统计学 第7讲 参数估计课件

第7章参数估计

第7章参数估计

1补充：大数定律1.独立同分布大数定律2.贝努里大数定律

补充：大数定律1.独立同分布大数定2独立同分布大数定律大数定律是阐述大量同类随机现象的平均结果的稳定性的一系列定理的总称。——设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且存在有限的数学期望E(Xi)＝μ和方差D(Xi

)＝σ2（i=1,2,…），则对任意小的正数ε,有：

独立同分布大数定律大数定律是阐述大量同类随机现象的平均结果的3大数定律（续）该大数定律表明：当n充分大时，相互独立且服从同一分布的一系列随机变量取值的算术平均数，与其数学期望μ的偏差小于任意小的正数概率接近于1。该定理给出了平均值具有稳定性的科学描述，从而为使用样本均值去估计总体均值（数学期望）提供了理论依据。大数定律（续）该大数定律表明：当n充分大时，相互独立且服从同4贝努里大数定律设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是每次试验中事件A发生的概率，则对任意的ε>0，有：它表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率m/n依概率收敛于每次事件A发生的概率阐明了频率具有稳定性，提供了用频率估计概率的理论依据。贝努里大数定律设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是5案例一：

参数估计在企业市场规划中应用例张先生是台湾某集团的企划部经理，在今年的规划中，集团准备在某地新建一家新的零售商店。张先生目前正在做这方面的准备工作。其中有一项便是进行市场调查。在众多考虑因素中，经过该地行人数量是要考虑的一个很重要的方面。张先生委托他人进行了两个星期的观察，得到每天经过该地人数如下：1544，1468，1399，1759，1526，1212，1256，1456，1553，1259，1469，1366，1197，1178将此数据作为样本，商店开张后经过该地的人数作为总体。在95%的置信度下，能否知道每天经过此地的人数？案例一：

参数估计在企业市场规划中应用例张先生是台湾某集6

案例二：

参数估计在品牌认知度中应用例某食品厂准备上市一种新产品，并配合以相应的广告宣传，企业想通过调查孩子们对其品牌的认知情况来评估广告的效用，以制定下一步的市场推广计划。他们在该地区随机抽取350个小孩作访问对象，进行儿童消费者行为与消费习惯调查，其中有一个问句是“你听说过这个牌子吗？”，在350个孩子中，有112个小孩的回答是“听说过”。根据这个问句，可以分析这一消费群体对该品牌的认知情况。食品厂市场部经理要求，根据这些样本，给定95％的置信度，估计该地区孩子认知该品牌的比例。

案例二：

参数估计在品牌认知度中应用例某食品厂准备上7第7章参数估计7.1参数估计的一般问题7.2一个总体参数的区间估计7.3两个总体参数的区间估计7.4样本容量的确定第7章参数估计7.1参数估计的一般问题87.1参数估计的一般问题

7.1.1估计量和估计值7.1.2点估计和区间估计7.1.3

评价估计量的标准7.1参数估计的一般问题

7.1.1估计量和估计值97.1.1估计量和估计值估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比例、样本方差等例如:样本均值x

就是总体均值的一个估计量估计值：估计总体参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值x

=80，则80就是的估计值7.1.1估计量和估计值估计量：用于估计总体参数的随机107.1.2点估计和区间估计点估计用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用样本方差直接作为总体方差的估计例:某企业工人日产量进行抽样调查,样本人均日产量为35件,样本优质率为85%.按点估计,可推断该企业总体人均日产量为35件,总体优质品率为85%.优点：简单、具体明确缺点：没有给出估计值接近总体参数的程度，也无法说明估计结果有多大的把握程度。7.1.2点估计和区间估计点估计11(一)常用的点估计量1.总体均值点估计量（样本均值）2.总体方差与标准差点估计量（样本方差与标准差）3.总体比率（成数）点估计量（样本成数）(一)常用的点估计量1.总体均值点估计量（样本均值）2.总体12（二）点估计的方法（1）极大似然估计（最大似然法）（二）点估计的方法（1）极大似然估计（最大似然法）13统计学第7讲参数估计课件14(2)矩法矩就是随机变量的各阶数值特征。(2)矩法矩就是随机变量的各阶数值特征。15统计学第7讲参数估计课件16矩估计法的具体做法如下：矩估计法的具体做法如下：17统计学第7讲参数估计课件18区间估计区间估计：根据样本统计量的抽样分布对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量实质是在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，不仅可说明样本统计量与总体参数的接近程度，而且能说明估计结果的把握程度。包括置信区间和置信水平两个要素。例如：某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%

样本统计量

(点估计)置信区间置信下限置信上限区间估计区间估计：根据样本统计量的抽样分布对样本统计量与总体19置信区间和置信水平

由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。最小值称为置信下限，最大值称为置信上限。[Ｌ，Ｕ]称为总体参数的置信区间。(1-称为置信水平，表示如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总体参数的次数所占的比率。为显著性水平，是总体参数未在区间内的比例，也称风险值取值大小由实际问题确定。常用的为0.01，0.05，0.10，相应的置信水平值有99%,95%,90%置信区间和置信水平由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称20由于作为总体参数，是固定不变的常数，它或在给出的区间[Ｌ，Ｕ]内，或在该区间外，概率只能是0或1，不可能是1-，怎样解释这个概率的含义？用[Ｌ，Ｕ]去框，估计结论或者正确或者错误，但是如果多次重复估计的话，则平均100次估计中，只有100次估计错误，有100（1-）估计正确。1-表示将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例。如何理解1-？由于作为总体参数，是固定不变的常数，它或在给出的区间[217.1.3

评价估计量的标准参数估计中，用来估计总体参数的统计量很多，到底选择哪个统计量作为总体参数的估计量呢？这涉及估计量的评价标准。评价标准：无偏性，有效性，一致性7.1.3评价估计量的标准参数估计中，用来估计总体参数的统22无偏性估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数，也就是样本统计量的分布以总体参数真值为中心。P(

)BA无偏有偏无偏性估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数23有效性对同一总体参数的两个无偏点估计量，更小标准差的估计量更有效，如样本平均数的方差比样本中位数的方差要小，所以作为估计量，样本平均数更有效BA

的抽样分布

的抽样分布P(

)有效性对同一总体参数的两个无偏点估计量，更小标准差的估计量更24一致性

随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数。一个大样本给出的估计量比一个小样本给出的估计量更接近总体参数。（大数定理）AB较小的样本容量较大的样本容量P(

)一致性随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估25第7章参数估计7.1参数估计的一般问题7.2一个总体参数的区间估计7.3两个总体参数的区间估计7.4样本容量的确定第7章参数估计7.1参数估计的一般问题26总体参数2已知2未知大样本小样本，正态总体正态分布正态分布t分布7.2一个总体参数的区间估计大样本小样本正态总体总体参数2已知2未知大样本小样本，正态总体正态分布正态分27总体均值的区间估计

(２已知：正态总体，或非正态总体、大样本)1. 假定条件方差(２)已知总体服从正态分布总体如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n

30)使用标准正态分布统计量总体均值在1-置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计

(２已知：正态总体，或非正态总体、大28公式推导公式推导29

(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产品质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%。25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3

(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，30例题分析解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：

总体均值在1-置信水平下的置信区间为在置信水平95%下，该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g例题分析解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=31总体均值的区间估计

（２未知、大样本）实际计算时，所研究总体的标准差通常未知，可以用以往调查的总体标准差来代替，大样本的时候也可以用样本标准差来代替。使用正态分布统计量z

总体均值在1-置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计

（２未知、大样本）实际计算时，所研究32(例题分析)【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532(例题分析)【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机33

(例题分析)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得：，

总体均值在1-置信水平下的置信区间为在置信水平90%下，投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁

(例题分析)解：已知n=36,1-=90%，z/34总体均值的区间估计

（２未知、正态总体、小样本）1. 假定条件若总体服从正态分布，但方差(２)

未知则，样本均值经过标准化以后的随机变量服从自由度为（n-1）的t分布。

t分布统计量，用样本标准差s代替总体标准差3.总体均值在1-置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计

（２未知、正态总体、小样本）1. 假35

(例题分析)【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470

(例题分析)【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批36(例题分析)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131根据样本数据计算得：，

总体均值在1-置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～1503.2小时(例题分析)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-37总体平均数的置信区间表达式总体平均数的置信区间表38总体比率（成数）的区间估计1. 假定条件总体服从二项分布样本n足够大，一般大于30可以由正态分布来近似使用正态分布统计量z3.总体比例P在1-置信水平下的置信区间为总体比率（成数）的区间估计1. 假定条件3.总体比例39

(例题分析)【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%~74.35%

(例题分析)【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，40总体方差的区间估计1. 假定条件总体服从正态分布使用分布统计量3.总体方差在1-置信水平下的置信区间为~总体方差的区间估计1. 假定条件3.总体方差在1-41

(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产品质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试以95%的置信水平建立该种食品重量方差的知心区间。25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3

(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，42解：解：43区间估计的总结

1.总体均值的区间估计

２已知：正态总体，或非正态总体、大样本

２未知：正态总体，或非正态总体、大样本总体比例的区间估计总体方差的区间估计区间估计的总结

1.总体均值的区间估计44第7章参数估计7.1参数估计的一般问题7.2一个总体参数的区间估计7.3两个总体参数的区间估计7.4样本容量的确定第7章参数估计7.1参数估计的一般问题457.3两个总体参数的区间估计7.3.1两个总体均值之差的区间估计7.3.2两个总体比率之差的区间估计7.3.3两个总体方差比的区间估计7.3两个总体参数的区间估计7.3.1两个总体均值之467.3.1两个总体均值之差的区间估计

1.独立样本（1）大样本的估计方法假定条件：两总体为正态分布或两个大样本7.3.1两个总体均值之差的区间估计

1.独立样本47①两个总体的方差和已知时两总体均值之差

在1-置信水平下的置信区间为②两个总体的方差和未知时两总体均值之差

在1-置信水平下的置信区间为①两个总体的方差和已知时48两个样本有关数据例：某地区教育委员会想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立地抽取两个随机样本，有关数据如表所示。建立两所中学高考英语平均分数之差在95%的置信区间。中学一中学二两个样本有关数据例：某地区教育委员会想估计两所中学的学生高考49统计学第7讲参数估计课件507.3.1两个总体均值之差的区间估计

（2）小样本的估计方法假定条件：两总体均为正态分布两个随机样本独立的分别抽自两总体①两个总体的方差和已知时无论样本大小两总体均值之差

在1-置信水平下的置信区间为7.3.1两个总体均值之差的区间估计

（2）小样本的估计方51②两个总体的方差和未知但相等时两总体均值之差

在1-置信水平下的置信区间为②两个总体的方差和未知但相等时52两种方法组装产品所需时间例.为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12个工人，每个工人组装一件产品所需的时间（分）如下表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间。方法一方法二28.327.630.122.229.031.037.633.832.120.028.830.236.031.737.226.538.532.034.431.228.033.430.026.5两种方法组装产品所需时间例.为估计两种方法组装产品方法53统计学第7讲参数估计课件54③两个总体的方差和未知且不相等时条件：两总体都是正态总体，而且两总体均值之差

在1-置信水平下的置信区间为③两个总体的方差和未知且不相等时55（4）两个总体的方差和未知且不相等时条件：两总体都是正态总体，而且两总体均值之差

在1-置信水平下的置信区间为统计学第7讲参数估计课件56两种方法组装产品所需时间例.为估计两种方法组装产品所需时间的差异，对方法一随机安排12个工人，对方法二随机安排8个工人，组装一件产品所需的时间（分）如下表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，方差不相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间。方法一方法二28.327.630.122.229.031.037.633.832.120.028.830.236.031.737.226.538.534.428.030.0两种方法组装产品所需时间例.为估计两种方法组装产品方法57统计学第7讲参数估计课件587.3.1两个总体均值之差的区间估计

2.匹配样本（1）大样本的估计方法7.3.1两个总体均值之差的区间估计

2.匹配样本597.3.1两个总体均值之差的区间估计

2.匹配样本（2）小样本的估计方法7.3.1两个总体均值之差的区间估计

2.匹配样本6010名学生两套试卷的得分例.由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套试卷进行测定，结果如表所示。试以95%的置信水平建立两种试卷平均分数差值的置信区间。试卷A试卷B差值d17871726344193726111489845591741764951-2768551687660169857781055391610名学生两套试卷的得分例.由10名学生组成一个随机样61统计学第7讲参数估计课件627.3两个总体参数的区间估计7.3.1两个总体均值之差的区间估计7.3.2两个总体比率之差的区间估计7.3.3两个总体方差比的区间估计7.3两个总体参数的区间估计7.3.1两个总体均值之637.3.2两个总体比率之差的区间估计独立样本：两总体比率之差

在1-置信水平下的置信区间为7.3.2两个总体比率之差的区间估计独立样本：64【例】在某个电视节目的收视率的调查中，在农村随机调查了400人，有32%的人收看了该节目；在城市随机调查了500人，有45%的人收看了该节目。试以95%的置信水平估计城市与农村收视率差别的置信区间。【例】在某个电视节目的收视率的调查中，在农村随机调查了4657.3两个总体参数的区间估计7.3.1两个总体均值之差的区间估计7.3.2两个总体比率之差的区间估计7.3.3两个总体方差比的区间估计7.3两个总体参数的区间估计7.3.1两个总体均值之667.3.3两个总体方差比的区间估计两个总体都为正态分布，由抽样分布知两总体方差之比

在1-置信水平下的置信区间为7.3.3两个总体方差比的区间估计两个总体都为正态分布，由67统计学第7讲参数估计课件68参数估计方法小结参数估计方法小结69第7章参数估计7.1参数估计的一般问题7.2一个总体参数的区间估计7.3两个总体参数的区间估计7.4样本容量的确定第7章参数估计7.1参数估计的一般问题707.4样本容量的确定7.4.1确定样本容量的意义7.4.2估计总体均值时样本容量的确定7.4.3估计总体比率时样本容量的确定7.4.4必要样本容量的影响因素7.4样本容量的确定7.4.1确定样本容量的意义71样本容量调查误差调查费用小样本容量节省费用但调查误差大大样本容量调查精度高但费用较大找出在规定误差范围内的最小样本容量7.4.1确定样本容量的意义找出在限定费用范围内的最大样本容量样本容量调查误差调查费用小样本容量节省费用但调查误差大大样本72确定方法7.4.2估计总体均值时样本容量的确定⑴重复抽样条件下：通常的做法是先确定置信度，然后限定抽样极限误差。或S通常未知。一般按以下方法确定其估计值：①过去的经验数据；②试验调查样本的S。计算结果通常向上进位确7.4.2估计总体均值时样本容量的确定⑴重复抽样条件73⑵不重复抽样条件下：确定方法7.4.2估计总体均值时样本容量的确定⑵不重复抽样条件下：确7.4.2估计总体均值时样本容量74【例A】某食品厂要检验本月生产的10000袋某产品的重量，根据上月资料，这种产品每袋重量的标准差为25克。要求在95.45﹪的概率保证程度下，平均每袋重量的误差范围不超过5克，应抽查多少袋产品？例题【例A】某食品厂要检验本月生产的10000袋某产品的重量，根75解：解：76

(例题分析)【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望抽样极限误差为400元，应抽取多大的样本容量？

(例题分析)【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标77

(例题分析)解:

已知=2000，

=400,1-=95%，z/2=1.96

即应抽取97人作为样本

(例题分析)解:已知=2000，=400,78确定方法⑴重复抽样条件下：通常的做法是先确定置信度，然后限定抽样极限误差。计算结果通常向上进位通常未知。一般按以下方法确定其估计值：①过去的经验数据；②试验调查样本的；③取方差的最大值0.25（此时p=0.5）。7.4.3估计总体比率时样本容量的确定确⑴重复抽样条件下：通常的做法是先确定置信度，然后限定抽样79⑵不重复抽样条件下：确定方法7.4.3估计总体比率时样本容量的确定⑵不重复抽样条件下：确7.4.3估计总体比率时样本容量80【例B】某企业对一批总数为5000件的产品进行质量检查，过去几次同类调查所得的产品合格率为93﹪、95﹪、96﹪，为了使合格率的允许误差不超过3﹪，在99.73﹪的概率保证程度下，应抽查多少件产品？【分析】因为共有三个过去的合格率的资料，为保证推断的把握程度，应选其中方差最大者，即P=93﹪。【例B】某企业对一批总数为5000件的产品进行质量检查，过去81解：解：82

(例题分析)【例】根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求抽样允许误差为5%，在求95%的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本？

解:已知P=90%，=0.05，z/2=1.96，=5%

应抽取的样本容量为

应抽取139个产品作为样本

(例题分析)【例】根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为837.4.4必要样本容量的影响因素总体方差的大小；允许误差范围的大小；置信水平；抽样方法；重复抽样条件下：不重复抽样条件下：7.4.4必要样本容量的影响因素总体方差的大小；重复抽样84本章小结第7章参数估计7.1参数估计的一般问题7.2一个总体参数的区间估计7.3两个总体参数的区间估计7.4样本容量的确定本章小结第7章参数估计85第7章参数估计

第7章参数估计

86补充：大数定律1.独立同分布大数定律2.贝努里大数定律

补充：大数定律1.独立同分布大数定87独立同分布大数定律大数定律是阐述大量同类随机现象的平均结果的稳定性的一系列定理的总称。——设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且存在有限的数学期望E(Xi)＝μ和方差D(Xi

)＝σ2（i=1,2,…），则对任意小的正数ε,有：

独立同分布大数定律大数定律是阐述大量同类随机现象的平均结果的88大数定律（续）该大数定律表明：当n充分大时，相互独立且服从同一分布的一系列随机变量取值的算术平均数，与其数学期望μ的偏差小于任意小的正数概率接近于1。该定理给出了平均值具有稳定性的科学描述，从而为使用样本均值去估计总体均值（数学期望）提供了理论依据。大数定律（续）该大数定律表明：当n充分大时，相互独立且服从同89贝努里大数定律设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是每次试验中事件A发生的概率，则对任意的ε>0，有：它表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率m/n依概率收敛于每次事件A发生的概率阐明了频率具有稳定性，提供了用频率估计概率的理论依据。贝努里大数定律设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是90案例一：

参数估计在企业市场规划中应用例张先生是台湾某集团的企划部经理，在今年的规划中，集团准备在某地新建一家新的零售商店。张先生目前正在做这方面的准备工作。其中有一项便是进行市场调查。在众多考虑因素中，经过该地行人数量是要考虑的一个很重要的方面。张先生委托他人进行了两个星期的观察，得到每天经过该地人数如下：1544，1468，1399，1759，1526，1212，1256，1456，1553，1259，1469，1366，1197，1178将此数据作为样本，商店开张后经过该地的人数作为总体。在95%的置信度下，能否知道每天经过此地的人数？案例一：

参数估计在企业市场规划中应用例张先生是台湾某集91

案例二：

参数估计在品牌认知度中应用例某食品厂准备上市一种新产品，并配合以相应的广告宣传，企业想通过调查孩子们对其品牌的认知情况来评估广告的效用，以制定下一步的市场推广计划。他们在该地区随机抽取350个小孩作访问对象，进行儿童消费者行为与消费习惯调查，其中有一个问句是“你听说过这个牌子吗？”，在350个孩子中，有112个小孩的回答是“听说过”。根据这个问句，可以分析这一消费群体对该品牌的认知情况。食品厂市场部经理要求，根据这些样本，给定95％的置信度，估计该地区孩子认知该品牌的比例。

案例二：

参数估计在品牌认知度中应用例某食品厂准备上92第7章参数估计7.1参数估计的一般问题7.2一个总体参数的区间估计7.3两个总体参数的区间估计7.4样本容量的确定第7章参数估计7.1参数估计的一般问题937.1参数估计的一般问题

7.1.1估计量和估计值7.1.2点估计和区间估计7.1.3

评价估计量的标准7.1参数估计的一般问题

7.1.1估计量和估计值947.1.1估计量和估计值估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比例、样本方差等例如:样本均值x

就是总体均值的一个估计量估计值：估计总体参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值x

=80，则80就是的估计值7.1.1估计量和估计值估计量：用于估计总体参数的随机957.1.2点估计和区间估计点估计用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用样本方差直接作为总体方差的估计例:某企业工人日产量进行抽样调查,样本人均日产量为35件,样本优质率为85%.按点估计,可推断该企业总体人均日产量为35件,总体优质品率为85%.优点：简单、具体明确缺点：没有给出估计值接近总体参数的程度，也无法说明估计结果有多大的把握程度。7.1.2点估计和区间估计点估计96(一)常用的点估计量1.总体均值点估计量（样本均值）2.总体方差与标准差点估计量（样本方差与标准差）3.总体比率（成数）点估计量（样本成数）(一)常用的点估计量1.总体均值点估计量（样本均值）2.总体97（二）点估计的方法（1）极大似然估计（最大似然法）（二）点估计的方法（1）极大似然估计（最大似然法）98统计学第7讲参数估计课件99(2)矩法矩就是随机变量的各阶数值特征。(2)矩法矩就是随机变量的各阶数值特征。100统计学第7讲参数估计课件101矩估计法的具体做法如下：矩估计法的具体做法如下：102统计学第7讲参数估计课件103区间估计区间估计：根据样本统计量的抽样分布对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量实质是在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，不仅可说明样本统计量与总体参数的接近程度，而且能说明估计结果的把握程度。包括置信区间和置信水平两个要素。例如：某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%

样本统计量

(点估计)置信区间置信下限置信上限区间估计区间估计：根据样本统计量的抽样分布对样本统计量与总体104置信区间和置信水平

由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。最小值称为置信下限，最大值称为置信上限。[Ｌ，Ｕ]称为总体参数的置信区间。(1-称为置信水平，表示如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总体参数的次数所占的比率。为显著性水平，是总体参数未在区间内的比例，也称风险值取值大小由实际问题确定。常用的为0.01，0.05，0.10，相应的置信水平值有99%,95%,90%置信区间和置信水平由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称105由于作为总体参数，是固定不变的常数，它或在给出的区间[Ｌ，Ｕ]内，或在该区间外，概率只能是0或1，不可能是1-，怎样解释这个概率的含义？用[Ｌ，Ｕ]去框，估计结论或者正确或者错误，但是如果多次重复估计的话，则平均100次估计中，只有100次估计错误，有100（1-）估计正确。1-表示将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例。如何理解1-？由于作为总体参数，是固定不变的常数，它或在给出的区间[1067.1.3

评价估计量的标准参数估计中，用来估计总体参数的统计量很多，到底选择哪个统计量作为总体参数的估计量呢？这涉及估计量的评价标准。评价标准：无偏性，有效性，一致性7.1.3评价估计量的标准参数估计中，用来估计总体参数的统107无偏性估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数，也就是样本统计量的分布以总体参数真值为中心。P(

)BA无偏有偏无偏性估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数108有效性对同一总体参数的两个无偏点估计量，更小标准差的估计量更有效，如样本平均数的方差比样本中位数的方差要小，所以作为估计量，样本平均数更有效BA

的抽样分布

的抽样分布P(

)有效性对同一总体参数的两个无偏点估计量，更小标准差的估计量更109一致性

随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数。一个大样本给出的估计量比一个小样本给出的估计量更接近总体参数。（大数定理）AB较小的样本容量较大的样本容量P(

)一致性随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估110第7章参数估计7.1参数估计的一般问题7.2一个总体参数的区间估计7.3两个总体参数的区间估计7.4样本容量的确定第7章参数估计7.1参数估计的一般问题111总体参数2已知2未知大样本小样本，正态总体正态分布正态分布t分布7.2一个总体参数的区间估计大样本小样本正态总体总体参数2已知2未知大样本小样本，正态总体正态分布正态分112总体均值的区间估计

(２已知：正态总体，或非正态总体、大样本)1. 假定条件方差(２)已知总体服从正态分布总体如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n

30)使用标准正态分布统计量总体均值在1-置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计

(２已知：正态总体，或非正态总体、大113公式推导公式推导114

(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产品质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%。25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3

(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，115例题分析解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：

总体均值在1-置信水平下的置信区间为在置信水平95%下，该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g例题分析解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=116总体均值的区间估计

（２未知、大样本）实际计算时，所研究总体的标准差通常未知，可以用以往调查的总体标准差来代替，大样本的时候也可以用样本标准差来代替。使用正态分布统计量z

总体均值在1-置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计

（２未知、大样本）实际计算时，所研究117(例题分析)【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532(例题分析)【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机118

(例题分析)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得：，

总体均值在1-置信水平下的置信区间为在置信水平90%下，投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁

(例题分析)解：已知n=36,1-=90%，z/119总体均值的区间估计

（２未知、正态总体、小样本）1. 假定条件若总体服从正态分布，但方差(２)

未知则，样本均值经过标准化以后的随机变量服从自由度为（n-1）的t分布。

t分布统计量，用样本标准差s代替总体标准差3.总体均值在1-置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计

（２未知、正态总体、小样本）1. 假120

(例题分析)【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470

(例题分析)【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批121(例题分析)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131根据样本数据计算得：，

总体均值在1-置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～1503.2小时(例题分析)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-122总体平均数的置信区间表达式总体平均数的置信区间表123总体比率（成数）的区间估计1. 假定条件总体服从二项分布样本n足够大，一般大于30可以由正态分布来近似使用正态分布统计量z3.总体比例P在1-置信水平下的置信区间为总体比率（成数）的区间估计1. 假定条件3.总体比例124

(例题分析)【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%~74.35%

(例题分析)【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，125总体方差的区间估计1. 假定条件总体服从正态分布使用分布统计量3.总体方差在1-置信水平下的置信区间为~总体方差的区间估计1. 假定条件3.总体方差在1-126

(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产品质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试以95%的置信水平建立该种食品重量方差的知心区间。25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3

(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，127解：解：128区间估计的总结

1.总体均值的区间估计

２已知：正态总体，或非正态总体、大样本

２未知：正态总体，或非正态总体、大样本总体比例的区间估计总体方差的区间估计区间估计的总结

1.总体均值的区间估计129第7章参数估计7.1参数估计的一般问题7.2一个总体参数的区间估计7.3两个总体参数的区间估计7.4样本容量的确定第7章参数估计7.1参数估计的一般问题1307.3两个总体参数的区间估计7.3.1两个总体均值之差的区间估计7.3.2两个总体比率之差的区间估计7.3.3两个总体方差比的区间估计7.3两个总体参数的区间估计7.3.1两个总体均值之1317.3.1两个总体均值之差的区间估计

1.独立样本（1）大样本的估计方法假定条件：两总体为正态分布或两个大样本7.3.1两个总体均值之差的区间估计

1.独立样本132①两个总体的方差和已知时两总体均值之差

在1-置信水平下的置信区间为②两个总体的方差和未知时两总体均值之差

在1-置信水平下的置信区间为①两个总体的方差和已知时133两个样本有关数据例：某地区教育委员会想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立地抽取两个随机样本，有关数据如表所示。建立两所中学高考英语平均分数之差在95%的置信区间。中学一中学二两个样本有关数据例：某地区教育委员会想估计两所中学的学生高考134统计学第7讲参数估计课件1357.3.1两个总体均值之差的区间估计

（2）小样本的估计方法假定条件：两总体均为正态分布两个随机样本独立的分别抽自两总体①两个总体的方差和已知时无论样本大小两总体均值之差

在1-置信水平下的置信区间为7.3.1两个总体均值之差的区间估计

（2）小样本的估计方136②两个总体的方差和未知但相等时两总体均值之差

在1-置信水平下的置信区间为②两个总体的方差和未知但相等时137两种方法组装产品所需时间例.为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12个工人，每个工人组装一件产品所需的时间（分）如下表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间。方法一方法二28.327.630.122.229.031.037.633.832.120.028.830.236.031.737.226.538.532.034.431.228.033.430.026.5两种方法组装产品所需时间例.为估计两种方法组装产品方法138统计学第7讲参数估计课件139③两个总体的方差和未知且不相等时条件：两总体都是正态总体，而且两总体均值之差

在1-置信水平下的置信区间为③两个总体的方差和未知且不相等时140（4）两个总体的方差和未知且不相等时条件：两总体都是正态总体，而且两总体均值之差

在1-置信水平下的置信区间为统计学第7讲参数估计课件141两种方法组装产品所需时间例.为估计两种方法组装产品所需时间的差异，对方法一随机安排12个工人，对方法二随机安排8个工人，组装一件产品所需的时间（分）如下表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，方差不相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间。方法一方法二28.327.630.122.229.031.037.633.832.120.028.830.236.031.737.226.538.534.428.030.0两种方法组装产品所需时间例.为估计两种方法组装产品方法142统计学第7讲参数估计课件1437.3.1两个总体均值之差的区间估计

2.匹配样本（1）大样本的估计方法7.3.1两个总体均值之差的区间估计

2.匹配样本1447.3.1两个总体均值之差的区间估计

2.匹配样本（2）小样本的估计方法7.3.1两个总体均值之差的区间估计

2.匹配样本14510名学生两套试卷的得分例.由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套试卷进行测定，结果如表所示。试以95%的置信水平建立两种试卷平均分数差值的置信区间。试卷A试卷B差值d17871726344193726111489845591741764951-2768551687660169857781055391610名学生两套试卷的得分例.由10名学生组成一个随机样146统计学第7讲参数估计课件1477.3两个总体参数的区间估计7.3.1两个总体均值之差的区间估计7.3.2两个总体比率之差的区间估计7.3.3两个总体方差比的区间估计7.3两个总体参数的区间估计7.3.1两个总体均值之1487.3.2两个总体比率之差的区间估计独立样本：两总体比率之差

在1-置信水平下的置信区间为7.3.2两个总体比率之差的区间估计独立样本：149【例】在某个电视节目的收视率的调查中，在农村随机调查了400人，有32%的人收