【教学课件】环节三 不同函数增长的差异

对数函数环节三不同函数增长的差异问题1

在4.2.1的例2的第（1）小问中，我们进一步研究了这一节的问题1，比较了A，B两地旅游收入的长期变化情况，A地为一次函数的增长，B地为指数函数的增长，这两种增长方式存在很大的差异．那么我们该如何研究一次函数、指数函数和对数函数增长的差异呢？整体感知线性函数

指数函数和对数函数的增长差异．整体感知答案：类比研究函数性质的一般路径：先画图象，观察图象并归纳共性；再用解析式，利用数据计算，微观研究；最后用符号表示一般规律.我们可以分别比较指数函数与一次函数、对数函数与一次函数．新知探究问题2

选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0，＋∞)上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？追问1

不妨以函数y＝2x和y＝2x为例，利用计算器列出这两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象．观察这两个函数的图象，它们在位置上有什么关系？这说明了什么？完成的对应值表如下表，画出的函数图象如下图．新知探究xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386………从图象上，发现函数y＝2x和y＝2x有两个交点(1，2)，(2，4)，并且这两个交点将区间[0，＋∞)分成了三段，两个函数的图象位置关系在这三段有所不同．这表明，虽然这两个函数在[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数y＝2x的增长速度保持不变，而函数y＝2x的增长速度在变化．新知探究追问2

通过对比这两个函数的自变量与函数值的对应值表，分别计算它们的变化率

，你能发现什么？新知探究完成的变化率表如右表．从数据上，通过计算变化率

，发现函数y＝2x的变化率恒定，即增长速度保持不变．而函数y＝2x的变化率越来越大，即增长速度在增大．xy=2xy=2x01

0

0.51.4140.82812121.17221.52.8281.6563242.34442.55.6573.3145384.6866……………追问3

除了图中的两个交点，这两个函数还有没有其他的交点，你能解释一下原因吗？新知探究在更大的范围内，列出这两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一直角坐标系中，画出它们的图象．新知探究完成的对应值表如下表，画出的函数图象如下图．xy=2xy=2x0102444168664128256161010242012409624………所以，增速快的指数函数终会赶超一次函数，即存在一个x0∈(0，＋∞)，x＞x0时，2x＞2x．因此两个函数没有其它交点．追问4

这样的结论可以推广到任意一组指数函数y＝ax(a＞1)和一次函数y＝kx(k＞0)中去吗？

指数函数y＝ax(a＞1)与一次函数y＝kx(k＞0)的增长差异都与上述情况类似.即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a＞1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k＞0)的增长速度.因此总存在一个x0∈(0，＋∞)，当x＞x0时，ax＞kx.新知探究新知探究结论：指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长，所以俗称“指数爆炸”．新知探究问题3

类比研究指数函数与一次函数增长差异的思路，探索对数函数与一次函数在区间[0，＋∞)上的增长差异．你能描述对数函数增长的特点吗？先取特殊的对数函数和一次函数进行研究，然后归纳得到一般结论．

不妨以函数

和

为例，利用计算器，列出这两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象．新知探究新知探究完成的对应值表如下表，画出的函数图象如下图．x0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786………新知探究从图象上，发现函数

和

虽然在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度存在着明显的差异．随着x的增大，函数

的图象离x轴越来越远，而函数

的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样．因此总存在一个x0∈(0，＋∞)，当x＞x0时，成立新知探究对数函数增长的特点：对数函数

y＝logax(a＞1)与一次函数y＝kx(k＞0)的增长差异都与上述情况类似.即使k的值远远小于a的值，y＝logax(a＞1)的增长速度最终都会远远小于y＝kx(k＞0)的增长速度.因此总存在一个x0∈(0，＋∞)，当x＞x0时，kx＞logax.新知探究

结论：对数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越慢，俗称“对数增长”.对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律.追问通过对特定的对数函数和一次函数的研究，推广到一般情况，你能得到什么结论？新知探究问题4

在问题2和问题3中，分别研究了指数函数与一次函数、对数函数与一次函数的增长差异，如果将一次函数、指数函数和对数函数同时比较，你能得到什么结论？追问1

在同一直角坐标系中画出一次函数y＝2x，指数函数y＝2x和对数函数y＝lgx的图象，比较他们的增长有何差异？新知探究函数图象如右图．从图象上同时比较三个函数，能够直观上感受出，三个函数虽然都在增长，但增长速度明显不同．一次函数y＝2x的增长速度保持不变，指数函数y＝2x的增长速度越来越快，对数函数y＝lgx的增长速度越来越慢．追问2

一次函数y＝kx(k＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)和对数函数y＝logbx(b＞1)的增长有何差异？新知探究一般地，无论k(k＞0)、a(a＞1)、b(b＞1)如何取值，三种函数在区间(0，＋∞)上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值．即：存在一个x0∈(0，＋∞)，当x＞x0时，bx＞kx＞logax成立.例1

三个变量y1，y2，

y3随变量x变化的数据如下表：其中关于x呈指数增长的变量是_____.知识应用x051015202530y151305051130200531304505y25901620291605248809447840170061120y35305580105130155例1

三个变量y1，y2，

y3随变量x变化的数据如下表：其中关于x呈指数增长的变量是_____.知识应用y3呈直线增长，在y1，y2中，因为当x增加5个单位时，y1，y2这两个变量的增加量都在增大，都呈现加速增长趋势.但是变量y2中，相邻两列的函数值之比为定值18，与

y＝2x中函数值翻番变化极为类似，所以基本判定呈指数增长的变量为y2.并且根据待定系数法计算得出函数解析式为

．归纳小结问题5

（1）你能用思维导图梳理本节课的研究内容和方法吗？（2）回忆本单元内容，你能用思维导图梳理本单元的研究内容和方法吗？归纳小结本节的思维导图由特殊到一般数形结合由特殊到一般数形结合指数函数和一次函数增长的差异同为增函数，哪种函数的增长速度快？

对数函数和一次函数增长的差异

类