对面积曲面积分2课件

二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,则对D中任一分段光滑曲线

L,曲线积分与路径无关的充要条件是：函数(要求是单连通域)2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;当常数时,常用格林公式计算二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件设D是单连通域,在1三、二元函数的全微分求积定理３.

设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,则函数若则称u(x,y)

为P(x,y)dx+Q(x,y)dy的原函数

.求u(x,y)的过程,叫做二元函数的全微分求积.在D内是某一函数的全微分的充要条件是：证:(必要性)设则所以三、二元函数的全微分求积定理３.设D是单连通域,在D2证:(充分性)因为记C.B.A.同理可证所以证:(充分性)因为记C.B.A.同理可证所以3另证:(充分性)因为故记对x求导不方便,对y求导方便,且所以另证:(充分性)因为故记对x求导不方便,对y求导方便,4定理设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(2)对D中任一分段光滑曲线

L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下五个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即(5)力在D内是保守力定理设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(15及动点或则原函数为取定点可用通过第二类曲线积分的方法求得

u(x,y)二元函数的全微分求积简单情况下提倡用凑微分的方法凑出u(x,y)及动点或则原函数为取定点可用通过第二类曲线积分的方法求得u6一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法§11.4对面积的曲面积分

第十一章

一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计7一、对面积的曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质

“分割,近似,求(近似)和,(取)极限”

的方法,量M.其中,表示n

小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).另外按微元法,所以这就是我们下面要讲的…Σ一、对面积的曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有8定义:设为光滑曲面,“乘积都存在,的曲面积分其中f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积函数,叫做积分曲面.的和式极限”定义:设为光滑曲面,“乘积都存在,的曲面积分其中f9对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似(7+1).（k为常数)(Σ

由组成)(S为曲面Σ

的面积)(5)若f≤g则,(中值定理,其中)(f

在Σ上连续).对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似(7+1).（k10性质8.(对称性的应用)

若f(x,y,z)为关于x(或y,z)的连续奇函数,即=0请看P246总习题十一2一卦限中的部分,则有().请看P181总习题十1且Σ关于面yoz(或xoz面,xoy面)对称则:性质8.(对称性的应用)若f(x,y,11定理:

设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法则曲面积分证明:(略)(Σ在xoy面投影)实际是换元法:三换定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续12说明:1)如果曲面方程为2)如果曲面方程为说明:1)如果曲面方程为2)如果曲面方程为13例1.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:例1.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:14思考:若是球面被平行平面z=±h

截出的上下两部分,则思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分15例2.计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:

设上的部分,则与

原式=分别表示在平面例2.计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解16例3.

设计算解:

锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的投影域为则(其他部分为零)例3.设计算解:锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间17对面积曲面积分2课件18例4.求半径为R

的均匀半球壳的质心坐标.解:

设的方程为利用对称性可知质心的坐标而S在xoy面上的投影==所以则质心坐标为(0,0,)例4.求半径为R的均匀半球壳的质心坐标.解:19例5.计算其中是球面利用对称性可知解:

显然球心为半径为利用质心公式例5.计算其中是球面利用对称性可知解:显然球心为20内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)

注意利用对称性、形心公式简化计算的技巧.内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况21作业

P2194(3);5(2);6(1),(3),(4);8作业P2194(3);5(2);22思考与练习P219题1；3；4(1);7解答提示:P219题1.P219题3.

设则思考与练习P219题1；3；4(1);7解答23P219题4(1).在

xoy

面上的投影域为这是的面积!P219题4(1).在xoy面上的投影域为这是24P220题7.

如图所示,有P220题7.如图所示,有25二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,则对D中任一分段光滑曲线

L,曲线积分与路径无关的充要条件是：函数(要求是单连通域)2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;当常数时,常用格林公式计算二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件设D是单连通域,在26三、二元函数的全微分求积定理３.

设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,则函数若则称u(x,y)

为P(x,y)dx+Q(x,y)dy的原函数

.求u(x,y)的过程,叫做二元函数的全微分求积.在D内是某一函数的全微分的充要条件是：证:(必要性)设则所以三、二元函数的全微分求积定理３.设D是单连通域,在D27证:(充分性)因为记C.B.A.同理可证所以证:(充分性)因为记C.B.A.同理可证所以28另证:(充分性)因为故记对x求导不方便,对y求导方便,且所以另证:(充分性)因为故记对x求导不方便,对y求导方便,29定理设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(2)对D中任一分段光滑曲线

L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下五个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即(5)力在D内是保守力定理设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(130及动点或则原函数为取定点可用通过第二类曲线积分的方法求得

u(x,y)二元函数的全微分求积简单情况下提倡用凑微分的方法凑出u(x,y)及动点或则原函数为取定点可用通过第二类曲线积分的方法求得u31一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法§11.4对面积的曲面积分

第十一章

一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计32一、对面积的曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质

“分割,近似,求(近似)和,(取)极限”

的方法,量M.其中,表示n

小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).另外按微元法,所以这就是我们下面要讲的…Σ一、对面积的曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有33定义:设为光滑曲面,“乘积都存在,的曲面积分其中f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积函数,叫做积分曲面.的和式极限”定义:设为光滑曲面,“乘积都存在,的曲面积分其中f34对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似(7+1).（k为常数)(Σ

由组成)(S为曲面Σ

的面积)(5)若f≤g则,(中值定理,其中)(f

在Σ上连续).对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似(7+1).（k35性质8.(对称性的应用)

若f(x,y,z)为关于x(或y,z)的连续奇函数,即=0请看P246总习题十一2一卦限中的部分,则有().请看P181总习题十1且Σ关于面yoz(或xoz面,xoy面)对称则:性质8.(对称性的应用)若f(x,y,36定理:

设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法则曲面积分证明:(略)(Σ在xoy面投影)实际是换元法:三换定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续37说明:1)如果曲面方程为2)如果曲面方程为说明:1)如果曲面方程为2)如果曲面方程为38例1.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:例1.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:39思考:若是球面被平行平面z=±h

截出的上下两部分,则思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分40例2.计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:

设上的部分,则与

原式=分别表示在平面例2.计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解41例3.

设计算解:

锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的投影域为则(其他部分为零)例3.设计算解:锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间42对面积曲面积分2课件43例4.求半径为R

的均匀半球壳的质心坐标.解