第一题已知三角形所在的平面与直角梯形垂直∥且

第一题已知三角形所在的平面与直角梯形垂直∥且第一题已知三角形所在的平面与直角梯形垂直∥且第一题已知三角形所在的平面与直角梯形垂直∥且第一题：已知正三角形PAD所在的平面与直角梯形ABCD垂直，ABAD，AB∥CD，且ADDC2,AB4.求证：ABPD求点C到平面PAD的距离在线段PD上能否存在一点M，使得AM∥平面PBC面PAD面ABCD面PAD面ABCDADAB面PAD证明：（1）面ABCDPDABPDAB面PADABADP（2）由VCPABVPABC即1hSPAB1PESABCC33D3（或过D作PA的垂线，求垂线段的长）（3）假设PD上存在点M，使得AM∥平面PBC.AB在平面PDC内过点M作MN∥DC交PC于N,连接BN,面AMNB面PBCNBP则AM//面PBCAM//NBAM面PBCEFMN//CDMN//ABC又DCD//AB所以平面AMNB是平行四边形HB所以MNABA这与MNCDAB矛盾，所以假设不行立，即在线段PD上不存在一点M，使得AM∥平面PBC.第二题：已知P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是函数f(x)2x图象上的两点，且2x2uuur1uuuruuuruuuruuuruuurOP(OP1OP2)，点P、A、B共线，且CPx1CAx2CB2求P点坐标2010若S2011i1

if( )求S20112011nf(i)，记Tn为数列1（3）若Sn前n项的和，i1n(Sn2)(Sn12)若Tna(Sn12)时，对全部nN*都建立，试求a的取值范围。uuuruuuruuur解（1）共线且CPx1CAx2CB,x1x21又Qf(x)f(1x)2x21x2x2221x22x22x12x211)P(,2220102）S2011i1

f(i)f(1)f(2)Lf(2009)f(2010)20112011201120112011S2011f(201020092f(1)f()Lf())20112011201120112S20112010S20111005n3）Sni1

f(i)f(1)f(2)Lf(n1)f(1)nnnnSf(1)f(n1)Lf(2)f(1)nnnnn1Sn22令bn142n(Sn2)(Sn12)(n1)(n2)Tnn22nn2a4n4n4n2an24n442(n2)2n4n1a2第三题：如图，已知矩形ORTM内有5个全等的小正方形，此中极点A、B、C、D在矩形ORTM的四条边上.uuuruuuruuury的值；（1）若BDxAEyAF，求x（2）若矩形ORTM的边长OR=7，OM=8，试求小正方形的边长；（3）现向矩形ORTM内任意投出一个点P，求点P落入五个小正方形内的概率.MDTLAKJFCGHIOBR分析：（1）由平面向量的加减运算可知uuuruuuruuuruuuruuurBDADAB，而AD2AE，MDTuuuruuuruuuruuuruuurELABAHHB2AFAE，KuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurAJ故BDADAB2AE(2AFAE)3AE2AF.注意到FCuuuruuuruuuruuuruuurGHAE、AF不共线，依据平面向量基本定理，比较BDxAEyAF与IROBuuuruuuruuur3，y2，xy1.BD3AE2AF可知xuuuruuurx轴、y轴的正向建立平面直角坐（2）由于AEAF以射线AI、AD的方向分别为标系，设小正方形的边长为a得A（0，0）、B(2a,a)、C(3a,a)、D(0,2a).设直线MDT的斜率为k，则MDTykx2a(k0)，OBR:ykxa(2k1)，MAO:y1x，kTCR:y1a3a.由此可得直线MDT、OBR之间的距离是a(2k3)8，直线xkk21ka(31)1k7，由此可解得k5MAO、TCR之间的距离是，即小正方形的边长1，,a12k2为5.解法二：设锐角∠MAD=，设小正方形的边长为a，则由右图可得7asin3acos,相减得1asin,解得边长为a5.8acos2asin2acos.2a消去cos.（3）设“向矩形ORTM内任意投出一个点P，点P落入五个小正方形内”为事件，由几何概型可知，点P落入五个小正方形内的概率P()5SW5(5)225SX78.56第四题：设函数f(x)x22x10的导函数f(x)，数列an的各项均为正数且a16，f(an)an1[f(an)7]（1）求证：数列an2是等比数列；（2）求数列an的前n项和Sn；（3）若数列bn满足bnf(1)8909an900

，求n的最大值.分析：（1）证明：∵f(x)x23x10，∴f(x)2x3设cnan2，则ancn2，∵f(an)an1[f(an)7]，∴f(cn2)(cn12)[f(cn2)7]∴(cn2)23(cn2)10(cn12)[2(cn2)37]∴cn23cn2cncn16cn10(cn2cn1)(cn3)0∵an0，∴cnan20，∴cn30，cn2cn1c1a12628，所以数列cn是首项为8，公比为2的等比数列，即数列是等比数列.证毕.另证：∵f(x)x23x10，∴f(x)2x3∵f(an)an23an10(an5)(an2)，f(an)72an372(an5)，又∵f(an)an1[f(an)7].∴(an5)(an2)2an1(an5)∵an0，∴an50，∴an22an1an22(an12)a128，所以数列是首项为8，公比为2的等比数列.证毕.(2)∵cnc12n182n12n2an2，∴an2n22，nNSna1a2Lan2324L2n22n2n32n8（3）∵x0时，f(x)2x30∴f(x)在(0,)上单调递加.8909911019010(1)23110f(1)900900900303030由bnf(1)8909f(1)，得11，即an30a3an90030an30∵an0且递加，∴n3，n的最大值是3.另解：∵bf(1)(1)23(1)108909.ananan900∴(1)23(1)91(191)(11)0.anan900an30an30∴an0191110，∴an30，∴300，∴30anan∵an2n2230，∴an2n23225，∴n25，∴n3，n的最大值是3.第五题：阅读以下算法，指出当输入的四个数为1，1，0，0时，最后输出的结果是什么？S1输入a,b,c,nS2n←n+1S3a←2aS4b←b+2S5c←c+abS6若c≤2011，则转S2，不然执行S7S7输出n,c分析：从数列角度看该算法，S3可以看作an12an(nN),，相同，S4可以看作bn1bn2(nN)，S5可以看作cn1cnan1bn1(nN)，当输入的四个数为1，1，0，0，即表示a01,b01,c00。此时an2n,bn2n1,cna1b1a2b2anbn32522(2n1)2n（1）2cn322523(2n1)