【知识点解析】《复数的概念》知识卡片大全

数系扩充的一般原则是什么？一般来说，数的概念在扩大时，要遵循如下几项原则：（1）增添新元素，新旧元素在一起构成新数集；（2）在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质（如运算定律）依然适用；（3）旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系保持不变；（4）新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾．如何理解虚数单位i的性质？（1）它的平方等于－1，即i2＝－1．（2）i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．由于i2＜0与实数集中a2≥0（a∈R）矛盾，所以实数集中的很多结论在复数集中不再成立．注意：复数没有大小之分，但有等与不等之分．如何理解应用复数的分类？（1）复数写成代数形式z＝a＋bi（a，b∈R）后，才可以根据实、虚部分类．（2）各类特殊的复数可由实部、虚部所满足的条件确定，应用时由此列出方程或不等式（组）即可．（3）准确把握复数集内各子集间的关系，有利于对复数概念的理解．复数是实数的充要条件复数是实数的充要条件：（1）z＝a＋bi（a，b∈R）∈R⇔b＝0．（2）z∈R⇔z＝

．（3）z∈R⇔z2≥0．复数是纯虚数的充要条件复数是纯虚数的充要条件：（1）z＝a＋bi（a，b∈R）是纯虚数⇔a＝0，且b≠0．（2）z是纯虚数⇔z＋

＝0（z≠0）．（3）z是纯虚数⇔z2<0．复数相等的充要条件复数相等的充要条件：a＋bi＝c＋di⇔（a，b，c，d∈R）．处理复数概念问题的两个注意点（1）当复数不是a＋bi（a，b∈R）的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部．（2）求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根．理解复数的几何意义复数的几何意义：（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）的对应点的坐标为（a，b），而不是（a，bi）；（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）的对应向量

是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与

相等的向量有无数个．复数的模的认识复数的模：（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模

；（2）从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点z和原点间的距离．在复平面内确定复数对应点的步骤步骤：（1）由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi（a，b∈R）确定有序实数对（a，b）．（2）由有序实数对（a，b）确定复平面内的点Z（a，b）．实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．利用复数与点的对应解题的步骤（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，是解决此类问题的根据．（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解．复数模的计算方法（1）计算复数的模，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．（2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．复数与复平面内向量的关系（1）以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．（2）复数的模从几何意义上来讲，表示复数对应的点