12cm，P点的速度不变，所以AP向来为：t+2若速度有变化，总行程=变化前的行程+变化后的行程=变化前的速度×变化点所用时间+变化后的速度×（t－变化点所用时间）如当8≤t≤10时，点Q所走的行程AQ=1×8+2（t－8）=2t-8①当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=t23，QF=t2，AP=t+2，AG=1+t23，PG=t3.∴此时两平2行线截平行四边形ABCD是一个直角梯形，其面积为（PG+QF）×AG÷2S=323t.2当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动.设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=t2，DF=4-t23（总量减部重量），QF=t2，AP=t+2，BP=t-6（总量减部重量），CP=AC-AP=12-（t+2）=10-t（总量减部重量），PG=(10t)3，而BD=43，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为平行四边形的面积减去两个三角形532面积S=103343tt.8当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动.设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则AQ=2t-8，CQ=AC-AQ=12-（2t-8）=20-2t，（难点）QF=(20-2t)3，CP=10-t，332PG=(10t)3.∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=t303t1503.21、如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，

∠A=90°，AB=6，AD=4，DC=3，点P从点A出

发沿折线段AD—DC—CB以每秒3个单位长的速度

向点B匀速运动，同时，点Q从点A出发沿射线AB

方向以每秒2个单位长的速度匀速运动，当点P与

点B重合时停止运动，点Q也随之停止，设点P，Q

的运动时间是t秒(t＞0)。⑴线段BC的长为________⑵设△APQ的面积为S，求S与t的函数关系式；

⑶当点P在BC上，t为何值时，PQ∥DB？本题解析（1）过点C作CE⊥AB于E,则AE=DC=3,∴BE=3,由勾股定理求出BC=51（2）当点P在AD上时，S=×2t×3t=3t2E21图1当点P在DC上时,S=×2t×4=4t2当点P在BC上时如图2，CDP4用三角函数求出PE=（12-3t），所以51248S=-t2+tABFE55图2（3）当点P在BC上且PQ∥BD时如图2,Q此时∠BPQ=∠DBC，因为DC∥AQ所以，∠BCD=∠PBQ，所以，△PBQ∽△BCDBQDCBP2t6123t=即=t=BC5366193、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，

∠B=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点

出发，沿线段BC向点C做匀速运动，速度每秒1个

单位长度；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A做

匀速运动，速度每秒1个单位长度，过点Q作

QN⊥BC交AC于点M，交BC于点N，P、Q两点同

时出发，当Q点运动到A点时，点P也随之停止运

动，设运动的时间为t秒。（1）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形?

（2）求△PMC的面积S与时间t的函数关系式

（3）t为何值时，△PMC为等腰三角形?本题解析（1）当四边形PCDQ为平行四边形时，PC=DQ，即4-t=t，所以，t=2（2）过点D作DE⊥BC于E，则DQ=NE=t，EAD=BE=3,所以,EC=4-3=1，所以，NC=t+1MNAB3MN因为==tan∠MCN，即=，NCBCt1431393所以，MN=（t+1），所以，S=PC×MN=-t2+t+24882（3）分三种状况谈论：511当MC=PC时，（t+1）=4-t，所以t=4192A1当MP=MC时，NC=PC即t+1=（4-t）所以，t=232当PC=PM时，如图，利用三线合一加三角函数构造方程BECBC103==COS∠ACB，可求出t=PCAC57QMNDEPC4、如图，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°点E、F同时从点B出发，沿射

线BC方向搬动，已知点F搬动的速度是点E搬动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG，设点E搬动的距离为x（0﹤x﹤6）。（1）当x=2时，△EFG的边长为__________（2）设△EFG与梯形ABCD重叠部分的面积y，求y与x之间的函数关系式（3）△EFG的边长为多少时，△EFG与梯形ABCD重叠部分的面积最大D

AGBEFC本题解析（1）当x=2时，△EFG的边长为2G（2）分三种状况谈论：当0＜x≤2时，EF

图13△EFG与梯形ABCD重叠部分的面积就是△EFG的面积，y=x24当2＜x≤3时，△EFG与梯形ABCD重叠部分如图2所示Gy=S△EFG-S△GHKKH依照题意可求得FC=FH=6-2x，GH=FG-FH=x-(6-2x)=3x-6，用三角函数求出GH、GK，求出△GHK的面积，BCEFG最后求出y的值M当3＜x＜6时，如图3，△EFG与梯形ABCD重叠部分是直角三角形ECM。根据题意可知EC=6-x，用三角函数求出ME和MC的长度，再用面积公式求出y。BECF26.（10分）巳知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝3cm，∠C＝60°，BD⊥CD．⑴求BC、AD的长度；⑵若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm／秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm／秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不包含点P在B、C两点的状况）；⑶在⑵的前提下，可否存在某一时辰t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1∶5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明原由．26.（本小题满分10分）把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角极点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）.(1)在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形BHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；(2)连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；5(3)在(2)的前提下，可否存在某一地址，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的16若存在，求出此时x的值；若不存在，说明原由.解：(1)A？G(O)(2)ECBF①(3)26．（本小题满分10分）（1）在上述旋转过程中，BH＝CK，四边形CHGK的面积不变.⋯⋯⋯⋯⋯2分证明：连接CG∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点∴CG=BG,C⊥GAB.∴∠ACG=∠B=45°.∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，∴∠BGH=∠CGK.∴△BGH≌△CGK.∴BH=CK,S△BGH=S△CGK.∴S四边形CHGK=S△CHG+S△CGK=S△CHG+S△BGH=S△ABC=××4×4=4.即：S四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化.⋯⋯5分A(2)∵AC=BC=4,BH=x，∴CH=4-x,CK=x.由S△GHK=S四边形CHGK-S△CHK，14x(4x)2得y=12yx2x4.2∴KECG(O)αHFB∵0°＜α＜90°，∴0＜x＜4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分(3)存在.依照题意，得152x2x48.216解这个方程，得x11,x23.即：当x1或x3时，△GHK的面积均等于△ABC的面积的5.16⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分24．（本小题满分12分）如图①，有两个形状完好相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O是△EFG斜边上的中点．如图②，若整个△EFG从图①的地址出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的极点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm况）．2)（不考虑点P与G、F重合的情（1）当x为何值时，OP∥AC?（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（3）可否存在某一时辰，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明原由．（参照数据：1142＝12996，1152＝13225，1162＝13456或＝，＝，＝）24．（本小题满分12分）解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC，∴EGACFGBC，4FG86．46∴FG＝＝3cm．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2′8∵当P为FG的中点时，OP∥EG，EG∥AC，∴OP∥AC．1FG2∴x＝＝112×3＝（s）．∴当x为时，OP∥AC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4′（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF＝5cm．∵EG∥AH，∴△EFG∽△AFH．∴EGAHEFAFFGFH．∴4AH5x53FH．∴AH＝45（x＋5），FH＝35（x＋5）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6′过点O作OD⊥FP，垂足为D．∵点O为EF中点，∴OD＝12EG＝2cm．∵FP＝3－x，∴S四边形OAHP＝S△AFH－S△OFP＝12·AH·FH－12·OD·FP＝12·45（x＋5）·35（x＋5）－12×2×（3－x）＝6252＋x175x＋3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7′（0＜x＜3）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8′（3）假设存在某一时辰x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24．则S四边形OAHP＝1324×S△ABC∴625x2＋175x＋3＝1324×12×6×8⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10′∴6x2＋85x－250＝0解得x1＝52，x2＝－503（舍去）．∵0＜x＜3，∴当x＝52（s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24．⋯⋯⋯⋯12′24．（本小题满分12分）o已知：如图①，在Rt△ACB中，C90，AC4cm，BC3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)（0t2），解答以下问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设△AQP的面积为y（2cm），求y与t之间的函数关系式；（3）可否存在某一时辰t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时均分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明原由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，获取四边形PQPC，那么可否存在某一时辰t，使四边形PQPC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明原由．BB

PPCAQAQC图①图②P24．（本小题满分12分）解：（1）在Rt△ABC中，ABBC2AC25，由题意知：AP=5－t，AQ=2t，若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，∴AQACAPAB，∴2t5t45，10∴t．··············3′7B（2）过点P作PH⊥AC于H．PAQHC∵△APH∽△ABC，∴PHBCAPAB，∴PH35t，53

∴PH3t，

511332∴yAQPHttt3t2(3)2255．··········6′（3）若PQ把△ABC周长均分，则AP+AQ=BP+BC+．CQ∴(5t)2tt3(42t)，解得：t1．若PQ把△ABC面积均分，1则SAPQSABC23，即－2t＋3t=3．5∵t=1代入上面方程不能立，∴不存在这一时辰t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时均分．···9′（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，若四边形PQP′C是菱形，那么PQ＝PC．∵PM⊥AC于M，∴QM=C．MPBN∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．∴PNACBPAB，∴PN4t5，AQ

MC∴4tPN，54tQMCM，5∴44∴tt2t4，55图②P′解得：10t．9∴当10t时，四边形PQP′C是菱形．9此时37PM3t，5348CMt，59在Rt△PMC中，49645052CM2PCPM，9819∴菱形PQP′C边长为5059．12′1、例题：(05重庆课改)如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O搬动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A搬动,设点P、Q搬动的时间为t秒．(1)求直线AB的解析式；y(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(3)当t为何值时，△APQ的面积为245个平方单位？APQOx解：（１）设直线AB的解析式为y＝kx＋bB由题意，得b＝6y8k＋b＝0解得k＝－34b＝6A所以，直线AB的解析式为y＝－34x＋6．PQOx

B（２）由AO＝6，BO＝8得AB＝10所以AP＝t，AQ＝10－2t1°当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．所以t6＝102t10解得t＝3011(秒)yA2°当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB．Q所以t10＝102t6解得t＝5013(秒)P（３）过点Q作QE垂直AO于点E．BO4在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝＝AB5OxBy4在Rt△AEQ中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·5所以，S△APQ＝118225APQEt(8t)·＝·－452452＝－t＋4t＝＝8－85tAPEOxBQ解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．24．（本小题满分12分）已知：如图，