测试系统及其基本特性课件

3.5测试系统的动态特性

被测物理量随时间变化的测量称为动态测量。描述测试系统动态测量时输入与输出之间函数关系的方程、图形、参数称为测试系统的动态传递特性。

时间响应和频率响应是动态测试过程中表现出的重要特征，是我们研究测试系统动态特性的主要内容。

3.5测试系统的动态特性被测物理量随时间变化的测1在系统的初始条件为零的前提下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，记为H(s)。1、传递函数3.5.1测试系统动态传递特性的频域描述若f(t)是t的单值函数，t<0时，f(t)=0；t>=0时，f(t)在任意区间连续或有有限个一类间断点，则f(t)的拉氏变换为：拉氏变换在系统的初始条件为零的前提下，输出量的拉氏变换与输入2拉氏变换的微分定理则：当则：拉氏变换的微分定理则：当则：3系统的传递函数拉氏变换初始条件为零系统的传递函数拉氏变换初始条件为零4练习：分别求下图所示RC系统和不计质量的弹簧阻尼系统的传递函数。x(t)y(t)i(t)练习：分别求下图所示RC系统和不计质量的弹簧阻尼系统的传递函5传递函数的特点传递函数表征了系统内在的固有动态特性,与输入x(t)及系统的初始状态无关。如果x(t)给定，则系统输出的特性完全由H(s)决定H(s)只反映系统传输特性，而和系统具体物理结构无关。即同一形式的传递函数可表征具有相同传输特性的不同物理系统。传递函数的特点传递函数表征了系统内在的固有动态特性,与输62、测试系统的频率响应函数定义：当某一单一频率的简谐激励作为输入作用于测试系统，系统的稳态输出y(t)与x(t)之比。

根据线性系统的频率保持特性，输出信号一定有以下的函数形式：2、测试系统的频率响应函数定义：当某一单一频率的简谐激励7选频率为自变量时，这对特定条件下的输入、输出的频域描述分别为：频率响应函数也等于稳态输出和输入的傅氏变换之比的，因此，频率响应函数也被直接定义为稳态输出和输入的傅氏变换之比。选频率为自变量时，这对特定条件下的输入、输出的频域描8对于线性时不变系统，其传递函数为：对于线性时不变系统，其传递函数为：9(1)分母ω的幂的次数n确定了测试系统的阶数(2)H(ω)反映系统本身所具备的特性;(3)H(ω)反映测试系统的传输特性;(4)对于完全不同的物理系统，可能有传递特性和形式完全相同的频率响应函数，这对分类研究H(ω)的传递特性带来了方便。(1)分母ω的幂的次数n确定了测试系统的阶数103、幅频特性与相频特性

系统的幅频特性反映测试系统对输入信号的ω频率分量的幅值的缩放能力

系统的相频特性反映出测试系统对输入信号的ω频率分量的初相位的移动程度为复数，可以表示为：幅频特性与相频特性统称为系统的频率特性实频特性虚频特性3、幅频特性与相频特性系统的幅频特性系统的相频特性为复11幅、相频特性的图像描述幅、相频特性的图像描述12频率响应的求法频率响应的求法13注意：频率响应函数是描述系统的简谐输入和相应的稳态输出的关系。因此，在测量系统频率响应函数时，应当在系统响应达到稳态阶段时才进行测量。系统频率特性适用于任何复杂的输入信号。这时，幅频、相频特性分别表征系统对输入信号中各个频率分量幅值的缩放能力和相位角前后移动的能力。注意：频率响应函数是描述系统的简谐输入和相应的稳态输出的关系144.零阶系统H(s)＝A频域响应函数：|H(jω)|=A——静态灵敏度S零阶系统特点：输出与输入成正比，如实地反映输入的变化，仅用一个特性参数（静态灵敏度S）即可表征该系统的特性。4.零阶系统H(s)＝A频域响应函数：零阶系统特点：输出与155、一阶系统的传递函数及频率响应特性标准化时间常数静态灵敏度常数

S=15、一阶系统的传递函数及频率响应特性标准化时间常数静态灵敏度16测试系统及其基本特性课件17幅频特性：相频特性：幅频特性：相频特性：18一阶系统的特点：时间常数τ一定，则A(ω)随ω的增加而减小，ψ(ω)随ω的增大而增大；输入一定（即ω一定），则τ越小，A(ω)越大，ψ(ω)越小；一阶系统的特点：时间常数τ一定，则A(ω)随ω的增加而减小，19（3）一阶系统是一个低通环节，只有ω趋近于0时，幅频特性A(ω)才近似为1，相频特性趋近于0。信号通过系统后，各频率成分的幅值基本保持不变。在高频段，幅频特性与ω成反比，当ω趋近于无穷时，幅频特性A(ω)近似为0，信号通过系统,各频率成分的幅值将有很大的衰减。所以，一阶装置只适用于测量缓变的低频信号。

（4）时间常数τ决定了一阶系统适用的频率范围。当ω＝1/τ时，输出输入的幅值比A(ω)降为0.707（－3dB），此点对应着输出信号的功率衰减到输入信号半功率的频率点，被视为信号通过系统的截止点。因此，τ是反映一阶系统动态特性的重要参数。

（3）一阶系统是一个低通环节，只有ω趋近于0时，幅20例1、用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s和5s的正弦信号，其幅值误差分别为多少？解：同理求得：可见，当时间常数一定，其幅值误差与输入信号有关。例1、用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为121解：对于线性系统，x(t)分解成两个信号的叠加。例2、求周期信号通过传递函数的装置后得到的稳态响应？同理求得：解：对于线性系统，x(t)分解成两个信号的叠加。例2、求周期22系统的阻尼比

系统的固有频率系统的灵敏度系数

二阶系统系统的阻尼比系统的固有频率系统的灵敏度系数二阶系统23分子分母同除以，则：分子分母同除以，则：24测试系统及其基本特性课件25（1）二阶系统是一个低通环节；（2）一阶系统的参数S、τ，二阶系统参数S、ωn、ζ是由系统的结构参数决定的，当测试系统制造、调试完毕后，以上参数也随之确定。它们决定了测试系统的动态传递特性。幅频特性曲线出现了一个很大的峰值。该频率成分的信号通过系统后，其输出信号将可能成倍放大，即所谓的“共振”现象。所以，（1）二阶系统是一个低通环节；一阶系统的参数S、τ，二阶系统26例3、设某力传感器为二阶装置，已知传感器的固有频率为800Hz，阻尼比为0.14，问：使用该传感器测量频率为400Hz的正弦力时，A(ω)、ψ(ω)各为多少？若将装置的阻尼比改为0.7，A(ω)、ψ(ω)将如何变化？解：例3、设某力传感器为二阶装置，已知传感器的固有频率为80027当阻尼比改为0.7时，同理算得当阻尼比改为0.7时，同理算得28练习：一力传感器具有二阶动特性，其传递函数为己知该传感器的固有频率fn=1000Hz，阻尼比§=0.7，试问用它测量频率分别为600Hz和400Hz的正弦交变力时，相对幅值误差和相位差是多少?解：当测量频率f1=600Hz的交变力时，相对幅值误差为：练习：解：当测量频率f1=600Hz的交变力时，相对幅值误293.5.2测试系统动态传递特性的时域描述测试系统动态传递特性的时域描述:用时域函数或时域特征参数来描述测试系统的输出量与变化的输入量之间的内在联系。系统x(t)y(t)3.5.2测试系统动态传递特性的时域描述测试系统30（1）、输入为单位脉冲信号的响应单位脉冲响应函数或权函数脉冲响应函数是测试系统动态传递特性的时域描述。实际上理想的单位脉冲函数是不存在的，当输入信号的作用时间小于0.1τ时，则可以近似地认为输入信号是脉冲信号，其响应则可视为脉冲响应函数。（1）、输入为单位脉冲信号的响应单位脉冲响应函数或权函数31（2）、输入为单位阶跃信号的响应一阶系统的时域响应：（2）、输入为单位阶跃信号的响应一阶系统的时域响应：32结论：一阶系统在单位阶跃激励下稳态输出的理论误差为零，并且，进入稳态的时间t→∞。但是，当t=4τ时，y(4τ)=0.982；误差小于2%；当t=5τ时，y(5τ)=0.993,误差小于1%。所以对于一阶系统来说，时间常数τ越小越好。结论：一阶系统在单位阶跃激励下稳态输出的理论误差为零33二阶系统的单位阶跃信号时域响应：ξ=0.6～0.8二阶系统的单位阶跃信号时域响应：ξ=0.6～0.834二阶系统在单位阶跃激励下的稳态输出误差也为零。进入稳态的时间取决于系统的固有频率ωn和阻尼比ξ。ωn越高，系统响应越快。阻尼比主要影响超调量和振荡次数。当ξ=0时，超调量为100%，且振荡持续不息，永无休止；当ξ>=1时，虽无振荡，但达到稳态的时间较长；通常取ξ=0.6～0.8，此时，最大超调量不超过10%~2.5%，达到稳态的时间最短，稳态误差在5%~2%。二阶系统在单位阶跃激励下的稳态输出误差也为零。进入稳35（3）、输入为单位斜坡信号的响应对系统输入随时间而成线性增大的信号，即为斜坡信号输入，由于输入量的不断增大，一、二阶系统的输出总是滞后于输入一段时间，存在一定的误差。随时间常数τ、阻尼比ζ的增大和固有频率的减小，其稳态误差增大，反之亦然。（3）、输入为单位斜坡信号的响应对系统输入随时间而成36（4）、输入为单位正弦信号的响应一阶系统二阶系统（4）、输入为单位正弦信号的响应一阶系统二阶系统37正弦输入的稳态输出也是同频率的正弦信号，所不同的是在不同频率下，其幅值响应和相位滞后都不相同，它们都是输入频率的函数。因此，可以用不同频率的正弦信号去激励测试系统，观察其输出响应的幅值变化和相位滞后，从而得到系统的动态特性。这是系统动态标定常用的方法之一。正弦输入的稳态输出也是同频率的正弦信号，所不同的是在38（5）、任意输入作用下的响应时域里：频域里：（5）、任意输入作用下的响应时域里：频域里：393.5.3测试系统动态特性参数的识别（一）频率响应法实质:是一种稳态响应法，研究系统在稳态阶段时输出与输入的关系。

方法：频率响应法是以一组频率可调的标准正弦信号作为系统的输入，通过对系统输出幅值和相位的测试，获得系统的动态特性参数。3.5.3测试系统动态特性参数的识别（一）频率响应法实质40一阶系统一阶系统41二阶系统二阶系统42方法一、利用相频曲线求和输出相角滞后于输入相位角90˚时，频率比，即，特性曲线上对应点的斜率为阻尼比ζ。方法一、利用相频曲线求和输出相角滞后于输43位移共振频率方法二、利用幅频曲线求和位移共振频率方法二、利用幅频曲线求和44利用半功率法求适合阻尼比较小。利用半功率法求适合阻尼比较小。45（二）阶跃响应法阶跃响应法是以阶跃信号作为测试系统的输入，通过对系统输出响应的测试，从中计算出系统的动态特性参数。这种方法实质上是一种瞬态响应法。即通过研究瞬态阶段输出与输入之间的关系找到系统的动态特性参数。（二）阶跃响应法阶跃响应法是以阶跃信号作为测试系统的46一阶系统特性参数的确定当输出响应达到稳态值的63.2%时，所需要的时间就是一阶系统的时间常数。缺点：可靠性和精确度不高。方法一：一阶系统特性参数的确定当输出响应达到稳态值的63.247方法二：两边取对数方法二：两边取对数48二阶系统特性参数的确定有阻尼固有频率二阶系统特性参数的确定有阻尼固有频率49MiMi+nty(t)n是两个超调量相隔的峰值个数。令：MiMi+nty(t)n是两个超调量相隔的峰值个数。令：503.6测试系统的级联串联测试系统3.6测试系统的级联串联测试系统51并联测试系统并联测试系统52

设测试系统的输出y(t)与输入x(t)满足关系

y(t)=A0x(t-t0)

该系统的输出波形与输入信号的波形精确地一致，只是幅值放大了A0倍，在时间上延迟了t0而已。这种情况下，认为测试系统具有不失真的特性。tAx(t)y(t)=A0x(t)y(t)=A0x(t-t0)时域条件3.7测试系统不失真传递信号的条件设测试系统的输出y(t)与输入x(t)满足关系53y(t)=A0x(t-t0)Y(ω)=A0e-jωt0X(ω)不失真测试系统条件的幅频特性和相频特性应分别满足:A(ω)=A0=常数φ(ω)=-t0ω做傅立叶变换

测试系统实现信号不失真传递，必须满足两个条件：

1）系统的幅频特性在输入信号的频谱范围内为常数；2）系统的相频特性是过原点且具有负斜率的直线。

y(t)=A0x(t-t0)时域条件频域条件y(t)=A0x(t-t0)Y(ω)=A0e54输入信号有截止频率，所以一般只要求系统在截止频率范围内保持这种频率特性就为不失真传递。一阶系统：τ越小越好二阶系统：ω<0.3ωn,ξ=0.6~0.8输入信号有截止频率，所以一般只要求系统在截止频55作业：（1）求正弦信号通过频率响应函数为的系统后的稳态响应P33，1-6，1-7，1-8，1-9作业：P33，1-6，1-7，1-8，1-9563.5测试系统的动态特性

被测物理量随时间变化的测量称为动态测量。描述测试系统动态测量时输入与输出之间函数关系的方程、图形、参数称为测试系统的动态传递特性。

时间响应和频率响应是动态测试过程中表现出的重要特征，是我们研究测试系统动态特性的主要内容。

3.5测试系统的动态特性被测物理量随时间变化的测57在系统的初始条件为零的前提下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，记为H(s)。1、传递函数3.5.1测试系统动态传递特性的频域描述若f(t)是t的单值函数，t<0时，f(t)=0；t>=0时，f(t)在任意区间连续或有有限个一类间断点，则f(t)的拉氏变换为：拉氏变换在系统的初始条件为零的前提下，输出量的拉氏变换与输入58拉氏变换的微分定理则：当则：拉氏变换的微分定理则：当则：59系统的传递函数拉氏变换初始条件为零系统的传递函数拉氏变换初始条件为零60练习：分别求下图所示RC系统和不计质量的弹簧阻尼系统的传递函数。x(t)y(t)i(t)练习：分别求下图所示RC系统和不计质量的弹簧阻尼系统的传递函61传递函数的特点传递函数表征了系统内在的固有动态特性,与输入x(t)及系统的初始状态无关。如果x(t)给定，则系统输出的特性完全由H(s)决定H(s)只反映系统传输特性，而和系统具体物理结构无关。即同一形式的传递函数可表征具有相同传输特性的不同物理系统。传递函数的特点传递函数表征了系统内在的固有动态特性,与输622、测试系统的频率响应函数定义：当某一单一频率的简谐激励作为输入作用于测试系统，系统的稳态输出y(t)与x(t)之比。

根据线性系统的频率保持特性，输出信号一定有以下的函数形式：2、测试系统的频率响应函数定义：当某一单一频率的简谐激励63选频率为自变量时，这对特定条件下的输入、输出的频域描述分别为：频率响应函数也等于稳态输出和输入的傅氏变换之比的，因此，频率响应函数也被直接定义为稳态输出和输入的傅氏变换之比。选频率为自变量时，这对特定条件下的输入、输出的频域描64对于线性时不变系统，其传递函数为：对于线性时不变系统，其传递函数为：65(1)分母ω的幂的次数n确定了测试系统的阶数(2)H(ω)反映系统本身所具备的特性;(3)H(ω)反映测试系统的传输特性;(4)对于完全不同的物理系统，可能有传递特性和形式完全相同的频率响应函数，这对分类研究H(ω)的传递特性带来了方便。(1)分母ω的幂的次数n确定了测试系统的阶数663、幅频特性与相频特性

系统的幅频特性反映测试系统对输入信号的ω频率分量的幅值的缩放能力

系统的相频特性反映出测试系统对输入信号的ω频率分量的初相位的移动程度为复数，可以表示为：幅频特性与相频特性统称为系统的频率特性实频特性虚频特性3、幅频特性与相频特性系统的幅频特性系统的相频特性为复67幅、相频特性的图像描述幅、相频特性的图像描述68频率响应的求法频率响应的求法69注意：频率响应函数是描述系统的简谐输入和相应的稳态输出的关系。因此，在测量系统频率响应函数时，应当在系统响应达到稳态阶段时才进行测量。系统频率特性适用于任何复杂的输入信号。这时，幅频、相频特性分别表征系统对输入信号中各个频率分量幅值的缩放能力和相位角前后移动的能力。注意：频率响应函数是描述系统的简谐输入和相应的稳态输出的关系704.零阶系统H(s)＝A频域响应函数：|H(jω)|=A——静态灵敏度S零阶系统特点：输出与输入成正比，如实地反映输入的变化，仅用一个特性参数（静态灵敏度S）即可表征该系统的特性。4.零阶系统H(s)＝A频域响应函数：零阶系统特点：输出与715、一阶系统的传递函数及频率响应特性标准化时间常数静态灵敏度常数

S=15、一阶系统的传递函数及频率响应特性标准化时间常数静态灵敏度72测试系统及其基本特性课件73幅频特性：相频特性：幅频特性：相频特性：74一阶系统的特点：时间常数τ一定，则A(ω)随ω的增加而减小，ψ(ω)随ω的增大而增大；输入一定（即ω一定），则τ越小，A(ω)越大，ψ(ω)越小；一阶系统的特点：时间常数τ一定，则A(ω)随ω的增加而减小，75（3）一阶系统是一个低通环节，只有ω趋近于0时，幅频特性A(ω)才近似为1，相频特性趋近于0。信号通过系统后，各频率成分的幅值基本保持不变。在高频段，幅频特性与ω成反比，当ω趋近于无穷时，幅频特性A(ω)近似为0，信号通过系统,各频率成分的幅值将有很大的衰减。所以，一阶装置只适用于测量缓变的低频信号。

（4）时间常数τ决定了一阶系统适用的频率范围。当ω＝1/τ时，输出输入的幅值比A(ω)降为0.707（－3dB），此点对应着输出信号的功率衰减到输入信号半功率的频率点，被视为信号通过系统的截止点。因此，τ是反映一阶系统动态特性的重要参数。

（3）一阶系统是一个低通环节，只有ω趋近于0时，幅76例1、用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s和5s的正弦信号，其幅值误差分别为多少？解：同理求得：可见，当时间常数一定，其幅值误差与输入信号有关。例1、用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为177解：对于线性系统，x(t)分解成两个信号的叠加。例2、求周期信号通过传递函数的装置后得到的稳态响应？同理求得：解：对于线性系统，x(t)分解成两个信号的叠加。例2、求周期78系统的阻尼比

系统的固有频率系统的灵敏度系数

二阶系统系统的阻尼比系统的固有频率系统的灵敏度系数二阶系统79分子分母同除以，则：分子分母同除以，则：80测试系统及其基本特性课件81（1）二阶系统是一个低通环节；（2）一阶系统的参数S、τ，二阶系统参数S、ωn、ζ是由系统的结构参数决定的，当测试系统制造、调试完毕后，以上参数也随之确定。它们决定了测试系统的动态传递特性。幅频特性曲线出现了一个很大的峰值。该频率成分的信号通过系统后，其输出信号将可能成倍放大，即所谓的“共振”现象。所以，（1）二阶系统是一个低通环节；一阶系统的参数S、τ，二阶系统82例3、设某力传感器为二阶装置，已知传感器的固有频率为800Hz，阻尼比为0.14，问：使用该传感器测量频率为400Hz的正弦力时，A(ω)、ψ(ω)各为多少？若将装置的阻尼比改为0.7，A(ω)、ψ(ω)将如何变化？解：例3、设某力传感器为二阶装置，已知传感器的固有频率为80083当阻尼比改为0.7时，同理算得当阻尼比改为0.7时，同理算得84练习：一力传感器具有二阶动特性，其传递函数为己知该传感器的固有频率fn=1000Hz，阻尼比§=0.7，试问用它测量频率分别为600Hz和400Hz的正弦交变力时，相对幅值误差和相位差是多少?解：当测量频率f1=600Hz的交变力时，相对幅值误差为：练习：解：当测量频率f1=600Hz的交变力时，相对幅值误853.5.2测试系统动态传递特性的时域描述测试系统动态传递特性的时域描述:用时域函数或时域特征参数来描述测试系统的输出量与变化的输入量之间的内在联系。系统x(t)y(t)3.5.2测试系统动态传递特性的时域描述测试系统86（1）、输入为单位脉冲信号的响应单位脉冲响应函数或权函数脉冲响应函数是测试系统动态传递特性的时域描述。实际上理想的单位脉冲函数是不存在的，当输入信号的作用时间小于0.1τ时，则可以近似地认为输入信号是脉冲信号，其响应则可视为脉冲响应函数。（1）、输入为单位脉冲信号的响应单位脉冲响应函数或权函数87（2）、输入为单位阶跃信号的响应一阶系统的时域响应：（2）、输入为单位阶跃信号的响应一阶系统的时域响应：88结论：一阶系统在单位阶跃激励下稳态输出的理论误差为零，并且，进入稳态的时间t→∞。但是，当t=4τ时，y(4τ)=0.982；误差小于2%；当t=5τ时，y(5τ)=0.993,误差小于1%。所以对于一阶系统来说，时间常数τ越小越好。结论：一阶系统在单位阶跃激励下稳态输出的理论误差为零89二阶系统的单位阶跃信号时域响应：ξ=0.6～0.8二阶系统的单位阶跃信号时域响应：ξ=0.6～0.890二阶系统在单位阶跃激励下的稳态输出误差也为零。进入稳态的时间取决于系统的固有频率ωn和阻尼比ξ。ωn越高，系统响应越快。阻尼比主要影响超调量和振荡次数。当ξ=0时，超调量为100%，且振荡持续不息，永无休止；当ξ>=1时，虽无振荡，但达到稳态的时间较长；通常取ξ=0.6～0.8，此时，最大超调量不超过10%~2.5%，达到稳态的时间最短，稳态误差在5%~2%。二阶系统在单位阶跃激励下的稳态输出误差也为零。进入稳91（3）、输入为单位斜坡信号的响应对系统输入随时间而成线性增大的信号，即为斜坡信号输入，由于输入量的不断增大，一、二阶系统的输出总是滞后于输入一段时间，存在一定的误差。随时间常数τ、阻尼比ζ的增大和固有频率的减小，其稳态误差增大，反之亦然。（3）、输入为单位斜坡信号的响应对系统输入随时间而成92（4）、输入为单位正弦信号的响应一阶系统二阶系统（4）、输入为单位正弦信号的响应一阶系统二阶系统93正弦输入的稳态输出也是同频率的正弦信号，所不同的是在不同频率下，其幅值响应和相位滞后都不相同，它们都是输入频率的函数。因此，可以用不同频率的正弦信号去激励测试系统，观察其输出响应的幅值变化和相位滞后，从而得到系统的动态特性。这是系统动态标定常用的方法之一。正弦输入的稳态输出也是同频率的正弦信号，所不同的是在94（5）、任意输入作用下的响应时域里：频域里：（5）、任意输入作用下的响应时域里：频域里：953.5.3测试系统动态特性参数的识别（一）频率响应法实质:是一种稳态响应法，研究系统在稳态阶段时输出与输入的关系。

方法：频率响应法是以一组频率可调的标准正弦信号作为系统的输入，通过对系统输出幅值和相位的测试，获得系统的动态特性参数。3.5.3测试系统动态特性参数的识别（一）频率响应法实质96一阶系统一阶系统97二阶系统二阶系统98方法一、利用相频曲线求和输出相角滞后于输入相位角90˚时，频率比，即，特性曲线上对应点的斜率为阻尼比ζ。方法一、利用相频曲线求和输出相角滞后于输99位移共振频率方法二、利用幅频曲线求和位移共振频率方法二、利用幅频曲线求和100利用半功率法求适合阻尼比较小。利用半功率法求适合阻尼比较小。101（二）阶跃响应法阶跃响应法是以阶跃信号作为测试系统的输入，通过对