数列简易放缩与数学归纳法-高三数学一轮专题复习

数列简易放缩与数学归纳法放缩基本知识与形态分析数列简易放缩的本质是将不规则、不能求和（常见的求和方法（等差等比求和，倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组与并项求和）（约分求积）的数列通过放缩，变为可以求和（约分求积）的数列。其中等差等比求和以及裂项求和是放缩求和中常见的方向；求积放缩主要是变形为能够相互约分的形式。简易放缩的基本分类形如形如对放缩进行形态分析对于形如与的处理方法一：拆和法与拆积法拆和法：一般左边数列通项是不规则的，无法求和的形式，可以对右边的代数式进行和式分解。即将看作另一个数列的前n项和，，当时，=；时，。拆和法放缩基本流程：①令②当时，=；时，③证明：④利用累加法：例1.设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记证明：拆积法：一般左边数列通项是不规则的，无法约分求积的形式，可以对右边的代数式进行积式分解，即将看作另一个数列的前n项积，，当时，；时，。拆积法放缩基本流程：①令=②当时，；时，。③证明：④利用累乘法：注意：步骤三证明不等式，不一定需要从开始就满足，如，2不满足不等式，但从开始满足不等式，则只需步骤四利用累加（乘）法时注意保留前两项不变，从第三项开始放缩：或例2：等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上．（1）求r的值；（2）当b=2时，记，证明：对任意的，不等式成立．方法二、数学归纳法①证明当时命题成立②假设当时命题成立，证明当时也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。例2：等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上．（2）当b=2时，记，证明：对任意的，不等式成立．对于形如与，或者（1）类型证明不了的部分题目，则一般直接正面放缩法证明。（（1）类型能证明的题型也可直接正面放缩）。当然这类也可以加强命题，及将命题加强为，然后再用（1）类型证明，但是这个一般比较难找，故而显得麻烦，此时建议直接使用正面放缩法。（一）类等比放缩对于通项里含有指数的代数式，可以优先考虑放缩为等比数列求和。方向一；通项放缩：将放缩到，其中是一个等比数列，则，通常，当然有些题目精度较高，需要从第二项乃至第三项等开始放缩，此时或，可以用待定系数法去解得放缩成的通项。通项放缩常用不等式：①糖水不等式：；；②常用不等式链（单调性放缩）：例3：设，证明方向二：公比放缩：有时我们放缩时不容易找到等比数列的通项，或者说放缩时容易找到的等比数列的通项精度不符合我们的要求，此时可以对数列本身进行放缩。研究（这个q经常为n趋向于正无穷大时，的极限值，得到，则有，即，当然有些题精度较高，需要从第二乃至第三项等开始放缩，此时对应地，或者，可用待定系数法去解得要放缩地公比q。例4：（1）已知，证明（2）已知，证明（二）类等差放缩：主要适用于通项或者前n项和中为一次和二次函数地形式）类等差型数列是指数列，从第二项起满足（或），显然对应得到（或（或）例5：已知正项数列满足：，为数列的前n项和，求证：对于任意正整数n，有。裂项放缩（主要适用于通项为复杂的分式形式）裂项放缩的本质在于将不能求和的，放缩为能裂项求和的