【教学课件】用二分法求方程的近似解参考教学课件

用二分法求方程的近似解新知探究问题1

我们已经知道，函数

在区间(2，3)内存在一个零点，其准确值无法求出，那么如何求出这个零点的近似值呢？一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下就可以得到符合要求的零点的近似值．新知探究问题1

我们已经知道，函数

在区间(2，3)内存在一个零点，其准确值无法求出，那么如何求出这个零点的近似值呢？一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下就可以得到符合要求的零点的近似值．新知探究问题1

我们已经知道，函数

在区间(2，3)内存在一个零点，其准确值无法求出，那么如何求出这个零点的近似值呢？精确度是指近似值x*与其准确值x的接近程度．近似值x*的误差不超过某个数ε，即

，就说它的精确度是ε．一般地，对于数值x，如果要获得它满足精确度ε的近似值，只需要找一个包含x的区间[a，b]，使得

即可．在精确度ε限制下的近似值为所在区间中的任意值，即近似值有无数个．追问1

要获得精确度为0.5的零点的近似值，你能找到一个符合要求的包含零点的区间吗？新知探究现在已知零点在区间(2，3)内，这个区间长度为1．要获得精确度为0.5的零点的近似值，就要将包含零点的区间长度缩小到小于0.5，也就是要将区间长度减小到原来的一半．考虑区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084

，而f(2)≈－1.307

，f(3)≈1.099

，则f(2.5)f(3)＜0．根据函数零点存在定理可知，零点在区间(2.5，3)内，这个区间的长度为0.5．追问1

要获得精确度为0.5的零点的近似值，你能找到一个符合要求的包含零点的区间吗？新知探究一般地，称

为区间(a，b)的中点．追问2

如果要获得精确度为0.01的零点的近似值，根据追问1的答案，你将采取什么办法来逐步缩小零点所在区间？新知探究当精确度为0.01时，至少需要将存在零点的区间长度缩小到小于0.01．根据追问1的答案，可以通过重复计算区间中点的函数值，并与区间端点的函数值作比较，将零点所在区间逐次减半．那么就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足精确度为0.01的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．追问3

我们已经将零点所在的区间从(2，3)缩小到了(2.5，3)，根据追问2确定的方法，再取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得

．因为

，所以零点在区间(2.5，2.75)内．请你利用计算器重复这样的步骤，继续缩小零点所在的区间，直到区间长度小于0.01为止．将你的计算结果填写在右表中，并据此画出函数

在区间(2，3)内的大致图象．新知探究零点所在区间中点的值中点函数近似值(2，3)2.5-0.084(2.5，3)2.750.512(2.5，2.75)

完成的表格如下表，画出的函数图象如下图．新知探究零点所在区间中点的值中点函数近似值(2，3)2.5-0.084(2.5，3)2.750.512(2.5，2.75)2.6250.215(2.5，2.625)2.56250.066(2.5，2.5625)2.53125-0.009(2.53125，2.5625)2.5468750.029(2.53125，2.546875)2.53906250.010(2.53125，2.5390625)2.535156250.001追问4

根据填好的表格，请你给出函数

在精确度为0.01的零点的近似值．新知探究因为|2.5390625－2.53125|＝0.0078125＜0.01，所以区间(2.53125，2.5390625)内任意一点都可以作为零点的近似值．为了方便，我们可以把区间的一个端点作为零点的近似值，所以可以将x＝2.53125作为函数

零点的近似值，也即方程

的近似值．新知探究问题2

像上面这种求函数

的零点近似值的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于那些函数？这种方法的总体思路是，通过不断把函数

的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值．对于在某一区间上函数图象连续不断，且区间端点的函数值的乘积符号为负的函数，都可以利用这种方法来求零点的近似值．新知探究问题2

像上面这种求函数

的零点近似值的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于那些函数？对于在区间[a，b]上图象连续不断且

的函数

，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）．新知探究问题3

根据求函数

零点的近似值的过程，你能提炼出给定精确度ε，用二分法求函数

零点x0的近似值的一般步骤吗？①若

（此时

），则c就是函数的零点；②若

（此时x0∈(a，c)），则令

；③若

（此时x0∈(c，b)），则令

．（1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证

．（2）求区间(a，b)的中点c．（3）计算

，并进一步确定零点所在的区间：新知探究问题3

根据求函数

零点的近似值的过程，你能提炼出给定精确度ε，用二分法求函数

零点x0的近似值的一般步骤吗？（4）判断是否达到精确度ε：若

，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）~（4）．追问给定精确度ε，为什么当

时，区间[a，b]中任意一个值都是零点x0满足精确度ε的近似值？新知探究根据精确度的定义，精确度是指近似值x*与其准确值x的接近程度．近似值x*的误差不超过某个数ε，即

，就说它的精确度是ε．所以当

时，零点x0所在的区间[a，b]中任意一个值与x0的误差都不超过

，当然也就不超过ε．所以区间[a，b]中任意一个值都是零点x0满足精确度ε的近似值．新知探究例1借助信息技术，用二分法求方程

的近似解（精确度为0.1）．解：原方程即

，令

，用信息技术画出函数

的图象如右图，并列出它的对应值表如下表．x012345678y-6-2310214075142273观察函数图象或对应值表，可知

，说明该函数在区间(1，2)内存在零点x0．新知探究例1借助信息技术，用二分法求方程

的近似解（精确度为0.1）．解：原方程即

，令

，用信息技术画出函数

的图象如右图，并列出它的对应值表如下表．x012345678y-6-2310214075142273观察函数图象或对应值表，可知

，说明该函数在区间(1，2)内存在零点x0．同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375，1.4375)．新知探究取区间(1，2)的中点

，用信息技术算得

．因为

所以x0∈(1，1.5)．再取区间(1，1.5)的中点

，用信息技术算得

因为

，所以x0∈(1.25，1.5)．由于

，所以原方程的近似解可取为1.375．归纳小结问题4

回顾本节课中用二分法求函数零点的近似值的一般步骤，你能体会到怎样的数学思想和方法？二分法通过不断缩小函数零点所在区间求函数零点的近似值，体现了逐渐逼近的极限思想．在逐渐逼近的过程中，重复相同的步骤，这些相同的步骤可以抽象出来，体现了算法思想．问题5

通过本节课的学习我们可以看到，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤．因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算．右图就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图．有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解．归纳小结归纳小结问题6

阅读教科书147页“阅读与思考—中外历史