专题03函数单调性和最值解析版

方法一第二步作差：f(x1)f(x2；第三步变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等第四步定符号；第五步得出结论.1f(x)xa(a0)在区间x

a,)是增函例 判断并证明：f(x) 1

在(－,0)上的单调性

【答案】fx在(－0上单调递增，证明见解1fxRx0f(xx21xfx判断并证明函数fx)在区间(0,)上的单调性x21 ；（2）函数f(x)在区间(0,)上是减函数，证明见解析

1,xxxx0f(0)f(0)f(0)x0－x0f(xf(x[(x)2(1x2 x21xxf(x)0x

1,xxf(m)f例3定义在[1,1]上的奇函数f(x)，对任意m,n0时，恒有 0m f()f( 若a8x10f(x1f2x0x恒成立，求a () （3）先确定x的范围，再分离参数求最值，即可求a的取值范 1(1

f()f( 33

， 0(∴f∴f1)f1)0，∴f1)f1)∴f1)f1)232323（2）x1，x2[1,1]x1x22 x 1 2f(x)f(x)f(x2)f(x1 x)f(x2)f(x12 x 1 2xx (xx x(x∵f(x2)f(x1)0，x2x10，∴f(x2)f(xx(x （3）a4f(x)ax fx

x2

是定义在1,1上的奇函数，且f() fx在(1,1)解不f(t1)f(t0

x21

（2） 121（3）f(t1)f(t1t1则1tt1

∴0t 121方法二导数法解题模板：第一步求函数fx的定义域；第二步求导f(x)；f(x0f(x0；第四步得出函数fx)的增减区间.例 已知函数f(x)(a1)lnxax21，函数f(x)的单调性【答案】f(x)在 a1)单调增加，(

a1,)单调减3f(xx33x29xaf(x【答案】(－,1)(3,f'(x3x26x9f'(x0x1或x3f(x)(,1)(3,)方法三复合函数分析法第三步根据同增异减，确定原函数的增减区间.0例5求函数y (x23x2)的单0【答案】在(,1)上单调递增，在(2,)上单调递4Ryf(xx0f(xln(x22xx0fx（2）试题分析：(1)利用奇偶性，x0时，x0，fxf(xln(x22x2)（2）x0时，x22x（1）x0x0f(xln(x22xyf(xf(x)f(xx0f(xln(x22x（2）由（1）x0f(xln(x22x2)，函数的单调增区间(1,0)x0f(xln(x22x2)，根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间(1,＋，所以函数的单调增区间为(1,0)(1,＋).方法四图像法二步从图像中读出函数的单调区间.6f(xx2|x|

），（0，）减区间为

,0),(,) 3x2,x1,【答案（1）图象见解析；（2）1,0,2,函数f(x)的图象由图像可知，函数fx)的单调递增区间为1,0,2,解题模板：第一步确定函数的定义域；第二步求出函数的单调区间；第三步确定函数的最值.例7已知函数f(x) x

【答案】最大值为2236f(xx22ax1在闭区间[1,1]g(a22a,a22a,a2a1时，[1,1]g(1)22a，当1a1时，最小值为g(a)1a2，22a,a22a,a22a,a22aa1

x2(4a3)x3a,x

且关于x的方程|f(x)|2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 （A（0， ， ， ，） 【答案】

【2016高 理数】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数af(2a1)f(2)，则a的取值范围 1【答案】(,)2

(1(2)x33x,x 理数】设函数f(x)2x,x ①若a0，则f(x)的最大值 ②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围 【答案2(,1)调性时，常需要先将函数化简，转化为一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、x23,x【2015高考浙江，理10f(x)

，则f(f(3)) ，f(x)的最小 【答案】0223222【解析】f(f(3))f(1)0，当x1时，f(x)2 3，当且仅当x 号成立，当x1时，f(x)0，当且仅当x0时，等号成立，故f(x)最小值为2 222【2015高 ，理6】已知符号函数sgnx

xxx

f(x)R上的增函数，g(x)f(x)f(ax)(a1)，则 sgn[g(x)]x【答案】

sgn[g(x)]x

sgn[g(x)]sgn[f D.sgn[g(x)]sgn[f【2015高 ，理14】设函数fx 2xa x4xax2a‚x①若a1，则fx的最小值 ②若fx恰有2个零点，则实数a的取值范围 2

a1或a2 给零点的条件，找出符合零点要求的参数a，要全面，注意数形结合．【2015高 ，理7】已知定义在R上的函数fx2xm （m为实数）为偶函数，af(log053)bflog25cf2m，则abc的大小关系为()ab【答案】

acb（C）cab（D）cb【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，先由函数奇偶性知识求出m的值，计算出相应的a,b,c的值比较大小即中档题.其中计算a的值时易错.【2015湖南，理2】设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是 奇函数，且在(0,1)上是增函 B.奇函数，且在(0,1)上是减函C.偶函数，且在(0,1)上是增函 D.偶函数，且在(0,1)上是减函【答案】【2015高 ，理14】设函数fx 2x－a x4xax2a‚x①若a1，则fx的最小值 ②若fx恰有2个零点，则实数a的取值范围 2

a1或a2【解析】①a1时，fx 2x x1‚，函数f(x)在(－,1)上为增函数，函数值大于4x1x2‚x在[1,3]为减函数，在3,)为增函数，当x3时，f(x) ②若函数g(x2xa与x轴有无交点，则函数h(x4(xa)(x2a)与x轴有两个交点，当a0时g(x)与xh(x4(xa)(x2a)在x1与x轴有无交点，不合题意；当h(12a0时a2h(x)与xxa和x2a，由于a2，两交点横坐标均满足x1a12

1或a2【2014高考陕西，理7】下列函数中，满足“fxyfxfy”的单调递增函数是 1（A）fxx

（B）fx

12fx 2

fx3x【解析】B，CA,D选项是否满足fxyfxfy”即可.在解答时对于正确选项要【20145xyaxay(0a1)，则下列关系式恒成立的是（x3 C.ln(x1)ln(

sinxsin D.x2 y2【解析】由axay(0a1)xyx3y3ABx2yxy此时sinxsiny sinxsiny对于Cx1,y2,xy此时ln2ln5ln(x21ln(y21)Dx2,y1,xy11

x2

y2

xxf(x1)f(x2)0，则a的取值集合是 x2 B．(0,1311 C．, D．(0,32【答案】

x3

,x 上不是单调函数，则实数a A．6,

【答案】3x23ax2a2,x 3(xa

5a2,x试题分析：f(x) 2) 当a0时x23ax2a2,x (x )2

,x 33a12a20a2，当a0时3a16a26a0，综 【2017届山东寿光现代中学高三10月月考数学（文）试卷】设函数f(x)1x29lnx2[a1,a1]上单调递减，则实数a的取值范围是 aa

B．a0a【答案】【2017届湖南衡阳八中高三10月月考数（理试卷下列函数中在区间1,＋上为增函数的 y2x B.y 1ylog1x2

yx【答案】试题分析：A项,y2x1在1,＋上是减函数,故不符合题意．B项,y 1

x

1＋为增函B合题意．Cylog1x1在1＋上是减函数,故不符合题意．Dyx1221,＋上是减函数,故不符合题意．故本题正确选项为【2017（理）f(xx2lnx2个子区间(k2,k2)内不是单调函数，则实数k的取值范围是 【答案】2k f(f的最小值与函数yf(x)的最小值相等，则实数b的取值范围 【答案】b0或b2)f(xx2bxx2)2

2b4fb

b，令tx2bxff(x242f(t)2

2

b2bb0或b2 【2016-2017学年河北邢台市高一上学期月考一数学试卷】已知函 f(x)ax1，且)f(14f(1)) 用定义法证明：函数fx)在区间(0,)上单调递x[1,3]f(x|x2|m，求实数m【答案（1）证明见解析；（2）(1 4f() 1a92a16，解得a3f(x)3x1，设0xx x2x xf(x1)f(x2)3x1 3x2 3(x1x2) 2(x1x2)(3 2 x x x x 1 1x1x20xx0f(xf(x0f(xf(xx x1∴函数fx)在区间(0,)上单调（2）gxx2mx[1,3]，则当x1或3时g(x)max1m由（1）yf(x在[1,3]x1fx取最小值2yf(xg(x在[1,3]f(1)g(1)1mx[1,3]f(x|x2|m∴1m0，即mm的取值范围是(1)求实数a（II）函数f(x)的单调性，并写出单调区间（Ⅰ）1；（Ⅱ）(,1(1,

x 31

x3x1单调性的定义法证明在定义区间(－,)上为单调递增，又因为为奇函数，所以在其对称区间,)为单调递增.由（Ⅰ）f(x)2x

x ，则函数fx)的定义域为(1)(1)3x 1 x x 1 x x (x1)(x y

x y3x

f(x)在(1,)上为同理函数fx)在(－1)也为增函所以函数f(x)的单调增区间为(1)(－1(

函数，求a【答案】[1,9)试题分析：由于函数f(xlogx8

a在1,上是增函数可知，（1）1xx a f