北师大版九年级数学上册图形的位似课件

初中数学（北师大版）九年级上册第四章图形的相似初中数学（北师大版）第四章图形的相似知识点一

位似变换的定义及性质定义一般地,如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P'所在的直线都经过同一点O,且有OP'=k·OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形有关概念在位似多边形的定义中,点O叫做位似中心,k叫做这两个位似多边形的相似比基本图形由于位似中心的位置不同,位似多边形的基本形式有三种(如图),即点O在两个多边形的同侧;点O在两个多边形之间;点O在两个多边形的内部

性质(1)位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比;(2)位似图形的对应点连线交于一点;(3)位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等;(4)位似图形是相似图形,所以它具有相似图形的一切性质温馨提示(1)位似图形中任意两对对应点的连线的交点就是位似中心;(2)一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似知识点一

位似变换的定义及性质定义一般地,如果两个相似2例1图4-8-1的3组图形中,位似图形有

()

图4-8-1A.0组

B.1组

C.2组

D.3组解析

根据位似图形的定义可知相似且每组对应点所在的直线都经过

同一个点的两个图形是位似图形,所以第一组和第三组是位似图形.故

选C.答案

C例1图4-8-1的3组图形中,位似图形有 ()解析

3知识点二

利用位似变换作图

知识拓展几种画位似图形的方法:方法一:未确定位似中心,依照比例画位似图形.如图4-8-2所示,任意取一点O,连接OA,OB,OC,分别在OA,OB,OC上按照知识点二

利用位似变换作图4题目要求取A',B',C',得到△A'B'C',△A'B'C'即为所求.方法二:位似中心在顶点处,延长图形的边画位似图形.如图4-8-3所示,以C点为位似中心,将AC与BC延长到指定的倍数,得到点

A',B',连接A'B',得到△A'B'C,△A'B'C即为所求.

图4-8-2图4-8-3友情提示在画位似图形时,一定要注意相似比,不要把相似比弄错,该

放大的图形缩小了或该缩小的图形放大了.题目要求取A',B',C',得到△A'B'C',△A'B'C5例2画一个三角形,使它与已知△ABC位似(如图4-8-4),且原三角形与所画三角形的相似比为3∶1.图4-8-4例2画一个三角形,使它与已知△ABC位似(如图4-8-4)6解析作法一:(平行截取法)在AB上取一点D,使AD=

AB,过D作DE∥BC,交AC于E,则△ADE即为所求,如图4-8-5(1).作法二:(反向延长法)延长CA到C',使得AC'=

AC,延长BA到B',使得AB'=

AB,连接B'C',则△AB'C'即为所求,如图4-8-5(2).作法三:(位似图形法)任取一点O,连接OA、OB、OC.取OA、OB、OC

的三等分点A'、B'、C'(靠近O的点),连接A'B',B'C'、C'A',则△A'B'C'即为

所求,如图4-8-5(3).图4-8-5点拨本题作图方法很多,注意根据题目的要求选择画法.解析作法一:(平行截取法)在AB上取一点D,使AD= AB7知识点三

平面直角坐标系中的位似变换当以坐标原点为位似中心时,若原图形上点的坐标为(x,y),位似图

形与原图形的相似比为k,则位似图形上的对应点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).注意(1)运用此性质可在平面直角坐标系中对图形进行放大(或缩小),

并且放大(或缩小)前后的两个图形是以原点为位似中心的位似图形.(2)当k>0时,两个图形在位似中心的同侧;当k<0时,两个图形在位似中心

的两侧.例3在直角坐标系中,五边形ABCDE的五个顶点的坐标分别为A(-2,3),

B(-4,2),C(-3,0),D(-1,1),E(-1,2),以坐标原点为位似中心,将五边形ABCDE

放大,使放大后的多边形的边是原五边形对应边的2倍,比较放大后的图形,你能得到什么结论?知识点三

平面直角坐标系中的位似变换形,你能得到什么结8解析如图4-8-6所示,把五边形ABCDE各顶点的横坐标和纵坐标都乘

2,得A'(-4,6),B'(-8,4),C'(-6,0),D'(-2,2),E'(-2,4),依次连接A'B',B'C',C'D',D'E',

E'A',得五边形A'B'C'D'E'.把五边形ABCDE各顶点的横坐标和纵坐标都

乘-2,得A″(4,-6),B″(8,-4),C″(6,0),D″(2,-2),E″(2,-4),依次连接A″B″,B″C″,C″D″,D″E″,E″A″,得五边形A″B″C″D″E″.结论:五边形A'B'C'D'E'和五边形A″B″C″D″E″关于原点O中心对称.图4-8-6点拨把一个多边形各顶点的横、纵坐标都扩大相同的倍数,得到的图

形与原图形是位似图形.这个规律是解题的关键.解析如图4-8-6所示,把五边形ABCDE各顶点的横坐标和9题型一

位似图形性质的应用例1如图4-8-7,在水平桌面上有两个“E”,当P1、P2、O这三点在一条

直线上时,在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力

相同.

图4-8-7(1)图4-8-7中b1,b2,l1,l2满足怎样的关系式?(2)若b1=3.2cm,b2=2cm,①号“E”的测试距离l1=8m,要使测得的视力

相同,则②号“E”的测试距离l2应为多少?题型一

位似图形性质的应用(1)图4-8-7中b1,b10解析(1)

=

.理由如下:因为P1D1∥P2D2,所以△P1D1O∽△P2D2O.所以

=

,即

=

.(2)由(1)知

=

,将b1=3.2cm,b2=2cm,l1=8m代入得

=

,所以l2=5m.故②号“E”的测试距离l2=5m.点拨对于实际问题,我们要善于灵活地构建数学模型,再运用所学的

数学知识进行解答.解析(1) = .理由如下:点拨对于实际问题,我们要善于11题型二

根据位似图形的定义作图例2如图4-8-8,将图中的△ABC分别做下列运动,画出相应的图形,指

出三个顶点的坐标所发生的变化.(1)向上平移4个单位;(2)关于y轴对称;(3)以A点为位似中心,放大到原来的两倍.

图4-8-8题型二

根据位似图形的定义作图图4-8-812解析

(1)平移后得△A1B1C1(如图4-8-9),横坐标不变,纵坐标都加4.(2)△A2B2C2(如图4-8-9)为△ABC关于y轴对称的图形,纵坐标不变,横坐

标为对应点横坐标的相反数.(3)放大后得△AB2C3(如图4-8-9),A的坐标不变,B2在B的基础上纵坐标不

变,横坐标加AB的长,C3在C的基础上横坐标加AB的长,纵坐标加BC的长.

图4-8-9点拨作图时要注意位似中心的位置,要区分对应点在位似中心的同侧

和在位似中心的异侧两种情况.解析

(1)平移后得△A1B1C1(如图4-8-9),13易错点

未分类讨论位似中心的位置而出错例若已知点A(-2,4),点B(-4,2),以原点O为位似中心,相似比为1∶2,把

线段AB缩小,求点A、点B的对应点的坐标.解析∵点A(-2,4),点B(-4,2),以原点O为位似中心,相似比为1∶2,把线

段AB缩小,∴点A,B的坐标都乘

或-

即可,则点A的对应点的坐标为(-1,2)或(1,-2),点B的对应点的坐标为(-2,1)或(2,-1).易错警示点A与其对应点在位置上有两种情况,一种是位于点O同侧,

另一种是位于点O异侧,解题时易忽略其中一种情况而出错.易错点

未分类讨论位似中心的位置而出错解析∵点A(-14例假山具有多方面的造景功能,与建筑、植物等组合成富于变化的景致.某公园有一座假山,小亮、小慧等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量这座假山的高度来检验自己掌握知识和运用知识的能力.如图4-8-10,在阳光下,小亮站在水平地面的D处,此时小亮的影子顶端与假山的影子顶端E重合,这时小亮的影长DE=2米,一段时间后,小亮从D点沿BD的方向走了3.6米到达G处,此时小亮的影子顶端与假山的影子顶端H重合,这时小亮的影长GH=2.4米,已知小亮的身高CD=FG=1.5米,点G、E、D均在直线BH上,AB⊥BH,CD⊥BH,GF⊥BH,请你根据题中提供的相关信息,求出假山的高度AB.典例剖析

利用相似求山高

图4-8-10例假山具有多方面的造景功能,与建筑、植物等组合成富于变化的15解析由题意得:∠ABD=∠CDE=∠FGH=90°,∵∠CED=∠AEB,∠AHB=∠FHG,∴△AEB∽△CED,△AHB∽△FHG,∴

=

,

=

,即

=

,

=

,解得AB=15米.∴假山的高度AB为15米.素养呈现本题主要考查了相似三角形的性质,解答这道题的关键是将

实际问题转化为数学问题,即把实际问题抽象到相似三角形.首先判定

△AEB∽△CED,△AHB∽△FHG,根据相似三角形的性质可得:

=

,

=

,再代数求解.解析由题意得:∠ABD=∠CDE=∠FGH=90°,16素养解读数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决问题的过程,数学运算是数学活动的基本形式,也是演绎推理的一种形

式,是得到数学结果的重要手段.复杂图形可转化为基本图形.通过从复

杂图形中分离出基本图形,然后运用基本图形的知识解决问题,也就是

把复杂程序性知识转化为简单程序性知识.在相似三角形的解题中,复

杂图形可转化为基本图形,基本图形是解题的基本线索,因此解决复杂

图形的法宝是把复杂图形转化为基本图形,这样可把复杂的问题转化为

基本问题.素养解读数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解17知识点一

位似变换的定义及性质1.下列图形不是位似图形的是

()

答案

D

选项D中的两个图形的对应点连线所在的直线没有经过同

一点,故选D.知识点一

位似变换的定义及性质答案

D

选182.如图4-8-1,已知△EFH和△MNK是位似图形,那么其位似中心是点

()

图4-8-1A.A

B.B

C.C

D.D答案

B

∵位似图形对应顶点的连线交于一点,即位似中心,∴位似中

心是点B.2.如图4-8-1,已知△EFH和△MNK是位似图形,那么其193.如图4-8-2,△ABC与△DEF是位似图形,相似比是1∶2,已知DE=4,则

AB的长是

()

图4-8-2A.2

B.4

C.8

D.1答案

A∵△ABC与△DEF是位似图形,相似比是1∶2,DE=4,∴AB的

长为

×4=2.故选A.3.如图4-8-2,△ABC与△DEF是位似图形,相似比是1204.如图4-8-3所示,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,已知四边形E-

FGH的面积是3,则四边形ABCD的面积是

()

图4-8-3A.6

B.9

C.12

D.18答案

C∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,∴四边形EFGH与四边形ABCD是位似图形,且相似比为1∶2,∴四边形EFGH与四边形ABCD的面积比为1∶4,∵四边形EFGH的面积是3,∴四边形ABCD的面积是12.故选C.4.如图4-8-3所示,E,F,G,H分别是OA,OB,OC215.如图4-8-4,△ABC与△A'B'C'是位似图形,点A、B、A'、B'、O共线,点

O为位似中心.(1)AC与A'C'平行吗?为什么?(2)若AB=2A'B',OC'=5,求CC'的长.

图4-8-45.如图4-8-4,△ABC与△A'B'C'是位似图形,点A22解析(1)AC∥A'C'.理由如下:∵△ABC与△A'B'C'是位似图形,∴△ABC∽△A'B'C',∴∠A=∠C'A'B',∴AC∥A'C'.(2)由(1)知△ABC∽△A'B'C',∴

=

.∵AB=2A'B',∴

=

.又∵△ABC与△A'B'C'是位似图形,∴

=

=

.∵OC'=5,∴OC=10,∴CC'=OC-OC'=10-5=5.解析(1)AC∥A'C'.理由如下:23知识点二

利用位似变换作图6.如图4-8-5,已知五边形ABCDE,试把它缩小

,你能用几种方法?尽可能地用不同方法画图.

图4-8-5知识点二

利用位似变换作图24解析解法一:在五边形ABCDE的外部任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,

OE;分别取OA,OB,OC,OD,OE的中点A',B',C',D',E',顺次连接A',B',C',D',E',

A',即得五边形A'B'C'D'E',如图.解法二:在五边形ABCDE的外部任取一点O,作直线OA,OB,OC,OD,OE;

在O的另一侧取点A',B',C',D',E',使OA'=

OA,OB'=

OB,OC'=

OC,OD'=OD,OE'= OE,

解析解法一:在五边形ABCDE的外部任取一点O,连接OA,25顺次连接A',B',C',D',E',A',即得五边形A'B'C'D'E',如图.解法三:在五边形的内部任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,OE;分别取OA,

OB,OC,OD,OE的中点A',B',C',D',E',顺次连接A',B',C',D',E',A',即得五边形

A'B'C'D'E',如图.顺次连接A',B',C',D',E',A',即得五边形A'B26解法四:在AB边上取一点O,连接CO,DO,EO;取OA,OB,OC,OD,OE的中点

A',B',C',D',E',顺次连接B',C',D',E',A',即得五边形A'B'C'D'E',如图.解法五:以A点为位似中心,连接AC,AD;分别取AB,AC,AD,AE的中点B',C',D',E',顺次连接B',C',D',E',即得五边形AB'C'D'E',如图.解法四:在AB边上取一点O,连接CO,DO,EO;取OA,O27知识点三

平面直角坐标系中的位似变换7.如图4-8-6,在平面直角坐标系中,以原点为位似中心,将△ABO扩大到原来的2倍,得到△A'B'O.若点A的坐标是(1,2),则点A'的坐标是

()

图4-8-6A.(2,4)

B.(-1,-2)

C.(-2,-4)

D.(-2,-1)答案

C

已知原点O为位似中心,根据图形的坐标特点得出,对应点的

坐标应乘-2,因为点A的坐标是(1,2),所以点A'的坐标是(-2,-4).故选C.知识点三

平面直角坐标系中的位似变换答案

C

288.如图4-8-7,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B(-1,4),C(-3,2).(1)以原点O为位似中心,相似比为1∶2,在y轴的左侧,画出△ABC放大后

的图形△A1B1C1,并直接写出C1点的坐标;(2)若点D(a,b)在线段AB上,请直接写出经过(1)的变换后点D的对应点D1

的坐标.图4-8-78.如图4-8-7,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐29解析

(1)根据题意画出图形,如图所示.

点C1的坐标为(-6,4).(2)点D1的坐标为(2a,2b).解析

(1)根据题意画出图形,如图所示.301.如图所示的四组图形为两个圆或相似的正多边形,其中位似图形的组

数为

()

A.1

B.2

C.3

D.4答案

C如图,根据位似图形的定义可知第1、2、4组图形是位似图

形,而第3组图形对应点的连线不能交于一点,故位似图形有3组.故选C.

1.如图所示的四组图形为两个圆或相似的正多边形,其中位似图形312.如图,四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形,且AC∶AF=2∶3,则下

列结论不正确的是

()A.四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形B.AD与AE的比是2∶3C.四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2∶3D.四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4∶9答案

B

位似图形一定是相似图形,四边形ABCD与四边形AEFG的相

似比为2∶3,而AD与AE不是对应边,它们的比不一定是2∶3,故选B.2.如图,四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形,且AC∶323.如图,已知A(0,-2),B(-2,1),C(3,2).(1)求线段AB、BC、AC的长;(2)把A、B、C三点的横坐标、纵坐标都乘2,得到A'、B'、C'的坐标,求A'B'、B'C'、A'C'的长;(3)△ABC与△A'B'C'的形状相同吗?(4)△ABC与△A'B'C'是位似图形吗?若是,请指出位似中心和相似比.3.如图,已知A(0,-2),B(-2,1),C(3,2).33解析(1)AB=

,BC=

,AC=5.(2)A'(0,-4),B'(-4,2),C'(6,4),A'B'=2

,B'C'=2

,A'C'=10.(3)∵

=

=

=

,∴△ABC∽△A'B'C',故这两个三角形的形状相同.(4)△ABC与△A'B'C'是位似图形,位似中心为原点O,相似比为

.

解析(1)AB= ,BC= ,AC=5.341.如图4-8-8所示,在△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C,并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点B'的横坐标是a,则点B的横坐标是

()图4-8-8A.-

a

B.-

(a+1)C.-

(a-1)

D.-

(a+3)1.如图4-8-8所示,在△ABC中,A,B两个顶点在x轴的35答案

D作BF⊥x轴于点F,作B'E⊥x轴于点E,

则CE=1+a,因为△ABC与△A'B'C的相似比为

,所以CF=

CE=

(a+1),则点F的横坐标为-1-

(a+1)=-

(a+3),则点B的横坐标是-

(a+3).答案

D作BF⊥x轴于点F,作B'E⊥x轴于点E,362.如图4-8-9,线段CD两个端点的坐标分别为C(3,3),D(4,1),以原点O为位

似中心,在第一象限内将线段CD扩大为原来的两倍,得到线段AB,则线

段AB的中点E的坐标为

.

图4-8-9答案

(7,4)解析

∵C(3,3),D(4,1),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段CD扩

大为原来的两倍,∴A(6,6),B(8,2),∵E是AB的中点,∴E(7,4).2.如图4-8-9,线段CD两个端点的坐标分别为C(3,3)373.如图4-8-10,平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为(3,0)、(2,-3),

△AB'O'是△ABO关于点A的位似图形,且O'的坐标为(-1,0),则点B'的坐

标为

.

图4-8-10答案

3.如图4-8-10,平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标38解析如图,作△ABO关于点A的位似图形△AB'O'.过点B'作x轴、y轴的

垂线,垂足分别为C、D,过点B作x轴的垂线,垂足为E.∴BE∥B'C,∴

=

.∵△AB'O'是△ABO关于点A的位似图形,∴△ABO∽△AB'O',∴

=

=

,∴

=

=

.∵A(3,0),O'(-1,0),B(2,-3),∴AO=3,AO'=4,BE=3,AE=1,∴

=

=

,∴B'C=4,AC=

,∴OC=AO-AC=3-

=

,∴B'

.

解析如图,作△ABO关于点A的位似图形△AB'O'.过点B394.如图4-8-11,正三角形ABC的边长为3+

.(1)正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上,在正三角形

ABC及其内部,以A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N',且

使正方形E'F'P'N'的面积最大(不要求写作法);(2)求(1)中作出的正方形E'F'P'N'的边长.

图4-8-114.如图4-8-11,正三角形ABC的边长为3+ .40解析(1)如图,正方形E'F'P'N'即为所求.

(2)设正方形E'F'P'N'的边长为x,∵△ABC是正三角形,∴易求得AE'=BF'=

x,∴x+

x=3+

,∴x=

,即x=3

-3.即正方形E'F'P'N'的边长为3

-3.解析(1)如图,正方形E'F'P'N'即为所求.411.如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比

为1∶

,点A的坐标为(1,0),则E点的坐标为

()A.(-

,0)

B.

C.(-

,-

)

D.(-2,-2)答案

C

∵四边形OABC是正方形,点A的坐标为(1,0),∴B点的坐标为(1,1),∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶

,∴E点的坐标为(-

,-

).故选C.1.如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似422.如图所示,将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点

上),它们是以P点为位似中心的位似图形,则P点的坐标是

()

A.(-4,-3)

B.(-3,-3)

C.(-4,-4)

D.(-3,-4)答案

A设AP=x,由题意可得

=

,解得x=5.由位似图形的定义知点P在A1A的延长线上,∴P(-4,-3).2.如图所示,将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1433.(2015湖北武汉中考)如图,在直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原

点O为位似中心,相似比为

,在第一象限内把线段AB缩小后得到CD,则C的坐标为

()

A.(2,1)

B.(2,0)C.(3,3)

D.(3,1)答案

A根据题意可知,C点横坐标为

×6=2,纵坐标为

×3=1,所以C的坐标为(2,1),故选A.3.(2015湖北武汉中考)如图,在直角坐标系中,有两点A(444.阅读下面材料:如果两个三角形不仅是相似三角形,而且每组对应点所

在的直线都经过同一个点,那么这两个三角形叫做位似三角形,它们的

相似比又称为位似比,这个点叫做位似中心.利用三角形的位似可以将

一个三角形缩小或放大.

4.阅读下面材料:如果两个三角形不仅是相似三角形,而且每组对45(1)选择:如图a,点O是等边△PQR的中心,P'、Q'、R'分别是OP、OQ、

OR的中点,则△P'Q'R'与△PQR是位似三角形,此时,△P'Q'R'与△PQR的

相似比,位似中心分别为

()A.2,点P

B.

,点PC.2,点O

D.

,点O(2)如图b,用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形,阅读后证明.①在△AOB内画等边△CDE,使点C在OA上,点D在OB上;②连接OE并延长交AB于点E',过点E'作E'C'∥EC,交OA于点C',作E'D'∥

ED,交OB于点D';③连接C'D',则△C'D'E'是△AOB的内接三角形.求证:△C'D'E'是等边三角形.(1)选择:如图a,点O是等边△PQR的中心,P'、Q'、R46解析(1)D观察题图a知,点O是位似中心,根据三角形中位线定理可

推出相似比为1∶2,故选D.(2)证明:∵EC∥E'C',∴

=

,∠CEO=∠C'E'O.∵ED∥E'D',∴

=

,∠DEO=∠D'E'O,故

=

,∠CED=∠C'E'D'.∵△CDE是等边三角形,∴CE=ED,∠CED=60°.∴C'E'=E'D',∠C'E'D'=60°,∴△C'D'E'是等边三角形.解析(1)D观察题图a知,点O是位似中心,根据三角形中位471.(2018江苏无锡九中期中,5,★☆☆)在平面直角坐标系中,点A(6,3),以

原点O为位似中心,在第一象限内把线段OA缩小为原来的

得到线段OC,则点C的坐标为

()A.(2,1)

B.(2,0)

C.(3,3)

D.(3,1)一、选择题答案

A以原点O为位似中心,在第一象限内将其缩小为原来的

,则点A的对应点C的坐标为

,即(2,1),故选A.1.(2018江苏无锡九中期中,5,★☆☆)在平面直角坐标系482.(2017河南模拟,7,★★☆)如图4-8-12,在正方形网格中,每个小正方形

的边长是1个单位长度,以点C为位似中心,在网格中画△A1B1C,使△A1B1

C与△ABC位似,且△A1B1C与△ABC的相似比为2∶1,则点B1的坐标可以

为()A.(3,-2)

B.(4,0)

C.(5,-1)

D.(5,0)图4-8-12答案

B由题图可知,点B的坐标为(3,-2),以点C为位似中心,在网格中

画△A1B1C,使△A1B1C与△ABC位似,且△A1B1C与△ABC的相似比为2∶1,则点B1的坐标为(4,0)或(0,-8).故选B.2.(2017河南模拟,7,★★☆)如图4-8-12,在正方49三、填空题3.(2017安徽四模,18,★★☆)如图4-8-13,在6×8的网格图中,每个小正方

形的边长均为1,点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.(1)以O为位似中心,在网格图中作△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC位似,且

相似比为1∶2;(2)求四边形AA'C'C的周长.(结果保留根号)

图4-8-13三、填空题50解析(1)如图所示,△A'B'C'即为所求作的三角形.

(2)根据勾股定理,得AC=

=2

,A'C'=

=

,所以四边形AA'C'C的周长为1+

+2+2

=3+3

.解析(1)如图所示,△A'B'C'即为所求作的三角形.514.(2017湖南永州冷水滩一模,23,★★☆)如图4-8-14,图中的小方格都是

边长为1的正方形,△ABC与△A'B'C'的顶点都在格点上.(1)求证:△ABC∽△A'B'C';(2)△A'B'C'与△ABC是位似图形吗?如果是,在图4-8-14中画出位似中心

并求出相似比.

图4-8-144.(2017湖南永州冷水滩一模,23,★★☆)如图4-8-52解析(1)证明:易知AB=

,BC=

,AC=2

,A'B'=2

,B'C'=2

,A'C'=4

,∴

=

=

=

,∴△ABC∽△A'B'C'.(2)如图所示,两三角形对应点的连线相交于一点,故△A'B'C'与△ABC是

位似图形,O即为位似中心,相似比为2.

解析(1)证明:易知AB= ,BC= ,AC=2 ,A'B531.(2017广东佛山顺德月考,7,★★☆)如图,线段AB两个端点的坐标分别

为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原

来的

后得到线段CD,则端点D的坐标为

()A.(3,3)

B.(4,3)

C.(3,1)

D.(4,1)答案

D∵线段AB的两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的

后得到线段CD,∴端点D的横坐标和纵坐标都为B点的横、纵坐标的一半,∴端点D的坐标为(4,1).故选D.1.(2017广东佛山顺德月考,7,★★☆)如图,线段AB两542.(2017甘肃白银景泰四中二模,20,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,

已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-3,4),C(-2,6).(1)画出△ABC,将它绕点A顺时针旋转90°后得到△A1B1C1,并写出点C1的

坐标;(2)以原点O为位似中心,画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的

△A2B2C2,并计算△A2B2C2的面积.2.(2017甘肃白银景泰四中二模,20,★★☆)如图,在平55解析(1)△ABC,△A1B1C1如图所示,C1(3,3).

(2)△A2B2C2如图所示.

=4S△ABC=4×

2×4-

×1×2-

×1×4-

×2×2

=12.解析(1)△ABC,△A1B1C1如图所示,C1(3,3)561.(2017四川成都中考,8,★★☆)如图4-8-15,四边形ABCD和A'B'C'D'是

以点O为位似中心的位似图形,若OA∶OA'=2∶3,则四边形ABCD与四

边形A'B'C'D'的面积比为

()图4-8-15A.4∶9

B.2∶5

C.2∶3

D.

∶

一、选择题答案

A由位似图形的性质知

=

=

,所以

=

=

.故选A.1.(2017四川成都中考,8,★★☆)如图4-8-15,四572.(2017四川遂宁中考,14,★★☆)如图4-8-16,直线y=

x+1与x轴,y轴分别交于A、B两点,△BOC与△B'O'C'是以点A为位似中心的位似图形,且相

似比为1∶2,则点B'的坐标为

.

图4-8-16二、填空题2.(2017四川遂宁中考,14,★★☆)如图4-8-16,58答案(-9,-2)或(3,2)解析

y=

x+1与x轴,y轴分别交于A、B两点,令x=0,得y=1;令y=0,得x=-3,∴点A和点B的坐标分别为(-3,0),(0,1).∵△BOC与△B'O'C'是以点A为位似中心的位似图形,且相似比为1∶2,∴

=

=

,∴O'B'=2,AO'=6,∴当点B'在第一象限时,B'的坐标为(3,2);当点B'在第三象限时,B'的坐标为(-9,-2),∴B'的坐标为(-9,-2)或(3,2).答案(-9,-2)或(3,2)解析

y= x+1与x593.(2017广西柳州中考,21,★★☆)如图4-8-17,以原点O为位似中心,把△OAB放大后得到△OCD,求△OAB与△OCD的相似比.

图4-8-17三、解答题解析∵△OAB与△OCD是位似图形,∴△OAB∽△OCD.由题图得OB=4,OD=6,∴OB∶OD=4∶6=2∶3.∴△OAB与△OCD的相似比为2∶3.3.(2017广西柳州中考,21,★★☆)如图4-8-17,604.(2017四川凉山州中考,21,★★☆)如图4-8-18,在边长为1的正方形网

格中建立平面直角坐标系,已知△ABC三个顶点分别为A(-1,2)、B(2,1)、C(4,5).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;(2)以原点O为位似中心,在x轴的上方画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC

位似,且相似比为2,并求出△A2B2C2的面积.图4-8-184.(2017四川凉山州中考,21,★★☆)如图4-8-1861解析(1)如图所示,△A1B1C1就是所求作的三角形.(2)如图所示,△A2B2C2就是所求作的三角形.

S△ABC=5×4-

×3×5-

×1×3-

×2×4=20-

-

-4=7.∵△A2B2C2与△ABC位似,且相似比为2,∴

=4×7=28.解析(1)如图所示,△A1B1C1就是所求作的三角形.∵△621.(2017黑龙江绥化中考,6,★★☆)△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心

经过位似变换得到的,若△A'B'C'的面积与△ABC的面积比是4∶9,则OB'∶OB为

()

A.2∶3

B.3∶2C.4∶5

D.4∶9答案

A位似三角形一定是相似三角形,则这两个相似三角形的面积

比为4∶9,其相似比是面积比的算术平方根,所以OB'∶OB是2∶3,故选A.1.(2017黑龙江绥化中考,6,★★☆)△A'B'C'是△632.(2017湖南长沙中考,16,★★☆)如图,△ABO三个顶点的坐标分别为A

(2,4),B(6,0),O(0,0),以原点O为位似中心,把这个三角形缩小为原来的

,可以得到△A'B'O,已知点B'的坐标是(3,0),则点A'的坐标是

.

答案(1,2)解析根据位似变换的性质及已知可得,点A'的坐标为(1,2).2.(2017湖南长沙中考,16,★★☆)如图,△ABO三个643.(2017山东烟台中考,16,★★☆)如图,在直角坐标系中,每个小方格的

边长均为1.△AOB与△A'OB'是以原点O为位似中心的位似图形,且相似

比为3∶2,点A,B都在格点上,则点B'的坐标是

.

答案

解析由题意,知将点B的横、纵坐标分别乘-

,得点B'的坐标.由B的坐标为(3,-2),得B'的坐标为

.3.(2017山东烟台中考,16,★★☆)如图,在直角坐标系651.如图4-8-19,正方形A1B1C1D1可看成是分别以A、B、C、D为位似中心

将正方形ABCD放大一倍得到的图形(将正方形ABCD的边长放大到原

来的3倍),由正方形ABCD到正方形A1B1C1D1,我们称作了一次变换,再将

正方形A1B1C1D1作一次变换就得到正方形A2B2C2D2,……,依次进行下去,

作了2005次变换后得到正方形A2005B2005C2005D2005,若正方形ABCD的面积

是1,那么正方形A2005B2005C2005D2005的面积是

()

图4-8-19A.32005

B.32004C.34010

D.34009

1.如图4-8-19,正方形A1B1C1D1可看成是分别以A66答案

C∵正方形ABCD的面积为1,∴AB=BC=CD=DA=1,作一次变

换后正方形的边长为3=31,作两次变换后正方形的边长为9=32,作三次变

换后正方形的边长为27=33,……,作n次变换后正方形的边长为3n,故作2005次变换后正方形的边长为32005,此时正方形的面积为32005×32005=34010.

故选C.答案

C∵正方形ABCD的面积为1,∴AB=BC=C672.如图4-8-20,某小区原有一矩形花坛,现对小区进行规划,按要求作出相

应的位似图形.(1)在原地将花坛扩建,使各边的对应边为原来的3倍;(2)在异地修建一块矩形草坪,使它与花坛的对应边的比为4∶1,你能设

计出图纸吗?

图4-8-202.如图4-8-20,某小区原有一矩形花坛,现对小区进行规划68解析(1)取矩形ABCD的对角线的交点O为位似中心,①作射线OA,OB,

OC,OD;②分别在射线OA,OB,OC,OD上取点E,F,G,H,使得

=

=

=

=3;③连接EF,FG,GH,HE,四边形EFGH即为所求作的图形,如图.

(2)能.在矩形ABCD外取一点O为位似中心,①作射线OA,OB,OC,OD;②分别在射线OA,OB,OC,OD上取点E,F,G,H,使得

=

=

=

=4;③连接EF,FG,GH,HE,四边形EFGH即为所求作的图形,如图.解析(1)取矩形ABCD的对角线的交点O为位似中心,①作射69初中数学（北师大版）九年级上册第四章图形的相似初中数学（北师大版）第四章图形的相似知识点一

位似变换的定义及性质定义一般地,如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P'所在的直线都经过同一点O,且有OP'=k·OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形有关概念在位似多边形的定义中,点O叫做位似中心,k叫做这两个位似多边形的相似比基本图形由于位似中心的位置不同,位似多边形的基本形式有三种(如图),即点O在两个多边形的同侧;点O在两个多边形之间;点O在两个多边形的内部

性质(1)位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比;(2)位似图形的对应点连线交于一点;(3)位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等;(4)位似图形是相似图形,所以它具有相似图形的一切性质温馨提示(1)位似图形中任意两对对应点的连线的交点就是位似中心;(2)一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似知识点一

位似变换的定义及性质定义一般地,如果两个相似71例1图4-8-1的3组图形中,位似图形有

()

图4-8-1A.0组

B.1组

C.2组

D.3组解析

根据位似图形的定义可知相似且每组对应点所在的直线都经过

同一个点的两个图形是位似图形,所以第一组和第三组是位似图形.故

选C.答案

C例1图4-8-1的3组图形中,位似图形有 ()解析

72知识点二

利用位似变换作图

知识拓展几种画位似图形的方法:方法一:未确定位似中心,依照比例画位似图形.如图4-8-2所示,任意取一点O,连接OA,OB,OC,分别在OA,OB,OC上按照知识点二

利用位似变换作图73题目要求取A',B',C',得到△A'B'C',△A'B'C'即为所求.方法二:位似中心在顶点处,延长图形的边画位似图形.如图4-8-3所示,以C点为位似中心,将AC与BC延长到指定的倍数,得到点

A',B',连接A'B',得到△A'B'C,△A'B'C即为所求.

图4-8-2图4-8-3友情提示在画位似图形时,一定要注意相似比,不要把相似比弄错,该

放大的图形缩小了或该缩小的图形放大了.题目要求取A',B',C',得到△A'B'C',△A'B'C74例2画一个三角形,使它与已知△ABC位似(如图4-8-4),且原三角形与所画三角形的相似比为3∶1.图4-8-4例2画一个三角形,使它与已知△ABC位似(如图4-8-4)75解析作法一:(平行截取法)在AB上取一点D,使AD=

AB,过D作DE∥BC,交AC于E,则△ADE即为所求,如图4-8-5(1).作法二:(反向延长法)延长CA到C',使得AC'=

AC,延长BA到B',使得AB'=

AB,连接B'C',则△AB'C'即为所求,如图4-8-5(2).作法三:(位似图形法)任取一点O,连接OA、OB、OC.取OA、OB、OC

的三等分点A'、B'、C'(靠近O的点),连接A'B',B'C'、C'A',则△A'B'C'即为

所求,如图4-8-5(3).图4-8-5点拨本题作图方法很多,注意根据题目的要求选择画法.解析作法一:(平行截取法)在AB上取一点D,使AD= AB76知识点三

平面直角坐标系中的位似变换当以坐标原点为位似中心时,若原图形上点的坐标为(x,y),位似图

形与原图形的相似比为k,则位似图形上的对应点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).注意(1)运用此性质可在平面直角坐标系中对图形进行放大(或缩小),

并且放大(或缩小)前后的两个图形是以原点为位似中心的位似图形.(2)当k>0时,两个图形在位似中心的同侧;当k<0时,两个图形在位似中心

的两侧.例3在直角坐标系中,五边形ABCDE的五个顶点的坐标分别为A(-2,3),

B(-4,2),C(-3,0),D(-1,1),E(-1,2),以坐标原点为位似中心,将五边形ABCDE

放大,使放大后的多边形的边是原五边形对应边的2倍,比较放大后的图形,你能得到什么结论?知识点三

平面直角坐标系中的位似变换形,你能得到什么结77解析如图4-8-6所示,把五边形ABCDE各顶点的横坐标和纵坐标都乘

2,得A'(-4,6),B'(-8,4),C'(-6,0),D'(-2,2),E'(-2,4),依次连接A'B',B'C',C'D',D'E',

E'A',得五边形A'B'C'D'E'.把五边形ABCDE各顶点的横坐标和纵坐标都

乘-2,得A″(4,-6),B″(8,-4),C″(6,0),D″(2,-2),E″(2,-4),依次连接A″B″,B″C″,C″D″,D″E″,E″A″,得五边形A″B″C″D″E″.结论:五边形A'B'C'D'E'和五边形A″B″C″D″E″关于原点O中心对称.图4-8-6点拨把一个多边形各顶点的横、纵坐标都扩大相同的倍数,得到的图

形与原图形是位似图形.这个规律是解题的关键.解析如图4-8-6所示,把五边形ABCDE各顶点的横坐标和78题型一

位似图形性质的应用例1如图4-8-7,在水平桌面上有两个“E”,当P1、P2、O这三点在一条

直线上时,在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力

相同.

图4-8-7(1)图4-8-7中b1,b2,l1,l2满足怎样的关系式?(2)若b1=3.2cm,b2=2cm,①号“E”的测试距离l1=8m,要使测得的视力

相同,则②号“E”的测试距离l2应为多少?题型一

位似图形性质的应用(1)图4-8-7中b1,b79解析(1)

=

.理由如下:因为P1D1∥P2D2,所以△P1D1O∽△P2D2O.所以

=

,即

=

.(2)由(1)知

=

,将b1=3.2cm,b2=2cm,l1=8m代入得

=

,所以l2=5m.故②号“E”的测试距离l2=5m.点拨对于实际问题,我们要善于灵活地构建数学模型,再运用所学的

数学知识进行解答.解析(1) = .理由如下:点拨对于实际问题,我们要善于80题型二

根据位似图形的定义作图例2如图4-8-8,将图中的△ABC分别做下列运动,画出相应的图形,指

出三个顶点的坐标所发生的变化.(1)向上平移4个单位;(2)关于y轴对称;(3)以A点为位似中心,放大到原来的两倍.

图4-8-8题型二

根据位似图形的定义作图图4-8-881解析

(1)平移后得△A1B1C1(如图4-8-9),横坐标不变,纵坐标都加4.(2)△A2B2C2(如图4-8-9)为△ABC关于y轴对称的图形,纵坐标不变,横坐

标为对应点横坐标的相反数.(3)放大后得△AB2C3(如图4-8-9),A的坐标不变,B2在B的基础上纵坐标不

变,横坐标加AB的长,C3在C的基础上横坐标加AB的长,纵坐标加BC的长.

图4-8-9点拨作图时要注意位似中心的位置,要区分对应点在位似中心的同侧

和在位似中心的异侧两种情况.解析

(1)平移后得△A1B1C1(如图4-8-9),82易错点

未分类讨论位似中心的位置而出错例若已知点A(-2,4),点B(-4,2),以原点O为位似中心,相似比为1∶2,把

线段AB缩小,求点A、点B的对应点的坐标.解析∵点A(-2,4),点B(-4,2),以原点O为位似中心,相似比为1∶2,把线

段AB缩小,∴点A,B的坐标都乘

或-

即可,则点A的对应点的坐标为(-1,2)或(1,-2),点B的对应点的坐标为(-2,1)或(2,-1).易错警示点A与其对应点在位置上有两种情况,一种是位于点O同侧,

另一种是位于点O异侧,解题时易忽略其中一种情况而出错.易错点

未分类讨论位似中心的位置而出错解析∵点A(-83例假山具有多方面的造景功能,与建筑、植物等组合成富于变化的景致.某公园有一座假山,小亮、小慧等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量这座假山的高度来检验自己掌握知识和运用知识的能力.如图4-8-10,在阳光下,小亮站在水平地面的D处,此时小亮的影子顶端与假山的影子顶端E重合,这时小亮的影长DE=2米,一段时间后,小亮从D点沿BD的方向走了3.6米到达G处,此时小亮的影子顶端与假山的影子顶端H重合,这时小亮的影长GH=2.4米,已知小亮的身高CD=FG=1.5米,点G、E、D均在直线BH上,AB⊥BH,CD⊥BH,GF⊥BH,请你根据题中提供的相关信息,求出假山的高度AB.典例剖析

利用相似求山高

图4-8-10例假山具有多方面的造景功能,与建筑、植物等组合成富于变化的84解析由题意得:∠ABD=∠CDE=∠FGH=90°,∵∠CED=∠AEB,∠AHB=∠FHG,∴△AEB∽△CED,△AHB∽△FHG,∴

=

,

=

,即

=

,

=

,解得AB=15米.∴假山的高度AB为15米.素养呈现本题主要考查了相似三角形的性质,解答这道题的关键是将

实际问题转化为数学问题,即把实际问题抽象到相似三角形.首先判定

△AEB∽△CED,△AHB∽△FHG,根据相似三角形的性质可得:

=

,

=

,再代数求解.解析由题意得:∠ABD=∠CDE=∠FGH=90°,85素养解读数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决问题的过程,数学运算是数学活动的基本形式,也是演绎推理的一种形

式,是得到数学结果的重要手段.复杂图形可转化为基本图形.通过从复

杂图形中分离出基本图形,然后运用基本图形的知识解决问题,也就是

把复杂程序性知识转化为简单程序性知识.在相似三角形的解题中,复

杂图形可转化为基本图形,基本图形是解题的基本线索,因此解决复杂

图形的法宝是把复杂图形转化为基本图形,这样可把复杂的问题转化为

基本问题.素养解读数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解86知识点一

位似变换的定义及性质1.下列图形不是位似图形的是

()

答案

D

选项D中的两个图形的对应点连线所在的直线没有经过同

一点,故选D.知识点一

位似变换的定义及性质答案

D

选872.如图4-8-1,已知△EFH和△MNK是位似图形,那么其位似中心是点

()

图4-8-1A.A

B.B

C.C

D.D答案

B

∵位似图形对应顶点的连线交于一点,即位似中心,∴位似中

心是点B.2.如图4-8-1,已知△EFH和△MNK是位似图形,那么其883.如图4-8-2,△ABC与△DEF是位似图形,相似比是1∶2,已知DE=4,则

AB的长是

()

图4-8-2A.2

B.4

C.8

D.1答案

A∵△ABC与△DEF是位似图形,相似比是1∶2,DE=4,∴AB的

长为

×4=2.故选A.3.如图4-8-2,△ABC与△DEF是位似图形,相似比是1894.如图4-8-3所示,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,已知四边形E-

FGH的面积是3,则四边形ABCD的面积是

()

图4-8-3A.6

B.9

C.12

D.18答案

C∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,∴四边形EFGH与四边形ABCD是位似图形,且相似比为1∶2,∴四边形EFGH与四边形ABCD的面积比为1∶4,∵四边形EFGH的面积是3,∴四边形ABCD的面积是12.故选C.4.如图4-8-3所示,E,F,G,H分别是OA,OB,OC905.如图4-8-4,△ABC与△A'B'C'是位似图形,点A、B、A'、B'、O共线,点

O为位似中心.(1)AC与A'C'平行吗?为什么?(2)若AB=2A'B',OC'=5,求CC'的长.

图4-8-45.如图4-8-4,△ABC与△A'B'C'是位似图形,点A91解析(1)AC∥A'C'.理由如下:∵△ABC与△A'B'C'是位似图形,∴△ABC∽△A'B'C',∴∠A=∠C'A'B',∴AC∥A'C'.(2)由(1)知△ABC∽△A'B'C',∴

=

.∵AB=2A'B',∴

=

.又∵△ABC与△A'B'C'是位似图形,∴

=

=

.∵OC'=5,∴OC=10,∴CC'=OC-OC'=10-5=5.解析(1)AC∥A'C'.理由如下:92知识点二

利用位似变换作图6.如图4-8-5,已知五边形ABCDE,试把它缩小

,你能用几种方法?尽可能地用不同方法画图.

图4-8-5知识点二

利用位似变换作图93解析解法一:在五边形ABCDE的外部任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,

OE;分别取OA,OB,OC,OD,OE的中点A',B',C',D',E',顺次连接A',B',C',D',E',

A',即得五边形A'B'C'D'E',如图.解法二:在五边形ABCDE的外部任取一点O,作直线OA,OB,OC,OD,OE;

在O的另一侧取点A',B',C',D',E',使OA'=

OA,OB'=

OB,OC'=

OC,OD'=OD,OE'= OE,

解析解法一:在五边形ABCDE的外部任取一点O,连接OA,94顺次连接A',B',C',D',E',A',即得五边形A'B'C'D'E',如图.解法三:在五边形的内部任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,OE;分别取OA,

OB,OC,OD,OE的中点A',B',C',D',E',顺次连接A',B',C',D',E',A',即得五边形

A'B'C'D'E',如图.顺次连接A',B',C',D',E',A',即得五边形A'B95解法四:在AB边上取一点O,连接CO,DO,EO;取OA,OB,OC,OD,OE的中点

A',B',C',D',E',顺次连接B',C',D',E',A',即得五边形A'B'C'D'E',如图.解法五:以A点为位似中心,连接AC,AD;分别取AB,AC,AD,AE的中点B',C',D',E',顺次连接B',C',D',E',即得五边形AB'C'D'E',如图.解法四:在AB边上取一点O,连接CO,DO,EO;取OA,O