2022-2023学年福建省泉州市南桥中学高二数学文联考试题含解析

2022-2023学年福建省泉州市南桥中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知的左、右焦点，是椭圆上位于第一象限内的一点，点也在椭参考答案：A略2.f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4参考答案：C【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，判断函数在区间上的增减性，比较函数值的大小，求出最大值，从而求解．【解答】解：f'（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），令f'（x）=0可得x=0或2（2舍去），当﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，∴当x=0时，f（x）取得最大值为f（0）=2．故选C3.函数的最大值为（

）A．1

B．

C．

D．2参考答案：B4.已知已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的离心率为（

）

A.2

B.

C.

D.参考答案：A略5.已知命题：，则（

）

A．

B．C．

D．参考答案：C略6.过正方形ABCD的顶点A作线段，且PA=AB，则平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为

（）A

B

C

D

参考答案：C7.曲线上的点到直线的最短距离是(

)

A．

B．

C．

D．0参考答案：B设为曲线上的任意一点，则由，所以，所以点（1,0）到直线的距离最短，最短距离为。8.若椭圆的方程为，且焦点在x轴上,焦距为4，则实数a等于

A.2

B．4

C．6

D．8参考答案：B9.函数f（x）=x3+x﹣3的一个零点所在的区间为（）A．（0，） B．（，1） C．（1，） D．（，2）参考答案：C【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的解析式求函数的值，再根据判断函数的零点的判定定理，求得函数零点所在的区间．【解答】解：由函数的解析式得f（1）=﹣1＜0，f（）=＞0，∴f（1）f（）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数零点所在的区间为（1，），故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，根据函数的解析式求函数的值，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．10.甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，则下列叙述正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定 B．＞，甲比乙成绩稳定C．＜，乙比甲成绩稳定 D．＜，甲比乙成绩稳定参考答案：C【考点】茎叶图．【分析】分别求出甲、乙二人的平均成绩和方差，由此能求出结果．【解答】解：甲的平均成绩=（73+78+79+87+93）=82，甲的成绩的方差=[（73﹣82）2+（78﹣82）2+（79﹣82）2+（87﹣82）2+（93﹣82）2]=50.4，乙的平均成绩=（79+89+89+92+91）=88，乙的成绩的方差=[（79﹣88）2+（89﹣88）2+（89﹣88）2+（92﹣88）2+（91﹣88）2]=21.6，∴＜，乙比甲成绩稳定．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，则甲恰好击中目标2次且乙至少击中目标2次的概率为

.参考答案：12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，AB，CC1的中点，给出下列3对线段所在直线：①D1E与BG；②D1E与C1F；③A1C与C1F．其中，是异面直线的对数共有

对．参考答案：213.直线L过点(1,0)且被两条平行直线L1:3x+y-6=0和L2:3x+y+3=0所截得线段长为,则直线L的方程为 （写成直线的一般式）参考答案：x-3y-1=014.已知函数恒过抛物线的焦点,若A,B是抛物线上的两点，且,直线AB的斜率不存在，则弦的长为________.参考答案：略15.数列a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…an﹣an﹣1是以1为首项、为公比的等比数列，则{an}的通项公式an=

．参考答案：【考点】等比数列的通项公式．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由数列a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…an﹣an﹣1是以1为首项、为公比的等比数列，可得an﹣an﹣1=，再利用an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）即可得出．【解答】解：∵数列a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…an﹣an﹣1是以1为首项、为公比的等比数列，∴an﹣an﹣1=，∴an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）=1+++…+==．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.下列4个命题：（1）若xy=1，则x，y互为倒数的逆命题；（2）面积相等的三角形全等的否命题；（3）若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实数解的逆否命题；（4）若xy=0，则x=0或y=0的否定．其中真命题（写出所有真命题的序号）参考答案：（1）（2）（3）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1），若x，y互为倒数，则xy=1；（2），面积不相等的三角形不全等；（3），若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实数解为真命题，其逆否命题为真命题；（4），若xy=0，则x=0或y=0为真命题，其命题的否定为假命题．【解答】解：对于（1），若x，y互为倒数，则xy=1，故正确；对于（2），面积不相等的三角形不全等，故正确；对于（3），若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实数解为真命题，其逆否命题为真命题，故正确；对于（4），若xy=0，则x=0或y=0为真命题，其命题的否定为假命题．故答案为：（1）（2）（3）17.（文）不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：B略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6000元.某大学2010届毕业生王某在本科期间共申请了元助学贷款，并承诺在毕业后年内（按个月计）全部还清.签约的单位提供的工资标准为第一年内每月元，第个月开始，每月工资比前一个月增加直到元.王某计划前个月每个月还款额为，第个月开始，每月还款额比前一月多元.（Ⅰ）用和表示王某第个月的还款额；（Ⅱ）若王某恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求的值；（Ⅱ）当时，王某将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月元的基本生活费？（参考数据：）参考答案：解：（Ⅰ）

……4分（Ⅱ）依题意，从第13个月开始，每个月的还款额为构成等差数列，其中，公差为.从而，到第个月，王某共还款

……6分令，解之得（元）.即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还元.………………8分（Ⅲ）设王某第个月还清，则应有整理可得，解之得，取.…………10分即王某工作个月就可以还清贷款.这个月王某的还款额为（元）第32个月王某的工资为元.……11分因此，王某的剩余工资为，能够满足当月的基本生活需求.

………12分19.点，是椭圆：上两点，点满足.（1）若点M在椭圆上，求证：；（2）若，求点M到直线距离的取值范围.参考答案：（1）详见解析；（2）.【分析】（1）设点，由，可得，，由点椭圆上，∴，代入可得证明；（2）由（1）和，可得点在椭圆上.，设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，整理可得的值，可得点到直线距离的取值范围.【详解】解：设点，由，可得：，即.

①（1）∵点在椭圆上，∴.将①代入上式得，展开并整理得.∵点，在椭圆上，∴且.∴，即.（2），即点M在椭圆上.设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为.消去并整理得，令判别式，即，解得.点到直线距离的最大值为，最小值为，∴点M到直线距离的取值范围是.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质及向量与椭圆的综合，及直线与椭圆的位置关系，相对较复杂，需注意运算的准确性.20.对某校2015届高三学生一个月内参加体育活动的次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加体育活动的次数．根据此数据做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图：（Ⅰ）求a的值，并根据此直方图估计该校2015届高三学生在一个月内参加体育活动的次数的中位数（精确到个位数）；（Ⅱ）在所取的样本中，从参加体育活动的次数不少于20次的学生中任取4人，记此4人中参加体育活动不少于25次的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．参考答案：考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（I）由分组[10，9）内的频数是10，频率是0.25，由此能求出a的值，据此直方图估计该校2015届高三学生在一个月内参加体育活动的次数的中位数．II）根据题意ξ可能取值为0，1，2．由此能求出ξ的分布列和Eξ．解答： 解：（I）由分组[10，9）内的频数是10，频率是0.25，∴=0.25，∴M=40，即频数之和为40，∴10+24+m+2=40，∴m=4，∴p==0.10，∵a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，∴a==0.12．下面找面积平分线，解得中位数为15+=17≈17．（II）根据题意ξ可能取值为0，1，2．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ）==，ξ012P∴ξ的分布列为Eξ=0×+1×+2×=．点评：本题考查中位数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用21.（本小题满分12分）设函数,

(Ⅰ)

若且对任意实数均有恒成立，求表达式；

(Ⅱ)

在（1）在条件下，当时，是单调函数，求实数的取值范围；

(Ⅲ)

设且为偶函数，证明.参考答案：解：(Ⅰ)∵，∴,

（1分）

由于恒成立，即恒成立，当时，，此时，与恒成立矛盾。当时，由，得，

………3分从而，∴

（4分）(Ⅱ)由(Ⅰ)知∴，其对称为由在上是单调函数知：或，解得或

（8分）(Ⅲ)∵是偶函数，∴由得，故，∵,∴在上是增函数，（9分）对于，当时，，当时，，∴是奇函数，且在上为增函数.

（11分）∵，∴异号，(1)当时，由得，∴（2）当时，由得，∴即综上可知

（14分）22.已知曲线C：，直线l：（t为参数）（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．参考答案：考点：直线的参数方程；三角函数的最值．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由平方关系和曲线C方程写出曲线C的参数方程，消去参数t即可得直线l的普通方程；（2）由曲线C的参数方程设曲线C上任意一点P的坐标，利用点到直线的距离公式求出点P直线l的距离，利用正弦函数求出|PA|，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出|PA|的最大值与最小值．解答： 解：（1）由题意得，曲线C：，所以曲线C的参数方程为（θ为参数），因为