专题39 导数与三角函数结合必刷100题(解析版)

专题39导数与三角函数结合必刷100题一、单选题1-25题1．以下使得函数单调递增的区间是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求导，再对分三种情况分析导数得解.【详解】解：由题意得，，当或时，，函数在区间，上都有极值点，故不单调；当时，，不合题意；当时，，函数单调递增，符合题意.故选：D.2．设函数，若对于任意的都成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别证明，，对于，先证明，变形为，利用导数求得新函数的最小值，从而求得参数取值范围.再证明，由函数及的图像易知，若使对于恒成立，只需处在图像上方，的最小值在处，两个图像相切处取得，求得参数取值范围.【详解】对于，先证明，，即，令，则，易知单增，且，则时，，函数单减；时，，函数单增；函数在处取最小值，此时；再证明，即，由函数及的图像易知，若使对于恒成立，只需处在图像上方，的最小值在处，两个图像相切处取得，函数的导数为，时，，即，综上，，故选：A3．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先构造函数，进而根据题意判断出函数的奇偶性和单调性，进而解出不等式.【详解】因为偶函数的定义域为，设，则，即也是偶函数.当时，根据题意，则在上是减函数，而函数为偶函数，则在上是增函数.于是，，所以.故选：A.4．已知函数，则不等式的解集为A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导数，求出单调增区间，再判断函数的奇偶性，则不等式，转化为即为，则，运用对数函数的单调性，即可得到解集．【详解】解：函数的导数为：，则时，，在上单调递增，且，则为偶函数，即有，则不等式，即为，即为，则，即，解得，，即原不等式的解集．故选：D．5．若函数（其中a为参数）在R上单调递增，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求解函数的导数，再根据函数的单调性建立不等式，将问题转化为不等式恒成立问题，进而求解参数的值.【详解】根据题意，

在R上单调递增在R上恒成立

令，，则可写为根据题意在上的最小值非负解得，所以选项B正确故选：B.6．关于函数，，下列说法错误的是（）A．当时，函数在上单调递减B．当时，函数在上恰有两个零点C．若函数在上恰有一个极值，则D．对任意，恒成立【答案】D【分析】分别在和得到，由此可知A正确；在平面直角坐标系中作出与图象，由图象可确定B正确；将问题转化为在上恰有一个解，令，利用导数可确定单调性并得到其图象，数形结合可确定，C正确；令，由B中结论可确定D错误.【详解】对于A，，则，当时，，，，单调递减；当时，，，，单调递减；综上所述：在上单调递减，A正确；对于B，，令，得：；在平面直角坐标系中，作出与的图象如下图所示，由图象可知：当时，与有且仅有两个不同交点，函数在上恰有两个零点，B正确；对于C，由得：，若在上恰有一个极值，则在上恰有一个变号零点，即在上恰有一个解，令，则；当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，又，，，可得大致图象如下，若在上恰有一个解，则，此时函数在上恰有一个极值，C正确；对于D，当时，由B选项可知，，使得，当时，，即，D错误.故选：D.7．已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】可构造函数，由已知可证在单增，再分别代值检验选项合理性即可【详解】设，则，则在单增，对A，，化简得，故A错；对B，，化简得，故B错；对C，，化简得，故C正确；对D，，化简得，故D错，故选：C8．已知函数对任意的满足（其中为函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】令，求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可．【详解】解：令，故，故在递增，所以，可得，即，所以D正确；故选：D．9．已知函数在上恰有两个极值点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出导函数，根据题意得在有2个变号零点，讨论或，将问题转化为两个根，令，利用导数判断函数的单调性，再求出端点值，进而可得即可求解.【详解】，根据题意得在有2个变号零点，当时，显然不合题意，当时，方程等价于，令，，令，因为，解得，可得在单调递减，在单调递增，又因为，，，要使与的图像有2个不同的交点，需要满足，解得，故选：D．10．若函数在上恰有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求导，由题意可知在上有两个不同的解，令，即二次函数在上有两个不同的解，数形结合列出式子即可求解【详解】由于，所以，要使在上恰有两个不同的极值点，则在上有两个不同的解，令，即二次函数在上有两个不同的解，所以，解得.故选：B11．已知定义在上的函数，则函数与的图象的交点（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】令，求导函数，分析单调性结合即可得到函数零点个数从而得出结果．【详解】令，则当，有；当，有所以函数在上单调递减，在上单调递增，又因为故函数在上有一个零点，故函数与的图象的交点有一个．故选：B12．已知，函数，则下列选项正确的是（）A．存在使 B．存在使C．对任意，都有 D．对任意，都有【答案】B【分析】对于A、C记，，则，利用导数分别判断出的单调性，证明出，即可判断；对于B：取特殊值，代入验证；对于D：取特殊值，代入验证；【详解】对于A、C：记，，则，，所以在上单增，当时，，即，即，同理可证：在上单减，所以当时，都有，即.又，所以.故A、C错误.对于B：取，所以，，则有，，.故B正确；对于D：取，则有.故D错误.故选：B13．函数在区间上单调递增，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得在上恒成立，进行参变分离得在上恒成立，令，将问题转化为在上恒成立，由的单调性，求得其最大值，由此可得答案.【详解】解：因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，所以问题转化为在上恒成立，而在上单调递增，所以当时，有最大值，所以有最大值，所以，故选：A.14．已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得导函数，问题化为只有一个解，分离参数，转化为研究函数的单调性、极值，函数的变化趋势，结合函数图象从而得参数范围，注意检验函数极值．【详解】易知函数的导数，令，得，即．设，则，当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示．由图得或．当时，恒成立，所以无极值，所以．故选：A15．已知函数，，关于函数的性质的以下结论中错误的是（）A．函数的值域是B．是函数的一条对称轴C．函数在内有唯一极小值D．函数向左平移个单位后所得函数的一个对称中心为【答案】D【分析】逆用两角和的余弦公式和正弦的二倍角公式化简，求出的值域可判断A；将代入的对称轴方程可判断B；利用导数求得单调性即可得极小值可判断C；利用图象的平移变换得解析式，再检验对称中心可判断D，进而可得答案.【详解】，对于A：因为，所以，即函数的值域是，故选项A正确；对于B：令，可得，所以是函数的一条对称轴，故选项B正确；对于C：，，当时；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时取得极小值为，故选项C正确；对于D：向左平移个单位后所得函数，令，可得，所以不是的一个对称中心，故选项D不正确；所以结论中错误的是选项D，故选：D.16．已知函数为上的偶函数，且对于任意的满足，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，依题意知为偶函数，且在区间上是减函数，再由，结合条件分别判断四个选项即可．【详解】解：偶函数对于任意的满足，令，则，即为偶函数．又，故在区间上是减函数，所以，即，故B正确；，故A错误；，故C错误；，故D错误；故选：B．17．已知函数，下列结论正确的个数是（）①曲线上存在垂直于轴的切线；②函数有四个零点；③函数有三个极值点；④方程有四个根．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用导数判断函数的单调性，结合函数的图像进而可判断函数的零点、极值.【详解】由，得，由，得，或，或，当或时，，当或时，，所以在上递增，在上递减，而，所以由零点存在性定理可知，只有两个零点，分别为和0，函数图像如图所示所以①③正确，②错误，方程可转化为或，，由图像可知有两个根，也有两个根，所以方程有四个根，所以④正确，正确结论的个数是3，故选：C.18．关于函数，，下列四个结论中正确的个数为（）个①在上单调递减，在上单调递增；②有两个零点；③存在唯一极小值点，且；④有两个极值点.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】①反证，求导并发现相同区间的单调性不一致②转化并数形结合发现零点③用零点存在定理和函数的单调性可求证④转化成用导数证明恒成立问题，结合零点存在定理和函数的单调性求解.【详解】因为时，，，所以所以在上单调递增，故①错误.有两个零点等价于有两个根，即函数与有两个交点，根据与的图象，可知在上有两个交点，故②正确.，∵，∴，，∴∴存在，使得且∴在上，，在上，，在上，单调递减，在上，单调递增，∴在上存在唯一极小值点.∵，则∴，故③正确.令则，当时，，，，当时，，.∴在恒成立，∴单调递增且，，∴存在唯一零点，使得∴，，即，，，即，∴在处取得极小值故有唯一极小值点，故④错误.故选：C.19．已知在定义在上的函数满足，且时，恒成立，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合已知不等式，构造新函数，结合单调性及奇偶性，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，当时，恒成立，即恒成立，又由，可得，令，可得，则函数为偶函数，且当时，单调递增，结合偶函数的对称性可得在上单调递减，由，化简得到，即，所以，解得，即不等式的解集为.故选：B.20．已知当时，恒成立，则正实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先讨论不等式在上恒成立，在时，变形不等式并构造函数，利用导数探求的正数b即可.【详解】当时，而，，原不等式恒成立，当时，，不等式等价变形为：，令，，而，求导得，令，则，则在上单调递增，，若，则，记，，则，则存在，使得，当时，，单调递减，即当时，，不符合题意，若，，即当时，单调递增，则有，符合题意，综上得，，所以正实数的取值范围是.故选：D21．已知函数，，当，且时，方程根的个数一定不少于（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【分析】先证明函数，都为偶函数，再利用导数讨论在上的单调性，然后作出两函数的部分图象，根据图象可得两函数在上的交点个数，再利用偶函数的对称性可得结果.【详解】因为定义域为，又，所以为偶函数.同理可证函数为偶函数，当时，单调递减，又，所以时，；时，；时，；时，；时，；时，；所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．又，，，，，则与的图象在上有1个交点；作出图象后可以发现与的图象在上至少有6个交点，根据对称性可知，二者图象在上至少6个交点，故当，且时，方程根的个数不小于12．故选：D．22．已知函数，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由导数确定的单调性，把含绝对值的方程去掉绝对值符号，然后引入新函数设，问题转化为存在，，使得，只要在上不单调即可得．【详解】，时，，所以是增函数，不妨设，则，又，所以化为，即，设，则，时，，是增函数，不存在，，使得，时，要满足题意，则在上应有解，使得在上不单调．，，设，，，所以，在上单调递减，，，所以．故选：C．23．设函数，下列命题中真命题的个数为（）①是奇函数；②当时，；③是周期函数；④存在无数个零点；⑤，，使得且A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】直接利用三角函数的性质，周期性单调性的应用，函数的导数和函数的单调性的关系，函数的零点和方程的根的关系判断①②③④⑤的结论.【详解】函数，对于①：函数故函数f(x)是奇函数,故①正确；对于②：令，所以由于函数在上单调递增，当x→0时,→0,当x→时,即→+故当时,使得即时,时,故g(x)在上单调递增,g(x)在上单调递减,而x→0和时,→0,所以g(x)>0,由于中，x取时，，故，，所以，所以，故②正确；对于③,假设函数的周期为T，则对一切x都成立，取x=0时,则得到，再取时,则故，所以明显T无解，故假设错误，故不是周期函数.故③错误；对于④,令解得，取时，，整理得，故存在无数个零点.故④正确；对于⑤,令，则所以,所以，由于k和x1和x2相对应,故x1-x2不能取任意值,故并不总成立,故⑤错误.故选:C.24．已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造新函数，由导数确定其单调性，从而得出相应的不等式，判断各选项即可．【详解】因为，设，，则，所以在上是增函数，，，即，，，即，，，即，故选：C．25．已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】由题意，函数满足，令，则函数是定义域内的单调递减函数，由于，关于的不等式可化为，即，所以且，解得，不等式的解集为.故选：B二、填空题26-50题26．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．【答案】.【分析】利用函数奇偶性的定义可判断为奇函数，由导数判断为上的增函数，则所求不等式等价于，分离参数可得，构造函数，利用导数求的最大值即可求解.【详解】因为，所以为奇函数，因为，所以为上的增函数，由得，则，因为，所以．令，则，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，所以，即，所以实数的取值范围为.故答案为：.27．已知函数，则的最小值是______．【答案】【分析】利用导数判断函数的单调性，从而求函数的最小值.【详解】由题意，得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以时取得最小值，此时．当时，，当时，，所以的最小值是．28．已知定义在R上的奇函数的导为数为，若，则实数t的取值范围为_________．【答案】【分析】由导函数可得在R上单调递增，结合是奇函数，可转化为，借助单调性和定义域，列出不等式组，即得解.【详解】解：因为，所以在R上单调递增.又是奇函数，由，得，所以，解得或，所以实数的取值范围为.故答案为：.29．若函数在区间内不存在极值点，则实数的取值范围是__________.【答案】或.【分析】求出导函数，由在内无变号零点求解，引入新函数，结合两角差的正弦公式、正弦函数的性质可得结论．【详解】因为在区间内不存在极值点，所以在区间内无变号零点，令，当时，，，，故只需满足或即可，解得或.故答案为：或.30．已知函数.若是的极大值点，则正实数a的取值范围为_________________.【答案】【分析】求导可得解析式，令，利用导数，分别讨论和时，的正负，可得的单调性，综合分析，即可得答案.【详解】由题知，且，令，则，①若，当时，，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增；所以.因此不可能是的极大值点.②若，令，当时，，所以即在上单调递增.又因为，，因此存在满足：，所以当时，，所以在上单调递减，，所以当时，；当时，；所以在上单调递增；在上单调递减；综上，当是的极大值点时，.故答案为：31．已知函数，若恒成立，则的取值范围____________________．【答案】【分析】若要恒成立，只要即可，首先利用辅助角公式进行化简可得，进行换元可得，再利用导数即可得解.【详解】，设，可得，当且仅当时取等号，，，设，，由，可得，所以，即在递增，可得，由恒成立，可得，所以的取值范围为.故答案为：32．若命题，为真命题，则实数a的取值范围是_________.【答案】【分析】分别画出函数和在区间的图象，根据不等式恒成立求实数a的取值范围.【详解】不等式等价于画出两个函数和在区间的图象，如图设，，，所以函数在原点处的切线方程是，由图可知，当斜率大于切线斜率时，即时，恒成立.故答案为：33．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】由，用分离参数变形，利用三角函数恒等变换化为的式子，然后换元，引入新函数，利用导数求得最小值得参数范围．【详解】因为，所以原不等式可变形为令，则，.当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以.又，所以.故答案为：．34．设函数，，若方程有解，则实数的最大值是________．【答案】【分析】由题意得：，设，，用导数法求出的最值即可求解【详解】令，，则，．设，，则．当时，，当时，，即在为增函数，在为减函数，又，，，的值域为．故实数的最大值为．故答案为：35．设是函数的一个极值点，则______.【答案】【分析】求出导函数，根据是函数的一个极值点得出，将化简为即可得出结果.【详解】因为函数，所以，因为是函数的一个极值点，所以，，所以.故答案为：.36．已知函数，则的最大值为________.【答案】【分析】根据题意可得函数的周期为，因此只要求出函数在上的最大值即可，当时，，求导，利用导数求出函数的单调区间，从而得出函数的最大值.【详解】由，则，所以是函数的一个周期，当时，，，设，且，，则当时，；当时，；当时，；所以在，上递增，在上递减，，，因为，且，所以，所以，所以的最大值为.故答案为：.37．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是____________________【答案】【分析】先对函数进行求导，由导数在上恒成立即可求出实数的取值范围.【详解】，由题意知在上恒成立且不恒为0，显然时，恒成立，所以只需在上恒成立且不恒为0，即在上恒成立且不恒为0，所以只需当时，又当时，有，所以，即有最大值，所以，即.故答案为：.38．已知函数，当时，函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是______________．【答案】【分析】求出的导数，设，利用导数可得在区间上单调递减，从而可判断出的单调性，根据的变化情况和取值可求出.【详解】由得，等价于函数的图象与函数的图象有唯一的公共点，当时，，设，，则，因为，，所以，所以在区间上单调递减，因为，，所以存在唯一的，使得，且当时，，单调递增；当时，，单调递减，又，，函数的图象与函数的图象有唯一的公共点，所以，所以的取值范围是．故答案为：.39．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．【答案】【分析】先求导，根据题意在上恒成立，整理即得在上恒成立，再求的值域即得结果.【详解】由知，,时，是增函数，，又，∴在上恒成立，而，．故答案为：．40．已知函数，对于任意都有恒成立，则实数的取值范围为__________．【答案】【分析】令，将已知不等式转化为，则只需在上单调递增，即恒成立即可；令，分别在、和三种情况下，根据一次函数单调性得到最小值，由此可求得的范围.【详解】由得：，令，则恒成立，在上单调递增，在上恒成立，令，在上恒成立，当时，恒成立，满足题意；当时，，解得：，；当时，，解得：，；综上所述：.故答案为：.41．函数在R上单调增，则a的取值范围为____________．【答案】【分析】由题意可得对于恒成立，令，转化为对于恒成立，讨论二次函数的对称轴和区间的关系由即可求解.【详解】因为，所以由题意可得对于恒成立，令，即对于恒成立，的对称轴为，只需要当即时在单调递减，此时可得，此时不成立，当即时在单调递增，此时可得，此时不成立，当即时，解得：此时符合题意，所以a的取值范围为.故答案为：.42．已知函数的定义域为R，导函数为，若，且，则满足的x的取值范围为__________．【答案】【分析】令，结合，得到函数为奇函数，再根据，得到函数在R上单调递减，然后结合奇偶性，将不等式转化为，利用单调性求解.【详解】令，又，所以，即，所以函数为奇函数．因为，所以函数在R上单调递减，则，即，即，所以，解得，所以x的取值范围为．故答案为：43．若函数在R上是增函数.则实数a的最小值是__________.【答案】【分析】先对函数求导，根据函数单调性，得到恒成立，利用分离参数的方法，得到，利用导数的方法求出的最大值，即可得出结果.【详解】因为，所以，又函数在上是增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；又为使取得最大值，必有；所以当，即时，取得最大值.故答案为：.44．函数定义在上，，其导函数是，且恒成立，则不等式的解集为_____________.【答案】【分析】构造函数，再利用函数的单调性解不等式即可.【详解】解：，构造函数，则，当时，，在单调递增，不等式，即即，故不等式的解集为.故答案为：.45．已知函数，若、，使得，则实数的取值范围为________.【答案】【分析】根据余弦型函数的性质求出当时，函数的值域，分类讨论利用指数型函数的性质，求出函数在时的值域，然后根据存在的定义进行求解即可.【详解】因为，所以，因此在时，单调递减，所以有.当时，函数是单调递增函数，当时，，即，因为、，使得，所以有：，令，因为，所以，因此函数单调递增，所以有，因此不等式组的解集为：，而，所以；当时，函数是单调递减函数，当时，，即，因为、，使得，所以有：，令，因为，所以，因此函数单调递减，所以有，因此不等式组的解集为空集，综上所述：.故答案为：46．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为________．【答案】【分析】由题意得，在上恒成立，设，，，则在恒成立，得到然后利用最值分析法求解即可.【详解】将函数在上单调递减，转化在上恒成立，即在上恒成立，设，，，则在恒成立，由二次函数的性质得，解得故答案为：47．在处取得极值，则______.【答案】【分析】对求导，代入，使得，变形整理得到，利用三角函数的有界性，可得，再利用倍角公式可求．【详解】解：由已知，因为在处取得极值，，即，因为，，，即，．故答案为：．48．若函数在上递增，则的取值范围___________.【答案】.【分析】根据函数，求导，由函数在上递增，则在上恒成立，令，转化为在恒成立求解.【详解】由函数，所以，因为函数在上递增，所以在上恒成立，令，所以在恒成立，令，所以，解得，故答案为：49．已知函数存在唯一零点，则实数a的取值范围是____________.【答案】【分析】计算，可知唯一零点，同时可知该函数为奇函数，转化为当时，函数无零点，利用不等式，以及构造函数，最后有导数进行判读即可.【详解】由题可知：函数定义域为且因为函数存在唯一零点所以只有一个零点0因为所以函数为奇函数，故只考虑当时，函数无零点当时，有，所以令，则因为所以函数在上单调递增，又所以故答案为：50．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为__________.【答案】【分析】由题意转化条件得对任意恒成立，令，，求导后，求得的最小值即可得解.【详解】由题意，不等式对任意恒成立，对任意恒成立，对任意恒成立，令，，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；，，即实数a的取值范围为.故答案为：.三、解答题50-100题51．已知函数.（1）设且，求函数的最小值；（2）当，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）通过求导来判断函数的单调性进而求出最值；（2）构造新函数，转化为证明新函数的最小值大于等于0即可.（1），又，又，，当时，，，当时，，，所以函数在上单调递增，在上单调递减的最小值为；（2）不等式等价于，令，令，，又，，，所以函数在上单调递增，又，，，所以函数在区间上单调递增，又，，所以原不等式成立.52．已知函数．（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）求函数的最值．【答案】（1）在区间和上单调递增，在和上单调递减（2）的最大值为1，最小值为【分析】(1)结合已知条件求出，然后求出，进而即可求解；(2)首先求出的周期，然后结合(1)中条件即可求解.（1）由题意，，令，，解得或或，当时，；当时，，∴在区间和上单调递增，在和上单调递减；（2）由，易知是以为周期的周期函数，故可取这一周期讨论最值，因为在区间和上单调递增，在和上单调递减，故在和取得极小值，在取得极大值，因为，，，所以的最大值为1，最小值为．53．已知函数．（1）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；（2）当时，试判断函数的零点个数，并说明理由．【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；理由见解析（2）2个，理由见解析【分析】（1）先判断函数的奇偶性，再利用导数可知f(x)在上的单调递增，进而可得在上的单调性；（2）由（1）在内有且只有一个零点，再利用导数研究f(x)在上的零点即可.（1）解：因为函数的定义域为R，，所以函数为偶函数，又且当时，，所以函数在上单调递增，又函数为偶函数，所以在上单调递减，综上，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）解：由（1）得在上单调递增，又，所以在内有且只有一个零点，当时，令，又，且在上连续，则存在，使得，由得，当时，恒成立，即在上单调递减，且当时，，即，则在上单调递增，所以当时，，所以在上无零点；当时，有，即，则在上单调递减，又，，所以在有且只有一个零点，综上，函数在上有2个零点.54．已知函数，，.（1）求函数的极值；（2）当时，证明：在上恒成立.【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）证明见解析.【分析】（1）根据导函数的正负可确定的单调性，由极值点的定义可求得结果；（2）由可将问题转化为证明，利用导数可求得单调性，进而确定，由此可得结论.（1），令，即，又，，则，，变化情况如下表，极小值极小值为，无极大值.（2）证明：，，，令，则，令，，在上单调递增，，即，，则在单调递增，，，即在上恒成立.55．已知函数.（1）若在上有零点，求实数的取值范围；（2）若，记在上的最小值为，求的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）令，求出其导数后可判断函数的单调性，从而可求其值域，故可求实数的取值范围；（2）求出，令，求出，利用题设条件可得，从而可得在存在唯一的零点且可得的符号情况，从而可得的单调性，故可得其最小值，再利用导数可求其取值范围.（1）由得，令，则，所以在上单调递减，，从而.（2）令，因为，故，所以在上单调递增，又，，所以存在唯一实数，使得，且当时，，当时，，故在上单减，在上单增，从而的最小值，∵，∴，故.令，则，所以在上单减，由题意可得，所以，令，则，所以在上单减，故的取值范围为.56．已知函数.（1）当时，求的单调性及零点的个数；（2）当时，求的零点的个数.【答案】（1）单调递减；一个零点；（2）有且仅有一个零点.【分析】(1)利用二次求导讨论函数的单调性，进而得出零点的个数；(2)利用三次求导讨论函数的单调性，进而得出函数零点的个数.【详解】解：（1），，当时，，所以单调递减.又因为，，所以，有，所以存在一个零点（2）当时，，，所以单调递增，又，，所以，有，且有时，，单调递减；时，，单调递增，又因为，，所以，有.又当时，，，所以.所以当时，，单调递减；时，，单调递增，又，，所以存在，有，当时，，，所以有，当，有.所以，当时，函数有且仅有一个零点57．已知函数．（1）当时，求在区间上的最值；（2）当时，，求的取值范围．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）先求出函数的导数，再判断单调性，可求出最值．（2）先得到，时，，再求出函数的最小值即得解．【详解】解：（1）当时，，当，时，，，，在，上单调递增，，．（2）当，时，，，，，，当时，，在，上单调递增，，，，的取值范围为，．58．已知函数在原点处的切线方程为.（1）求的值及的单调区间；（2）记，，证明：在上至少有一个零点.（参考数据：）.【答案】（1），单调递增区间：，；单调递减区间：，；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导函数，利用导数几何意义可得的值，进而解导函数的不等式得到单调区间；（2）构造函数，研究函数的单调性与极值，即可明确函数图象与轴的位置关系.【详解】（1），，，.，，的单调递增区间：，；单调递减区间：，.（2）证明：，，，记，在上递增，在上递减，，.①当，时，，，存在，使，则在上递增，在上递减，又，，，则此时在上仅有一个零点；②当时，，，存在，使，又，存在，使，在，上递减，在上递增，，，，此时在存在一个零点.又，（若不用极小值点，也可取，使.由可得）在也存在一个零点，则此时在上有两个零点.故综上，在上至少有一个零点，得证.59．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）.【分析】（1）求导得，进而解三角不等式即可得答案；（2）根据题意得在上有两个不等实根，进而令，研究函数的函数值的分布，即可求得答案.【详解】解：（1）因为，所以.因为，当，即时，，当，即时，，所以在上单调递增，在上单调递减.所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是（2）由（1）知，因为，所以，所以，由题意在上有两个不等实根，即有两个实根且在每个实根两侧的符号不同.设，则，令，得，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.所以，，，所以当时，在上有两个实根.即的取值范围为.60．已知函数，（1）证明：当时，；（2）试讨论函数在上的零点个数.【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）对函数求导，求其单调性和最值，进而可证明；（2）分，，，讨论，研究函数在上的零点个数.【详解】（1）证明：，，令，，，，在上是增函数，且，在上是增函数，且；（2），，①，，，是函数在上的唯一零点，②，令，则，因为，当且仅当时取等号，，当或时取等号，故是函数在上的唯一零点；③，，设，则在上递增，而所以，在上递增，，是唯一零点；④，，在上递增，而，使，当时，递减，，递增，，而，在上有唯一零点，又也是一个零点，在上有2个零点；综上，当时，在上有1个零点;当时，在上有2个零点.61．已知函数，.（Ⅰ）求的导数；（Ⅱ）当时，求证：在上恒成立；（Ⅲ）若在上恒成立，求的最大值.注：以下不等式可参考使用：对任意，，，恒有，当且仅当时“=”成立.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）2.【分析】（Ⅰ）直接利用导数公式求解；（Ⅱ）构造函数，利用导数说明其单调性，将问题转化为求函数的最小值；（Ⅲ）先利用特值缩小的范围，再构造函数，证明这个取值符合条件即可．【详解】解：（Ⅰ）因为所以；（Ⅱ）令（）则（）所以在时为增函数，所以，即.（Ⅲ）因为在时恒成立，所以可令，得，可得，所以或2，当时，令（），则所以在时为增函数，所以，即当时，成立，所以的最大值为2.62．已知函数，（其中）.（1）证明：当时，；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用导数分析函数在上的单调性，由此可证得所证不等式成立；（2）由参变量分离法可得对任意的恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，由此可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，，，，恒成立，在上单调递减，所以，当时，都有，因此，当时，；（2）即，由得，令，，令，，则，得在单调递减，，从而当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，，得.即实数的取值范围为.63．已知函数，.（1）若，求的单调区间；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.【分析】（1）若，则，再根据导数的符号与函数单调性的关系求解即可；（2）由题知，故令，，利用导数研究函数最值即可得答案.【详解】解：（1）若，则，∴∴令，则，∴令，则，的单调递增区间为和，单调递减区间为（2）令，，则令，则.∵，∴，∴，∴，∴在上单调递减，∴∴，∴在上单调递减，∴，故所以实数的取值范围是.64．已知函数.（Ⅰ）求的单调递减区间；（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（Ⅰ）单调递减区间为；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）求函数的导函数，求的区间即为所求减区间；（Ⅱ）化简不等式，变形为，即求，令，求的导函数判断的单调性求出最小值，可求出的范围.【详解】（Ⅰ）由题可知.令，得，从而，∴的单调递减区间为.（Ⅱ）由可得，即当时，恒成立.设，则.令，则当时，.∴当时，单调递增，，则当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，∴.65．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）先求出函数的导数，然后分和讨论导函数的正负，从而可得函数的单调区间；（2）令，当时，，由再结合（1）可得当时，，从而令，则，所以在单调递增，进而可得结论【详解】（1）由，得.（i）当时，对任意，都有，此时的单调递增区间为，无单调递减区间；（ii）当时，令，解得，且当时，；当时，.此时的单调递减区间为，单调递增区间.（2）令，则.①当时，.令，则.所以当时，，即.由（1）得，当时，在单调递减，在单调递增.所以当时，，即，令，则，所以在单调递增，所以当时，.所以，当时，，即.②当时，因为，所以存在，使得当，，则在单调递减.所以，即，与条件矛盾.综合①，②，的取值范围是.66．已知是自然对数的底数，函数，.（1）若曲线在点处的切线斜率为，求的最小值；（2）若当时，有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由求出的值，可得出函数的解析式，再利用导数法可求得函数的最小值；（2）由参变量分离法可知，不等式在时有解，令，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）由得.曲线在点处的切线斜率为，，，.当时，，，，当时，，，则，在上单调递增，；（2），设，，则当时，有解.，.当时，，解，可得或，解得，.当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.，，且，，的取值范围为.67．已知.（1）判断函数是否存在极值，并说明理由；（2）求证：当时，在恒成立.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意求得，根据余弦函数的性质可知，得到，得出函数的单调性，即可求解；（2）由题意转化为成立，令，求导数，令，利用导数结合（1）求得函数的额单调性和最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，则，可得，根据余弦函数的性质可知，可得，所以函数为单调递减函数，所以函数没有极值.（2）由于，即，即，要证原命题成立，只需证成立，令，则，令，则，由（1）可知，当时，，即，当时，，因此，当时，，所以，所以当时为增函数，所以，即，所以当时为减函数，所以，原命题得证.68．已知函数.（1）证明：当时，函数在区间没有零点；（2）若时，，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用导数得到在上单调递增，，即得解；（2）由题得，再构造函数，，求函数的最小值即得解.【详解】证明（1）∵∴恒成立，在上单调递增又∴，都有∴在区间上没有零点（2）即，由得令，令，得在单调递减，从而，，单调递减，，单调递增∴得.69．函数.（1）求的单调区间；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的单调递增区间为：，的单调递减区间为；（2）.【分析】（1）求导函数，计算和即可得单调区间；（2）将代入不等式化简得恒成立，通过求导数讨论单调性并求得最值，从而求的实数的取值范围.【详解】（1）由题可得令，得，∴，∴的单调递增区间为.同理，令，得的单调递减区间为综上所述：的单调递增区间为：，的单调递减区间为.（2）由，得，即.设，则.设，则.当时，，，所以.所以即在上单调递增，则.若，则，所以在上单调递增.所以恒成立，符合题意.若，则，必存在正实数，满足：当时，，单调递减，此时，不符合题意.综上所述，的取值范围是.70．已知函数，.（1）求的单调性；（2）若对于任意x∈[0，+∞)，恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）求导函数，由确定增区间，确定减区间．（2）构造函数，求出导函数，分类讨论求出在上的最小值，由最小值大于或等于0求得的范围．【详解】（1）令在上单调递增．当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增．（2）令，则，令∴在上递增，∴，当时，，∴，单调递增，∴，满足题意．当时，，∴当时，，单调递减，又，此时，不合题意．综上可得．71．已知函数.（1）当时，求零点的个数；（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）零点的个数为0；（2）.【分析】（1）先用导数判断单调性，再用零点存在定理判断零点个数；（2）规定新函数，只需，分类讨论求求出a的范围.【详解】解：（1）因为，所以，所以，所以函数在减函数.所以所以零点的个数为0.（2），，，令，则，因为，所以所以，所以函数在减函数，所以当时，，所以函数在减函数，所以，满足题意当时，所以函数在增函数，所以，不满足题意当时，因为，，且函数在减函数，所以存在唯一的，使，所以函数在增函数，在减函数，当时，，不满足题意.综上所述：实数a的取值范围为.72．已知函数.（1）求证：；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）构造函数，利用、研究的单调性和最值，由此证得不等式成立.（2）构造函数，由得到.结合导数证得，由此确定的取值范围.【详解】（1）设，则.由知在上递增，∴.从而是增函数，∴，故原不等式成立.（2）对恒成立.设，一方面，由.另一方面，当时，.利用（1）中的结论有：.构造函数，则.∴递减.从而，∴，∴恒成立.综上得：.73．已知函数，．（1）求在点处的切线方程；（2）证明：对任意的实数，在上恒成立．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程即可；（2）利用导数得出在上恒成立，由不等关系得，从而将问题转化为证明，构造函数，利用导数得出其最小值，从而证明在上恒成立.【详解】（1）由题意，设该切的切线方程为，由故，由，解得，故该切线的切线方程为．（2）证明：设，则，则故在上单调递增，，故在上单调递增所以，所以在上恒成立故故只需证，即证设则则在上单调递增，故对任意的，在上恒成立74．已知：函数.（1）求；（2）求证：当时，；（3）若对恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）首先求函数的导数，再代入求的值；（2）首先设函数，求函数的导数，利用导数正负判断函数的单调性，求得函数，（3）首先不等式等价于对恒成立，参变分离后转化为对恒成立，利用导数求函数的最小值，转化为求实数的最大值.【详解】（1）；（2）令，则，当时，设，则所以在单调递减，即，所以所以在上单调递减，所以，所以.（3）原题等价于对恒成立，即对恒成立，令，则.易知，即在单调递增，所以，所以，故在单调递减，所以.综上所述，的最大值为.75．设函数（其中，m，n为常数）（1）当时，对有恒成立，求实数n的取值范围；（2）若曲线在处的切线方程为，函数的零点为，求所有满足的整数k的和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由恒成立可知单调递增，由此得到，进而求得结果；（2）由切线方程可确定和，从而构造方程求得；将化为，由可确定单调性，利用零点存在定理可求得零点所在区间，进而得到所有可能的取值，从而求得结果.【详解】（1）当时，，，当时，，，对任意的都成立，在单调递增，，要使得对有恒成立，则，解得：，即的取值范围为.（2），，解得：，又，，，，显然不是的零点，可化为，令，则，在，上单调递增.又，，，，在，上各有个零点，在，上各有个零点，整数的取值为或，整数的所有取值的和为.76．已知.（1）当时，求证：在上单调递减；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）求得导数，结合指数函数与余弦函数的性质，求得，即可得到结论.（2）当时，可得命题成立，当时，设，求得，求得函数的单调性，得到，分类讨论，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，可得，由时，则，当时，，所以，所以在单调递减.（2）当时，，对于，命题成立，当时，由（1），设，则，因为所以，在上单调递增，又，所以，所以在上单调递增，且，①当时，，所以在上单调递增，因为，所以恒成立；②当时，，因为在上单调递增，又当时，，所以存在对于，恒成立.所以在上单调递减，所以当时，，不合题意.综上，当时，对于，恒成立.77．已知函数.（1）当时，求在上的单调性；（2）若，，求的取值范围.【答案】（1）单调递增；（2）.【分析】（1）当时，求导得，根据得，故在上单调递增；（2）等价于，令，分，，三种情况讨论即可得答案.【详解】（1）当时，，.因为，所以，，从而，所以在上单调递增.（2）等价于.令，则.当时，，在上单调递增，所以恒成立.当时，令，得.当时，，，；，.所以在上单调递增，在上单调递减，从而.令，，则，所以在上单调递减，，即，满足题意.当时，，所以在上单调递减，则，不合题意.综上，，即的取值范围为.78．已知函数f（x）＝sinx，g（x）＝ex•f′（x），其中e为自然对数的底数．（1）求曲线y＝g（x）在点（π，g（π））处的切线方程；（2）若对任意𝑥∈[，𝜋]，不等式g（x）≤x•f（x）+m恒成立，求实数m的取值范围；（3）试探究当𝑥∈[0，]时，方程g（x）＝x•f（x）的解的个数，并说明理由．【答案】（1），（2）；（3）有一个，见解析【分析】（1）求出的导数，求得切线的斜率和切点坐标，运用点斜式方程可得到切线方程；（2）题目等价于任意[，不等式恒成立，设，，求导数，求单调区间和最大值，即可得的取值范围；（3）设，，讨论①当时，②当时，判断单调性，结合零点的存在性定理，即可得到方程解的个数.【详解】（1）由题意得g（x）＝exf′（x）＝excosx，g（π）＝eπcosπ＝﹣eπ，g′（x）＝ex（cosx﹣sinx），g′（π）＝﹣eπ，所以曲线y＝g（x）在点（π，g（π））处的切线方程：y﹣（﹣eπ）＝﹣eπ（x﹣π），即y＝﹣eπx+（π﹣1）eπ，（2）若对任意𝑥∈[，𝜋]，不等式g（x）≤x•f（x）+m恒成立，即对任意𝑥∈[，𝜋]，不等式m≥g（x）﹣x•f（x）恒成立，只需要m≥[g（x）﹣x•f（x）]max，x∈[，π]设h（x）＝g（x）﹣xf（x）＝excosx﹣xsinx，x∈[，π]h′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣sinx﹣xcosx＝（ex﹣x）cosx﹣（ex+1）sinx，x∈[，π]，所以（ex﹣x）cosx≤0，（ex+1）sinx≥0，故h′（x）≤0，故h（x）在[，π]上单调递减，故h（x）max＝h（），所以m.（3）设H（x）＝g（x）﹣xf（x）＝excosx﹣xsinx，x∈[0，]，当x∈（0，]时，设φ（x）＝ex﹣x，x∈（0，]时，则φ′（x）＝ex﹣1≥0，所以φ（x）在[0，]上单调递增，所以x∈（0，]时，φ（x）＞φ（0）＝1，所以ex＞x＞0，又x∈（0，]时，cosx≥sinx＞0，所以excosx＞xsinx，即g（x）＞xf（x），即H（x）＞0，故函数H（x）在（0，]上没有零点.当x∈（，]时，H′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣（sinx+xcosx）＜0，故H（x）在（，]上至多有一个零点，又H（）（e）＞0，H（）0，且函数H（x）在（，]上是连续不断的，故函数H（x）在（，]上有且只有一个零点.当𝑥∈[0，]时，方程g（x）＝x•f（x）的解有一个.79．已知点，，为坐标原点，设函数.（1）当时，判断函数在上的单调性；（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）函数在上单调递减；（2）.【分析】（1）由题意结合平面向量的数量积运算可得，求导后可得，即可得解；（2）当时，易得恒成立；当时，求导得，设，求导可得，按照、分类，结合函数的单调性、即可得解.【详解】（1）由已知，当时，，，当时，，又，则，所以函数在上单调递减；（2）①当时，，对于，恒成立；②当时，，设，则，因为，，所以，在上单调递增，又，所以，所以在上单调递增，且，（ⅰ）当时，，在上单调递增，因为，所以恒成立，符合题意；（ⅱ）当时，，因为在上单调递增，又当时，，则存在，对于，恒成立，故在上单调递减，所以，当时，，不合题意.综上，所求的取值范围为.80．已知.（1）若函数，求的单调区间;（2）若过点能作函数的两条切线，求实数的取值范围;（3）设，且，求证:【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）求出，再对分三种情况讨论得解；（2）设切点坐标为，求出，等价于直线和函数的图像有两个交点，利用导数分析即得解；（3）先求出在区间内单调递增，在区间内单调递减，不妨设，则，等价于，证明，再证明即得证.【详解】解:，所以.当时，令，解得或所以在区间内单调递增﹐在区间内单调递减﹐在区间内单调递增.当时，令，解得或，所以在区间内单调递增﹐在区间内单调递减，在区间内单调递增.当时﹐，所以在区间内单调递增.综上，时﹐在区间内单调递增，在区间内单调递减﹐在区间内单调递增.当时，在区间内单调递增，没有单调递减区间.当时，在区间内单调递增﹐在区间内单调递减，在区间内单调递增.解:设切点坐标为，因为，所以所以切线方程为且过点，所以因为过点能作两条切线，所以直线和函数的图像有两个交点.因为，令，解得所以在区间内单调递增﹐在区间内单调递减.所以.所以得.证明:，则所以在区间内单调递增，在区间内单调递减.不妨设，则，欲证，则，因为，，在区间内单调递减，所以只需证明，即，即，即设则，因为所以恒成立，所以在区间内单调递增，所以所以所以原不等式成立.故.欲证即因为在区间内单调递减.所以只需证明，即即因为，所以只需证明，即证，显然成立，所以原不等式成立，故81．设．（1）当时，求证：；（2）证明：对一切正整数n，都有．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】(1)利用导数确定函数在上单调递增，从而有当时，恒成立；(2)放缩法构造数列不等式，再利用裂项相消法证明不等式.【详解】(1)由题知，，，故单调递增.当时，，所以在单调递增，有恒成立.(2)由(1)知当时，，取有，故即待证不等式成立．82．已知函数，.（1）求证：当时，；（2）求函数的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）求出，然后多次求导，通过研究导函数的符号得到原函数的单调性，进而得出其函数值符号，最终得出函数的单调性，从而得出的最小值，从而得证.

(2)由题意可得，结合（1）的结论，讨论出函数的单调性，从而求出其最小值，得出答案.【详解】（1）证明：由，得，，所以在上单增，，所以在上单增，，所以在上单增，，即当时，.（2）解：由，由（1）知当.时，(当且仅当时取“”)，则当时，令，得；令，得，在上单增；令，得，在上单减，所以.83．已知函数，，为自然对数的底数.（1）证明：；（2）若恒成立，求实数的范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）对原函数求导后可知函数在上单调递增，得到即可；（2）将题意转化为恒成立，构造，由，，可知对分为和讨论即可.【详解】（1），于是，.又因为，当时，且.故当时，，即.所以，函数为上的增函数，于是，.因此，对，；（2）恒成立，恒成立.令，，，.①当时，，由（1）可知，在上为增函数，恒成立.时满足题意②当时，由（1）可知在上单调递增，而∴存在，使得.∴时，单调递减，，不合题意，舍去.综上，.84．设函数.（1）当时，判断的单调性；（2）若当时，不等式恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）单调递增；（2）.【分析】（1）求导，得出导函数的符号，从而可得函数单调性.（2）由已知将问题转化为不等式恒成立，令，求导，分析导函数的符号，得出单调递增，求得的最大值，由恒等式的思想可得出的取值范围.【详解】解：（1），令，当时，，所以当时，单调递增；所以，即，所以单调递增.（2）因为当时，不等式恒成立，所以当时，不等式恒成立，令，所以，因为当时，，所以，所以单调递增，所以，所以.85．已知e是自然对数的底数，函数的导函数记为，曲线在点处的切线l与y轴交于点．（1）当时，求实数b的取值范围；（2）若对任意的，都有成立，求实数m的最大值．【答案】（1），；（2）3．【分析】（1）利用几何意义求出切线方程，再求出，的关系，构造函数求值域即可求实数的取值范围；（2）作差构造函数，因为在上单调递增，故只需，解不等式即可求的范围，进而求出的最大值．【详解】解：（1），所以，所以（a），又（a），所以切线的方程为，因为切线与轴交于点，所以，令，（a），当时，，即（a），当时，，即（a），故（a）在上单调递增，在上单调递减，（a），当时，（a），所以（a）的值域为，，即的取值范围为，．（2），令，，令当时，，所以在上单调递增，又，所以，于是在上单调递增，因为在上恒成立，所以只需满足，解得．故的是大值为3．86．已知函数，是函数的导函数.（1）证明：在上没有零点；（2）证明：当，.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）通过构造函数和二次求导可证得时，总有；（2）分和两种情况证明.当时，易证；当时，仿（1）可证得，即单调递增，进而可证得.【详解】证明：（1）因为，所以，令，则在上显然，所以在上单调递增，即时，总有，故在上没有零点；（2）当时，，当时，由（1）可知，在上单调递增，，即时，总有，所以在上单调递增，.综上所述，，.87．已知函数.（1）当时，试判断函数在上的单调性；（2）存在，，，求证：.【答案】（1）函数在上单调递增；（2）证明见解析.【分析】（1）求出，当时，的最小值大于零，则在上单调递增；（2）令，，将转化为，再构造函数利用导数证明最小值小于0.【详解】（1）(方法一)当时，，，当时，，所以，当时，函数在上单调递增.(方法二)当时，，，由，结合函数与图象可知：当时，，，所以两函数图象没有交点，且.所以当时，.所以，当时，函数在上单调递增.（2）证明：不妨设，由得，，.设，则，故在上为增函数，，从而，，，要证只要证，下面证明：，即证，令，则，即证明，只要证明：，设，，则在单调递减，当时，，从而得证，即，，即.88．已知函数，为的导函数．（1）证明：当时，函数在区间内存在唯一的极值点，且；（2）若在上单调递减，求实数的取值范围．（参考数据：）【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）首先确定函数，求导，根据零点存在定理确定导函数的零点，进而判断函数在的单调性及极值，结合导函数零点的取值范围，最后证明即可；（2）根据题意可得，在上恒成立，参变分离得，构造函数，，判断函数在上单调性，进而求出最值，最后实数的取值范围.【详解】(1)当时，，，，，则，所以导函数在区间单调递减，又，，根据零点存在定理可知，存在唯一零点，使得，所以当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，所以是函数在区间内存在唯一的极值点，又，所以.(2)若在上单调递减，则在上恒成立，参变分离得，令，，，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，单调递增，，，根据零点存在定理可知，存在唯一使得，在上单调递减，在上单调递增，，,根据零点存在定理可知，存在使得，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，又因为，所以所以，综上：.89．已知函数．（1）求的最小值；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）先对函数求导得，并令，再求导得，注意到，所以得单调区间，根据单调性即可解决.（2）方法1，先验证是不等式成立，再对时，利用分离参数法和洛必达法则求解即可；方法2，直接移项，构造函数，求二阶导，再分类讨论求解即可.【详解】解：（1），，，∴在上为增函数，又，∴，，单调递减；，，单调递增，．（2）方法1：（分离参数法）当时，成立，当，，设（）设，（），∴单调递增，又，∴，，∴单调递增，∴．，∴．方法2：设，则，，∵，∴，∴单调递增，①当时，，即，单调递增，恒成立，②当时，，，，使，，单调递减，，不合题意.由①②知实数的取值范围是．90．已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得切线的方程；（2）求得的导数，判断不成立，设，，求得导数，判断的单调性，得到，的不等式，再运用分析法，结合构造函数法，求得导数，判断单调性，即可得证．【详解】（1）当时，，导数为，可得切线的斜率为，且，所以切线的方程为，即为；（2）证明：由题意可得，若，则，所以在递增，因此不存在，使得，所以；设，，则，令，，所以在递减，又，所以在恒成立，从而在递减，从而.①又由，可得，所以.②由①②可得.又因为，所以，因此要证，只需证明，即证，③设，，则，所以在上为增函数，又因为，所以，即③式成立.所以获证.91．已知函数，.（1）求函数的极值；（2）若存在，，且当时，，当时，求证：.【答案】（1）有极小值，无极大值；（2）证明见解析.【分析】(1)首先整理得到，求导得，由此可知导函数的正负跟的取值有关，所以对进行分类讨论判断函数的单调性，进而得到函数的极值.(2)首先证明当，在上为增函数，分析得到当时，当且仅当，由得到关系式化简得到，又根据将上式化简得，所以将问题转化成即成立，接着利用换元法证明上述不等式成立即可.【详解】（1）由，，当，，在上为增函数，无极值，当，，；，，在上为减函数，在上为增函数，，有极小值，无极大值，综上知：当，无极值，当，有极小值，无极大值.（2），，，，，所以，当，在上为增函数，所以当时，恒有，即成立；当，在上为增函数，当，在上为增函数，这时，在上为增函数，所以不可能存在，，满足当时，，所以有.设，得：，①，，②，由①②式可得：，即，又，，③，要证④，所以由③式知，只需证明：，即证，设，只需证，即证：，令，由，在上为增函数，，成立，所以由③知，成立.92．已知函数，.（1）当时，设，求证：；（2）若恰有两个零点，求的最小整数值.【答案】（1）证明见解析；（2）2.【分析】（1）当时，可得解析式，求导可得解析式，根据x的范围，分析可得的单调性，即可得的最大值，分析即可得证.（2）当时，，设，利用导数求得的最值，分析不符合题意；当时，设，利用导数求得，结合解析式，可得，不符合题意；当时，利用导数求得的单调性和最值，根据零点存在性定理，即可求得零点范围，综合即可得答案.（1）当时，，则，因为，所以，所以，所以函数在上为增函数，所以；（2）当时，，设，因为，所以，所以，所以函数无零点，当时，设，因为，所以，即，，所以函数无零点当时，，设，，所以函数在上为减函数，又，，所以在上存在零点，使，当时，，当时，，函数在上为增函数，在上为减函数，因为，，，所以函数在，各一个零点，综上所述：当时，恰有两个零点，当时，，所以时，是恰有两个零点的最小整数值.93．已知，，．（1）若，证明：；（2）对任意都有，求整数的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【分析】（1）利用二次求导求得存在唯一零点，使得，在上恒成立上可以证明在定义域上的单调性，可知，便可证明结论.（2）先判断整数可知，接着证明在区间上恒成立即可可出结论.【详解】解：（1）证明：设，，则．因为，且则在，单调递减，，所以存在唯一零点，使得则在时单调递增，在上单调递减又，所以在上恒成立上，所以在单调递增则，即，所以．（2）因为对任意的，即恒成立令，则由（1）知，所以由于为整数，则因此下面证明，在区间上恒成立即可.由（1）知，则故设，，则，所以在上单调递减，所以，所以在上恒成立.综上所述,的最大值为2．94．已知：（1）若在上单调递增，求实数m的取值范围；（2）若，试分析，的根的个数.【答案】（1）（2）无实根【分析】（1）求出函数的导数，即在上恒成立，令，，根据函数的单调性求出m的范围即可；（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最小值，根据函数的单调性结合m的范围判断即可.（1）解：由于在上递增得：在上恒成立，即在上恒成立令，，则，故在上递减，于是，故；（2）解：，，故在上递增，又，，故唯一，使得在上递减，在上递增.故且故，令，则故在上递减当时，由递减知，故，即，从而有在上恒成立.故时，无实根.95．已知.（1）当时，求证：函数在上单调递增；（2）若只有一个