现代控制理论基础：第六章 状态反馈和状态观测器

第六章状态反馈和状态观测器6.1状态反馈和输出反馈6.2极点配置问题6.3状态观测器6.4带状态观测器的状态反馈系统小结教学要求：1.熟练掌握状态反馈与输出反馈，极点配置。2.掌握状态观测器设计方法。3.带状态观测器的状态反馈系统。重点内容：1.状态反馈与输出反馈的基本结构、性质和有关定理。2.单输入、单输出系统的极点配置。3.状态观测器的设计。4.带状态观测器的状态反馈系统。引言综合与分析是相反的一个命题。分析：已知系统结构和参数及外输入作用，研究系统运动的定性行为（如能控性、能观测性、稳定性等）和定量的变化规律。综合：确定需要施加于系统的外输入作用，即控制作用的规律及需要增加的结构和参数。已知系统结构和参数及所期望的系统运动形式或某些特征。以状态空间法为基础，在时间域内讨论线性反馈系统的综合问题。控制作用规律常取为反馈的形式。抗扰动或抗参数变动，反馈系统优于非反馈系统。综合是建立在系统分析的基础上的。6.1状态反馈与输出反馈古典控制理论，输出反馈系统，提高系统的性能，提高抗干扰能力。现代控制理论，采用状态反馈和输出反馈。一、状态反馈和输出反馈的形式线性定常状态空间表达式为其中：为维状态向量，为维输入向量，为维输出向量。设状态反馈控制律(将系统的状态变量作为反馈量)其中：为型反馈增益矩阵；为维输入向量状态反馈系统结构图带状态反馈的闭环系统的状态空间表达式为：传递函数矩阵为：0)(=+-=BKAIfll特征方程为：当时，上式简化为1、状态反馈不增加新的状态变量。2、状态反馈对输入矩阵B

和直接传输矩阵D

无影响。3、系统矩阵由A

变成（A-BK）。4、输出矩阵由C

变成（C-DK）。系数矩阵系统性能AB

固定K可选择达到希望的控制目的其中：为型反馈增益矩阵；为维输入向量输出反馈就是将系统的输出矢量进行线性反馈设输出反馈控制律：输出反馈系统结构图具有输出反馈的闭环系统的状态空间表达式为：当时，上式简化为传递函数矩阵为：1、输出反馈不增加新的状态变量。2、输出反馈使矩阵B

变成

当D=0

时对B

阵无影响。4、输出矩阵C

变成当D=0时，C不变。3、系统矩阵由A

变成。当D=0

时，就变成。5、直接传输矩阵由D

变成。系数矩阵系统性能ABC固定H可选择达到希望的控制目的HC相当于K

K的维数大于H的维数，则K可选择的自由度大，状态反馈的性能要好于输出反馈。输出反馈易于实现。二、闭环系统的能控性和能观性结论：1.状态反馈和输出反馈均不改变原被控系统的状态能控性2.输出反馈不改变原被控系统的状态能观性，但状态反馈可能改变原被控系统的能观性。原系统是能观测的，引入状态反馈，变为不能观测原系统是不能观测的，引入状态反馈，变为能观测状态反馈配置的极点与原系统零点相同，零、极点相消，状态反馈就改变了系统的能观测性分析引入状态反馈前后系统的能控性和能观测性。

例6.1已知二阶系统解：6.2极点配置问题

控制系统的性能主要取决于系统极点在复平面上的分布。因此，作为综合系统性能指标的一种形式，往往是给定一组期望极点，或者根据时域指标转换成一组等价的期望极点。极点配置问题

就是通过选择反馈增益矩阵，使闭环系统的极点恰好位于期望的位置上，以获得所希望的动态性能。两个问题：1.系统是否满足任意极点配置的条件；2.若任意极点配置的条件满足，配置的算法如何。定理6.1(极点配置定理)一.采用状态反馈配置系统的极点系统能控引入状态反馈任意配置极点A，b一定配置系统极点确定K阵计算合适K将系统极点配置在S平面上所希望的位置(1)若完全能控，必存在非奇异线性变换能将系统化成能控标准形受控系统的传递函数为(2)引入状态反馈则闭环系统的状态空间表达式为其中对应的闭环传递函数为可得闭环特征多项式为(3)根据给定的n个期望闭环极点可求得期望的闭环特征多项式为：比较上两式，令同次幂的系数相等，即得(4)根据得到变换前系统对应的K阵几点讨论：1）对于单输入系统，只要系统能控必能通过状态反馈实现闭环极点的任意配置，而且不影响原系统零点的分布。如果故意制造零极点对消，那么此时闭环系统是不能观的。受控系统的传递函数为进行极点配置后系统的闭环传递函数为零点是相同的!2）选择期望极点，是个确定综合指标的复杂问题。一般应注意以下两点：A.对一个n维系统，必须指定n个实极点或共轭复极点。B.极点位置的确定，要充分考虑它们对于系统性能的主导影响及其与系统零点分布状况的关系。同时还要兼顾系统抗干扰的能力和对参数漂移低敏感性的要求。4）上述极点配置定理同样适用于多输入多输出系统,区别在于后者的状态反馈阵K不是唯一的，而对单变量系统K阵是唯一的。原因在于多输入多输出系统的能控标准型不是唯一的。3）当受控系统不完全能控时,状态反馈只能任意配置系统能控部分的极点，而不能改变不能控部分的极点。(1)判断受控对象的能控性。若完全能控，通过非奇异线性变换，将系统化成能控标准形求状态反馈阵K的方法（极点配置算法）：方法一：规范算法(利用能控标准型求K阵)(2)求得状态反馈闭环系统的特征多项式(3)根据给定的n个期望闭环极点求得期望的闭环特征多项式(4)令，令同次幂的系数相等，即得(5)根据得到变换前系统对应的K阵注：该方法比较麻烦，但对高阶系统是一种通用的计算方法，在利用计算机求K阵时，通常采用这种方法。方法二：直接求K阵的方法（解联立方程）另一种比较实用的求K的方法是，根据和使其多项式对应项的系数相等，得到n个代数方程，即可求出注：这种方法适用于低阶手工计算K阵

的场合。

例6.2已知系统的传递函数为试设计状态反馈阵K，使闭环系统的极点为解:(1)由于传递函数没有零极点相消现象，所以原系统是能控且能观的，根据定理6.1可以用状态反馈的方法将闭环极点配置在期望的位置上，根据传递函数可直接写出其能控标准形实现

则闭环系统的系数矩阵为

(2)设反馈阵

(2)期望的特征多项式为：(3)比较与各项系数，可得即对应的闭环系统特征多项式为

=4=1-2-3=4－－－++vuyx1++闭环系统结构图定理6.2二.采用输出反馈配置系统的极点单变量输出反馈系统状态反馈的优越性。状态观测(重构)问题：极点配置、镇定、解耦控制、无静差跟踪，都引入适当的状态反馈才能实现。不易直接测量,或经济性上的限制,不能实际获得系统的全部状态变量，状态反馈的物理实现不可能。6.3状态观测器

通过重构系统的状态，用重构状态代替系统的

状态反馈的优越性与物理上的不能实现性，形成了矛盾。

状态重构问题，就是重新构造一个系统。真实状态，来实现所要求的状态反馈。

根据系统的输入量、输出量和系统的结构、参数来实现系统的状态重构。

实现状态重构的系统称为状态观测器。表征状态重构问题含义的直观说明如下图所示。状态观测器是一个线性定常系统。定理6.3一.状态观测器的存在性系统方程为状态不能直接加以量测，输出和输入是可以利用的。构造如下的系统方程方程中的作为系统状态的重构。以上两个方程相减得：如果系统的初始状态，有则为系统的重构状态。但如果，则。引入信号进行修正。为型矩阵如果适当选择阵，使的所有特征值具有负实部，则状态观测器就是重构状态。二.观测器的极点配置定理6.4几点说明：(1)若原系统不完全能观测，可将其分解为能观和不能观子系统。只有当不能观的子系统为渐近稳定时，设计的观测器才能稳定，否则观测器不能稳定(2)反馈矩阵G的选取可完全按极点配置算法进行。应注意的是观测器的极点选取问题。一般来说，希望观测器的误差衰减得快一些，即将观测器的极点选择在复平面上位于虚轴左边较远的地方。但是这样做有可能使得G的增益过大，从而将系统的观测噪声放大。一般认为，应选择观测器的极点位于复平面上比被观测系统的极点离虚轴稍远一些。上面介绍的状态观测器，由于它的维数与的维数相同，这种状态观测器称为全维观测器。

求G阵的方法方法一：规范算法(2)若原系统状态完全能观测，通过非奇异线性变换将系统化成能观标准形(1)判断能观性(3)确定能观标准形对应的反馈阵观测器的特征多项式为(4)根据极点配置要求，期望的特征多项式为比较上两式，令同次幂的系数相等，即得(5)根据得到变换前系统对应的G阵方法二：直接求G阵的方法（解联立方程）另一种比较实用的求G的方法是，根据得系统观测器的状态方程为注：该方法比较麻烦，但对高阶系统是一种通用的计算方法，在利用计算机求G阵时，通常采用这种方法。使其多项式对应项的系数相等，得到n个代数方程，即可求出得系统观测器的状态方程为和注：这种方法适用于低阶手工计算G

阵的场合。

例6.2已知线性定常系统的状态空间表达式为试设计一渐近状态观测器，将其极点配置为解:(1)判断能观性

所以给定系统是状态完全能观测的，其状态观测器可以任意配置极点。(2)确定变换阵T

(3)做变换，化为能观标准型

其中，(3)确定能观标准形对应的反馈阵，设则观测器的特征多项式为根据极点配置要求，期望的特征多项式为比较上面两个特征多项式的系数，可得得系统观测器的状态方程为：6.4带状态观测器的状态反馈系统一.系统结构带状态观测器的状态反馈系统整个闭环系统的状态空间表达式：写成矩阵的形式：