专题20探究型之存在性问题解析版

1.（宿迁）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是【 A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A（2，3，B（﹣2，1，点的距离之和最小，则P点的坐标是 （﹣1，0（2，3，B（﹣2，1∴C（2，﹣3BC2kbB、C2kbk解 bBCy=﹣x﹣1，y=0时，﹣x﹣﹣1=0，∴P点的坐标是（﹣1，01.（徐州）ABCDAB=3cm，AD=4cmE从点A出发，沿射线ADCE为直径作圆OF为圆OBD的公共点，连接EF、CF，过点EEG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连CG．试说明四边形EFCG当圆OBD相切时，点EEG（2）①

EFCG∵四边形ABCDOCE的中点，∴OD=OC．∴点D在⊙O

CF

CF

CF2

∴SCFEDA

SDAB 34

.∴S矩形 4∵S矩形

，∴

12

342

108

12 45 矩形 矩形EFCG12，最小值为108②∵∠GDC=∠FDE=G的起点为DG的移动路线是线段DCDG3DG，解得DG15 G移动路线的长为154定和性质；6.圆周角定理；7.切线的性质；8.相似三角形的判定和性质；9.分类思想的应用．（﹣1，﹣122（0，0（ ，…22nx

”A（x1，x1，B（x2，x2，且满足

（2） 1

13k

1，3k

k=3

，s=1时，“梦之点3

”（3）t＞ 即﹣8a

＜8a＞0，解不等式组得出a8

t（1）∵P（2，2）y=x

（n为常数，n≠0）y=4x”（x，xx=3kx+s﹣1，整理，得1

13

3k1

）2﹣4×a

b22b1=

∴t=b2﹣2b+157=（2a+1）2﹣2+157=（2a+1）2+61 ∴﹣4＜x2＜0∴﹣8＜x•2＜81a

8∴（2a+1）2+61＞25+61=17∴t＞17

484O（0，0，A（4，043

，M将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线OB′A（B′为B关于x轴的对称点，在原抛物x轴的上方部分取一点C，连CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D．若△CDA的面积是△MDA积的2CC3【答案】(1)33

44

x．(2)P（1，﹣3．(3)C（2+23838

）或 38383（1）34=﹣3当34=﹣3 ∴P（1，﹣3333

44，分别过点D、CxEF∴DEMEMD ∴CF=3DE，F=3ME．333

44

∴存在满足条件的点C，C（2+23

）或（2﹣23 88884.（苏州）如图，已知⊙O上依次有A，B，C，DADBCAB，AD，BDAB不经过OAB到EBE＝ABEC，F是ECBF．若⊙O3，∠DAB＝120°，求劣弧BD求证：BF＝12GBD的中点，探索：在⊙OP（BPG＝PF?PB与AE的（2）（3）B2，连接∵AB=BE，∴BAE的中点∵FEC的中点,∴BF是△EAC的中位线.∴BF1AC2ADABBCAB，即BAD∴BD=AC.∴BF＝1BD2B3，作∠DBF的平分线交⊙OPPG，PB，则∵GBD的中点，由（2）BF＝1BD2考点：1.圆周角定理；2.弧长计算；3.三角形的中位线的性质；4.弧弦关系定理；5.全等三角形的判定和5.（南平）y1x2bxcA（-1，0，B（4，0）2【答案】

y1x23x2（2）① ∴m11m23m2 解得：m=3m=-∵C（m，m-1）0，0， m∴m（3，2∵C（3，26.（常州）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y1x23x2的图像与x轴交于点A，B（B A的左侧yCH（0,mxy1x23x 写出点A,B若m0DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m（1（4，0）（－1，0（2）2（1）y=0时，有1x23x20

14,

1（2）∵⊙Q与x轴相切，且与y1x23x2D、E O位于直线与抛物线对称轴的交点处，且⊙Q的半径为H点的纵坐标m（m03∵抛物线的对称轴为x 3，21 2 FFP⊥xmFP4或m=FPF点一定在AC 1 3 ∵y

x2 x2 x ，∴y的最大值 2 2 l8

∴m可取值为m2或43或综上所述，mm2或43或考点：1.2.单动点问题；3.等腰直角三角形存在性问题；4.二次函数的性质；5.曲线上点的坐标与方程的关系；6.直线与圆的位置关系；7.全等三角形的判定和性质；8.正方形的判定和性质；9.分（2014•21题，9分）y=kx+bym（x＞0）xP（n，2A（﹣4，0DBCPDD的坐标；如果不存在P（4，2）代入反比例解析式得：m=8y8x（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，y4

C（0，1BC

04

=﹣141

x4yx

（﹣4， 4

yxy

x （x﹣4（x﹣8）=0，解得：x=4（舍去）x=8，x=83（2014•25题，14分）y=ax2+bx+c（a≠0）3

443

xA、ByCP为抛物线对称轴上的动点，当△PBCPACQ，使△QBMQ点坐标；若不存在，请说明 3x2﹣23x+3（2）点P的坐标为（﹣1，3 （﹣1，

113221， （﹣，22

4（3） ，使△QBM的周长最小 （1）（﹣2，3）代入，得3=a（﹣2+1）243a3（2）y=﹣3x2﹣23x+3xA、ByC 3x2﹣23x+3 3x2﹣23x+3 ∴x=0时，y=3∴C（0，3y=0

3x2﹣23x+3 x=1∴A（1，0，B（﹣3，0

23OB21(m3OB21(m332

，解得m=3 BP=BC

2综上，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（﹣1，3 （﹣1，（﹣1， 22（﹣1， 2ACy=﹣3x+33353y x53

x3333

47由7

，解得

，即Q（ 4 y

3x

y 41所以在直线AC上存在一点Q（ 41

，使△QBM【考点】二次函数综合题．（2014•24题，12分）y=ax2﹣8ax+12a（a＞0）xA、B两点（AB的左侧yCD的坐标为（﹣6，0，且∠ACD=90°．P，使得△PACP的坐标及周长的最小值y轴的mD出发沿x轴向右平行移动，到点A停止．设直线m与折线DCA的交点为Gx轴的交点为H（t，0．记△ACD在直线m左侧部分的面积为ss关于t的函数关系式及自变量t的取值范围．A（2，0，B（6，0．(2)=（3），△AC （4）

3t223t63(6t 3t223t63(0＜t （1） 3x2﹣43x+23 4由（2）C（023Cx=4C′（823AC′PP为所求．此时△PACAC+AC′．AC′y=kx+b，则有：3 32PP坐标为23

，△AC 3①当﹣6≤t≤04﹣13my 2 2

6t，解得 3 ∴S=S△DGH=2

DH•GH=2

333

363

t2+23t+630＜t≤24﹣2myy=+标为－3ByPy轴左侧抛物线上的一动点，横坐m，过点PPC⊥xC，交直ABD.m为何值S四边形OBDC2SVBPD（1）y=x2+4x-1（2）∴m1,-2，或-32

OBDC

BP

AP,AD

1∵y=x2+bx+cy=x-1A、B

4

b∴c

∴抛物线的解析式为：y=x2+4x-21，D（m，m-（3））如图2，当∠APD=90°时，设P（a，a2+4a-1，则D（a，a-y=x-1y=0∴（1，022∵PC⊥xAP ∴m43m 1 1∴m=-2m=-（2014•25题，12分）l：y=﹣2y=ax2+bx+cy轴，且经过（0，﹣1（2，0PPlQABy=ax2+bx+cA、BA、Bl的垂线，M、NON、OM，求证：ON⊥OM．D（1，1F的坐标；若不存在，请说明理由．（2）（3（i）（ii（1 （1）

y1x214a2﹣1， =1 ∴QP=14

1a2a2(1a21)

1GHF′E∴F∵D（1，1∴F5∴F（1，4（10分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Oy=﹣x2+bx+c（c＞0）OA，OB，BDAD．若点A的坐标是b，c

BC=2

是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．∴四边形AOBD（2）A的坐标可以是（22，2）或（2213（12分）xOy中，OP（1，1）为圆心的⊙Px轴，y轴分别相切M和点N，点FM出发，沿x轴正方向以1个单位长度的速度运动，连接PF，过PE⊥PFy轴于点EFt秒（t＞0）若点E在y轴的负半轴上（求证FOE=a，OF=b，试用含a作点FM的对称点F′，经过M、EF′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点t的值；若不存在，请说明理由．142当t 142

2

2或2

2Q、O、EP、M、F（2）t＞1Ey轴的负半轴上，0＜t≤1E在y轴的正半轴或原点

∴Q（1﹣1t，0）∴OQ=

由（1）得△PMF≌△PNE1t当△OEQ∽△MPFOEOQt1

，无解

21t2当△OEQ∽△MFP时，∴OEOQ，t1 ，解得，t22,

2 142综上所述，当t 点P、M、142

或2

2或2

2时，以点Q、O、Ex=1A，B，C三点l的解析式为yxmxGABCO的面积②当m3PxlE，F.PP的坐标；若不存在，请说明理由x=1于点易知，△OMN和△PHN都是等腰直角三角形2∴SOPH

O

131 ②存在当m3l的解析式为yx3i）POC2P的坐标为0,p0p4F

2pp22 ，解得pp22 2ii)PCB3P的坐标为p,40p2FPF

2xp

211pp2113p 5p25p238p2PE=EF，即2p8 ，解得 ，∴3【考点】1.动点问题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.勾股定理；7.等腰三角形存在性问题；8.转换思想和分类思想的应用.（2）①x=1xM，与直线yx交于点N，过点HHDx=1D，PD，OM，DH的长，由SOPHSOPDSDPH求解即可.②分点P在OC，CB，BA，AO边上四种情况，每种情况又分PE=EF，PE=PF，EF=PF三种情况.

8分ykxk(x2y24x2y23x24x2y2能化简为x4若能，请求出所有满足条件的k值，若不能，请说明理由【答案】解：能∵ykx∴(x2y2)(4x2y2)3x2(4x2y2)(4x2y2)(x2y23x2)(4x2(4x2k2x2)2x44k22∴要使代数式(x2y24x2y23x24x2y2x4，只要4k22135∴4k21，解得k 或k 35【考点】1.代数式的化简；2.代数式恒等的条件；3.解高次方程【分析】化简代数式，根据代数式恒等的条件列关于k的方程求解即可DyCCCA∥x轴交抛物线于点A，在ACB，使OA，OB，BDAD．若点A的坐标是b，c

BC=2

A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．（2）A的坐标可以是（22，2）或（2217.（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，OP（1，1）为圆心的⊙Px轴，y轴PE⊥PFy轴于点EFt秒（t＞0）若点E在y轴的负半轴上（求证FOE=a，OF=b，试用含a作点FM的对称点F′，经过M、EF′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点t的值；若不存在，请说明理由．（2）t＞1Ey轴的负半轴上，0＜t≤1E在yt117,t117（舍去 当△OEQ∽△MFPOEOQ t1

112 t1

2,t2

2（舍去（Ⅱ）4t＞2∵F（1+t，0，F

∴Q（1﹣1t，0）∴OQ=

由（1）得△PMF≌△PNE1t当△OEQ∽△MPFOEOQt1

，无解

21t2当△OEQ∽△MFP时，∴OEOQ，t1 ，解得，t22,

2 142综上所述，当t 点P、M、F为顶点的142

或2

2或2

2时，以点Q、O、E19.（牡丹江）ABx轴、yA，BCDx轴、3＞OC，BE=，ta∠ABO= 4求点A，Ck

的图象经过点EkxPQC，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Qx轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．xP2Q2CEyP5、P6PC⊥PEQ5、∴EMAM

AE ∴E（3，126Q410，﹣1，6（﹣36﹣3 6y=﹣x2平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不过点 l1A，Bl2l2的函数解C的坐标，并求△ABC的面积．yP，使S△ABC=S△ABPP【答案】（1）①无数；②y=﹣x2﹣1；（2）15；（3）P的坐标为（055）或（025 C的坐标，过点A、B、C三点分别作分当点P位于点G的下方和上方，两种情况进行求解1A、B、Cx轴的垂线，垂足分别为D、E、F，AD=2，CF=7，BE=1，DE=2，DF=5，FE=3．

梯形

梯形

ACFD=15（3）存在.2，3BAyG，AB的解析式为ymxn，mmn则

，解得 23mn

n AB的解析式为y1x5 G的坐标为（052 ）如图，抛物线yx2bxcxA(-1，0)，B(5，0）y3x3y4CxD.PxPPF⊥xFCD于E.Pm.PE5EFmE/EPCPE/y轴上？若存在，请直接写出相应P的坐标；若不存在，请说明理由. 1

【答案】（1）y

4x5；（2）22

；（3）P的坐标为

2，4或4，53

试题解析：解：（1）∵抛物线yx2bxcx轴交于A1，0B(5，0)∴0=52

，解得c=5∴抛物线的解析式为yx24xPm，则

5,

3m3)，Fm,0.PxPE=5EFPyPEm24m5(3m3)m219m 存在，点P的坐标为 ，或4，5或

422.（贵阳）如图，经过点A（0，﹣6）y1x2bxcxB（﹣2，0，C2求此抛物线的函数关系式和顶点D将（1）1m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1y1P在△ABCm的取值范围；在（2）y1Q，使得△QABAB为底边的等腰三角形？请分析m的取值范围．（2﹣8（23＜m＜8（3 3＜m103时，存在两个Q②当m=103时，存在一个点Q，可作出一个等腰③当103＜m＜8时，Q（1）∵A（0，﹣6，B（﹣2，0）2c∴22bc

bc6考点：1.二次函数综合题；2.线动平移和等腰三角形存在性问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次函数的性质；6.一元二次方程根的判别式；7.解一元一次不等式组；8.分类思想的应用．23.（钦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y4x2bxcxA、Dy3（1，0（0，4EPE⊥xPBCGBD于点PBCm的代数式表示PG（2）PG（3） 形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或23∴抛物线的解析式为y4x28x4 ∵E（，0，B（，4，PEx∴P（m，4m28m4，G（m，4）. ∴PG=4m28m444m28m y4x28x4y=04x28x40x=1或 ∴D（﹣3，0PBC上方时﹣1或2324.（）如图（1），在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxca0与x轴交于A1,0,B3,0yC(0，3)D(1,4) 如图（2P是ADPPDEPE，过P作PF∥PEx轴F.设S四边形EPP'Fy,EFxyxy的最大值；在（1）Q，使△BCQBC（1）yx22x3（2）yx24x0x4x=2时，y4（3）存在满足条件的点Q（1，4）和（-2，-5）.1，0B（3，0∴AB=4，DE=4，PP′=x,∴x4GE

=EFGHx4xx24x∴yx的函数关系式为yx24x0x4∵yx24xx224x=2时，y（3）假设存在满足条件的点Q（x，y25.（桂林）如图，已知抛物线y=ax2+bx+4与xA（2,0、ByC点，其对称轴为x=1. 把线段ACxA、CA′、C′C′A′、除（2）A′、C′xE、F，使得以A、C、E、F为顶点的E、F的坐标；若不存在，请说明理由.（2（0，0