三角恒等变换专题复习(带答案)

三角恒等变换专题复习(带答案)三角恒等变换专题复习(带答案)三角恒等变换专题复习(带答案)三角恒等变换专题复习(带答案)编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:三角恒等变换专题复习教学目标：1、能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式；2、理解同角三角函数的基本关系式：；3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题。教学重难点：可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题【基础知识】一、同角的三大关系：=1\*GB3①倒数关系tan•cot=1=2\*GB3②商数关系=tan；=cot=3\*GB3③平方关系温馨提示：（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。[来源:学+科+网]（2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“”号。二、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限用诱导公式化简，一般先把角化成的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是“奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把看作是锐角，判断角在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是“+”还是“--”，就加在前面）。用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间的角，再变到区间的角，再变到区间的角计算。三、和角与差角公式：;;变用±=(±)(1)四、二倍角公式：=..五、注意这些公式的来弄去脉这些公式都可以由公式推导出来。六、注意公式的顺用、逆用、变用。如：逆用变用七、合一变形（辅助角公式）把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的形式。，其中．八、万能公式九、用，表示十、积化和差与和差化积积化和差；；；.和差化积十一、方法总结1、三角恒等变换方法观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）（1）“变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，如α=(α+β)－β=(α－β)+β,2α=(α+β)+(α－β),2α=(β+α)－(β－α),α+β=2·eq\f(α+β,2),eq\f(α+β,2)=(α－eq\f(β,2))－(eq\f(α,2)－β)等.（2）“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦），（3）“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等。2、恒等式的证明方法灵活多样①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子.③比较法,即设法证明:"左边－右边=0"或"eq\f(左,右)=1";④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.【例题精讲】例1已知为第四象限角，化简：解：（1）因为为第四象限角所以原式=例2已知，化简解：，所以原式=例3tan20°+4sin20°解：tan20°+4sin20°==例4（05天津）已知，求及．解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得，即 ①由题设条件，应用二倍角余弦公式得故 ②由①和②式得，因此，，由两角和的正切公式解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得，解得，即由可得由于，且，故在第二象限于是，从而以下同解法一小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含）进行转换得到．2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．例5已知为锐角的三个内角，两向量，，若与是共线向量.（1）求的大小；（2）求函数取最大值时，的大小.解：（1），（2），．小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意例6设关于x的方程sinx＋cosx＋a＝0在(0,2π)内有相异二解α、β.(1)求α的取值范围;(2)求tan(α＋β)的值.解:(1)∵sinx＋cosx＝2(sinx＋cosx)＝2sin(x＋),∴方程化为sin(x＋)＝－.∵方程sinx＋cosx＋a＝0在(0,2π)内有相异二解,∴sin(x＋)≠sin＝.又sin(x＋)≠±1(∵当等于和±1时仅有一解),∴|－|<1.且－≠.即|a|<2且a≠－.∴a的取值范围是(－2,－)∪(－,2).(2)∵α、β是方程的相异解,∴sinα＋cosα＋a＝0①.sinβ＋cosβ＋a＝0②.①－②得(sinα－sinβ)＋(cosα－cosβ)＝0.∴2sincos－2sinsin＝0,又sin≠0,∴tan＝.∴tan(α＋β)＝＝.小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0,2π)这一条件.例7已知函数在区间上单调递减，试求实数的取值范围．解：已知条件实际上给出了一个在区间上恒成立的不等式．任取，且，则不等式恒成立，即恒成立．化简得由可知：，所以上式恒成立的条件为：.由于且当时，，所以,从而,有,故的取值范围为.【基础精练】1．已知α是锐角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(3,4)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋π))的值等于()\f(\r(2),4)B．－eq\f(\r(2),4)\f(\r(14),4) D．－eq\f(\r(14),4)2．若－2π＜α＜－eq\f(3π,2)，则eq\r(\f(1－cos(α－π),2))的值是()A．sineq\f(α,2)B．coseq\f(α,2)C．－sineq\f(α,2) D．－coseq\f(α,2)\f(sin(180°＋2α),1＋cos2α)·eq\f(cos2α,cos(90°＋α))等于()A.－sinαB.－cosααα4.已知角α在第一象限且cosα＝eq\f(3,5)，则eq\f(1＋\r(2)cos(2α－\f(π,4)),sin(α＋\f(π,2)))等于()\f(2,5)\f(7,5)\f(14,5)D.－eq\f(2,5)5.定义运算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(ab),\s\do5(cd))))＝ad－bc.若cosα＝eq\f(1,7)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(sinαsinβ),\s\do5(cosαcosβ))))＝eq\f(3\r(3),14)，0<β<α<eq\f(π,2)，则β等于()\f(π,12)\f(π,6)\f(π,4)\f(π,3)6.已知tanα和tan(eq\f(π,4)－α)是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则a、b、c的关系是()＝a＋c＝a＋c＝b＋a＝ab7.设a＝eq\f(\r(2),2)(sin56°－cos56°)，b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，c＝eq\f(1－tan240°30′,1＋tan240°30′)，d＝eq\f(1,2)(cos80°－2cos250°＋1)，则a，b，c，d的大小关系为()＞b＞d＞c＞a＞d＞c＞a＞b＞c＞a＞d＞b8．函数y＝eq\f(1,2)sin2x＋sin2x，x∈R的值域是()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)＋\f(1,2)，\f(\r(2),2)＋\f(1,2))) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)－\f(1,2)，\f(\r(2),2)－\f(1,2)))9.若锐角α、β满足(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4，则α＋β＝.10.设α是第二象限的角，tanα＝－eq\f(4,3)，且sineq\f(α,2)<coseq\f(α,2)，则coseq\f(α,2)＝.11.已知sin(x)=，0<x<，求的值。12.若，，求α+2β。【拓展提高】1、设函数f(x)＝sin(eq\f(πx,4)－eq\f(π,6))－2cos2eq\f(πx,8)＋1(1)求f(x)的最小正周期.(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，求当x∈[0，eq\f(4,3)]时y＝g(x)的最大值2.已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝eq\f(2\r(5),5)(1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<0，且sinβ＝－eq\f(5,13)，求sinα.3、求证：－2cos（α+β）=.【基础精练参考答案】4．C【解析】原式＝eq\f(1＋\r(2)(cos2αcos\f(π,4)＋sin2αsin\f(π,4)),cosα)＝eq\f(1＋cos2α＋sin2α,cosα)＝eq\f(2cos2α＋2sinαcosα,cosα)＝2×(cosα＋sinα)＝2×(eq\f(3,5)＋eq\f(4,5))＝eq\f(14,5).【解析】依题设得：sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin(α－β)＝eq\f(3\r(3),14).∵0<β<α<eq\f(π,2)，∴cos(α－β)＝eq\f(13,14).又∵cosα＝eq\f(1,7)，∴sinα＝eq\f(4\r(3),7).sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinα·cos(α－β)－cosα·sin(α－β)＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(13,14)－eq\f(1,7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(\r(3),2)，∴β＝eq\f(π,3).【解析】∴taneq\f(π,4)＝tan[(eq\f(π,4)－α)＋α]＝eq\f(－\f(b,a),1－\f(c,a))＝1，∴－eq\f(b,a)＝1－eq\f(c,a)，∴－b＝a－c，∴c＝a＋b.【解析】a＝sin(56°－45°)＝sin11°，b＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin(52°－40°)＝sin12°，c＝eq\f(1－tan240°30′,1＋tan240°30′)＝cos81°＝sin9°，d＝eq\f(1,2)(2cos240°－2sin240°)＝cos80°＝sin10°∴b＞a＞d＞c.【解析】y＝eq\f(1,2)sin2x＋sin2x＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋eq\f(1,2)，故选择C.9.eq\f(π,3)【解析】由(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4，可得eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3)，即tan(α＋β)＝eq\r(3).又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝eq\f(π,3).10.－eq\f(\r(5),5)解析：∵α是第二象限的角，∴eq\f(α,2)可能在第一或第三象限，又sineq\f(α,2)<coseq\f(α,2)，∴eq\f(α,2)为第三象限的角，∴coseq\f(α,2)<0.∵tanα＝－eq\f(4,3)，∴cosα＝－eq\f(3,5)，∴coseq\f(α,2)＝－eq\r(\f(1＋cosα,2))＝－eq\f(\r(5),5).12.【解析】∵，∴∴，α+2β,又tan2β=,,[来源:]∴α+2β=【拓展提高参考答案】1、【解析】(1)f(x)＝sineq\f(πx,4)coseq\f(π,6)－coseq\f(πx,4)sineq\f(π,6)－coseq\f(π,4)x＝eq\f(\r(3),2)sineq\f(π,4)x－eq\f(3,2)coseq\f(π,4)x＝eq\r(3)sin(eq\f(π,4)x－eq\f(π,3))，故f(x)的最小正周期为T＝eq\f(\f(2π,π),4)＝8(2)法一：在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点(2－x，g(x)).由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝eq\r(3)sin[eq\f(π,4)(2－x)－eq\f(π,3)]＝eq\r(3)sin[eq\f(π,2)－eq\f(π,4)x－eq\f(π,3)]＝eq\r(3)cos(eq\f(π,4)x＋eq\f(π,3))，当0≤x≤eq\f(4,3)时，eq\f(π,3)≤eq\f(π,4)x＋eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3)，因此y＝g(x)在区间[0，eq\f(4,3)]上的最大值为g(x)max＝eq\r(3)coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).法二：因区间[0，eq\f(4