【教学课件】环节二 导数的概念及其几何意义

导数的概念及其意义环节二导数的概念及其几何意义高台跳水运动员的速度平均速度瞬时速度抛物线的切线斜率割线斜率切线斜率问题1上节课的两类问题解决方法有什么共性？——平均变化率——平均变化率——瞬时变化率——瞬时变化率答案都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.导数的概念一般地，对于函数

y＝f(x)，你能用“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法研究其在某点(如

x＝

x0）处的瞬时变化率吗？问题2导数的概念为了研究函数

y＝f(x)在

x＝

x0处的瞬时变化率，我们可以研究哪个范围内函数值的平均变化率呢？追问1高台跳水运动员的速度平均速度瞬时速度抛物线的切线斜率割线斜率切线斜率——平均变化率——平均变化率——瞬时变化率——瞬时变化率导数的概念为了研究函数

y＝f(x)在

x＝

x0处的瞬时变化率，我们可以选取自变量x的一个改变量

，可以是正值，也可以是负值，但不为

0，计算自变量x从x0变化到

这个过程中函数值的平均变化率.答案为了研究函数

y＝f(x)在

x＝

x0处的瞬时变化率，我们可以研究哪个范围内函数值的平均变化率呢？追问1导数的概念自变量

x从

x0变化到

这个过程中，函数值的平均变化率如何表示呢？追问2自变量

x：函数值

y：函数

y＝f(x)分析：

函数

y＝f(x)从x0到的平均变化率：答案导数的概念函数

y＝f(x)在

x＝x0

处的瞬时变化率该如何表示呢？追问3高台跳水运动员的速度瞬时速度抛物线的切线斜率切线斜率——瞬时变化率——瞬时变化率导数的概念无限趋近于无限趋近于无限趋近于函数

y＝f(x)分析：导数的概念当

无限趋近于0时，平均变化率

是否一定会无限趋近于一个确定的值呢？追问4考查f(x)＝|x|在x＝0附近的变化情况.举反例：当时，当时，这说明当

无限趋近于0时，平均变化率

不一定能无限趋近于一个确定的值.答案导数的概念导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.如果当无限趋近于0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即

有极限，我们称y＝

f(x)在

x

＝

x0

处可导，并把这个确定的值叫做y＝

f(x)在

x

＝

x0

处的导数

(也称为瞬时变化率)，记作

或.用极限符号表示这个定义，就是定义：导数的概念根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？问题3高台跳水运动员的速度平均速度瞬时速度答案由导数的定义可知，运动员在

时刻的瞬时速度就是函数

在

处的导数

；导数的概念根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？问题3抛物线的切线斜率割线斜率切线斜率答案抛物线

在点

处的切线的斜率，就是函数

在

处的导数.导数的概念

实际上，导数可以描述许多运动变化事物的瞬时变化率.比如效率、国内生产总值的增长率等.导数的概念例1设

，求分析：因为所以为了便于计算，我们可以先求出

，再对它取极限.导数的概念解：例1设

，求导数的概念你能总结出求函数

y＝f(x)在

x＝x0

处导数的步骤吗？追问第二步，求极限，

若存在，则第一步，写出并化简；答案导数的概念这个实际问题与导数有什么关系？追问1例2

将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.

已知在第

xh时，原油的温度（单位：℃）为

计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.导数是瞬时变化率的数学表达.答案导数的概念解：在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是

和所以因为同理，导数的概念在本题中

是原油温度在时刻

x0的瞬时变化率，它反映的是原油温度在时刻x0附近的变化情况.

表示在第2h时，原油温度的瞬时变化率为－3℃/h.这说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降.导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势.答案和在这个实际问题中的意义是什么？追问2导数的概念

表示在第6h时，原油温度的瞬时变化率为5℃/h，这说明在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升.导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势.和在这个实际问题中的意义是什么？答案追问2导数的概念例3一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度（单位：m/s）为

y＝v(t)＝－t2＋6t＋60，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.速度与瞬时加速度的关系是什么？瞬时加速度就是速度的瞬时变化率.追问1答案导数的概念解：在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是

和所以因为同理，导数的概念和在这个实际问题中的意义是什么？在本题中

是t0时刻汽车的瞬时加速度，反映了速度在t0时刻附近的变化情况.

表示在第2s时，汽车的瞬时加速度是2m/s2，这说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s.导数(瞬时变化率)为正，体现了增加的变化趋势.追问2答案导数的概念

表示在第6s时，汽车的瞬时加速度是－6m/s2，这说明在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s.导数(瞬时变化率)为负，体现了减少的变化趋势.和在这个实际问题中的意义是什么？追问2答案导数的概念瞬时速度是位移的瞬时变化率，瞬时加速度是速度的瞬时变化率.根据路程关于时间的函数求速度与加速度是一类基本问题，它和求已知曲线的切线这两类问题直接促进了导数的产生.导数的概念从求函数

y＝f(x)在

x＝x0处导数的过程可以看到，当

x＝x0时，

是一个唯一确定的数.这样，当

x变化时，

就是

x的函数，我们称它为

y＝f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作

，即定义：导数的概念导数

是否具有几何意义？问题4导数的几何意义平均变化率的几何意义是什么？追问1分析：导数的几何意义过点

和点的直线的斜率.追问1分析：平均变化率的几何意义是什么？导数的几何意义平均变化率的几何意义是割线P0P的斜率k.追问1平均变化率的几何意义是什么？答案导数的几何意义导数的几何意义应该如何理解？追问2分析：导数的几何意义能否根据上述过程给切线下个定义？问题5xf(x)

在曲线

y＝

f(x)上任取一点

P(x，f(x))，如果当点

P沿着曲线

y＝

f(x)无限趋近于点

P0(x0，f(x0))时，割线

P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线

P0T称为曲线

y＝

f(x)在点

P0处的切线

.定义：导数的几何意义导数

的几何意义是什么？问题6点

P→点

P0割线

P0P的斜率

k切线

P0T的斜率

k0分析：导数的几何意义函数

y＝f(x)在

x＝x0处的导数曲线

y＝f(x)在点P0(x0，f(x0))处切线的斜率

k0导数

的几何意义是什么？问题6答案导数的几何意义函数

y＝f(x)在

x＝x0处的导数数形转化曲线

y＝f(x)在点

P0(x0，f(x0))处切线的斜率

k0导数

的几何意义是什么？问题5答案导数的几何意义分析：切点是切线上一点，只需要再求出切线的斜率.切线的斜率等于相应函数在切点处的导数.例4求曲线y＝－2x2＋1在点(1，－1)处的切线方程.导数的几何意义例4求曲线y＝－2x2＋1在点(1，－1)处的切线方程.解：设所以，所求切线方程为整理得导数的几何意义

解决切线问题的关键是利用导数的几何意义求出切线的斜率.导数的几何意义xf(x)图中哪条直线最贴近点P0附近的曲线？在点

P0附近，曲线y＝

f(x)可以用点

P0处的切线

P0T近似代替，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲.问题7答案导数的几何意义例5图中是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数

h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的图象.根据图象，请描述、比较曲线

h(t)在t＝t0，t1，t2附近的变化情况.导数的几何意义如何描述曲线

h(t)在

t＝t0，t1，t2附近的变化情况？在

t＝t0，t1，t2处的切线在

t＝t0，t1，t2附近的曲线近似代替斜率刻画追问1分析：导数的几何意义解：用曲线

h(t)在

t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线

h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当

t＝t0时，

曲线

h(t)在

t＝t0处的切线

l0平行于

t轴，这时，在

t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.导数的几何意义(2)当

t＝t1时，

曲线

h(t)在

t＝t1处的切线

l1的斜率这时，在

t＝t1附近曲线下降，即函数

h(t)在t＝t1附近单调递减.用曲线

h(t)在

t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线

h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.解：导数的几何意义(3)当

t＝t2时，

曲线

h(t)在

t＝t2处的切线

l2的斜率这时，在

t＝t2附近曲线下降，即函数

h(t)在t＝t2附近单调递减.用曲线

h(t)在

t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线

h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.解：导数的几何意义曲线

h(t)在

t＝t1和

t＝t2附近都是下降的，两个时刻的下降趋势是否有区别呢？追问2导数的几何意义直线

l1的倾斜程度小于直线

l2的倾斜程度曲线

h(t)在

t＝t1附近比在

t＝t2附近下降得缓慢.解：导数的几何意义在

t＝t0，t1，t2处的切线在

t＝t0，t1，t2附近的曲线近似代替斜率刻画直线

l1的倾斜程度小于直线

l2的倾斜程度曲线

h(t)在

t＝t1附近比在

t＝t2附近下降得缓慢.以直代曲解：导数的几何意义斜率的正负：增减趋势斜率的大小：增减快慢在

t＝t0，t1，t2处的切线在

t＝t0，t1，t2附近的曲线近似代替斜率刻画直线

l1的倾斜程度小于直线

l2的倾斜程度曲线

h(t)在

t＝t1附近比在

t＝t2附近下降得缓慢.以直代曲解：导数的几何意义思考：请描述曲线

h(t)在

t＝t3，t4附近增（减）以及增（减）快慢的情况.导数的几何意义例6图中是人体血管中药物浓度

c＝f(t)(单位：mg/mL)随时间

t(单位：min)变化的函数图象.根据图象，估计

t＝0.2，0.4，0.6，0.8min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).导数的几何