线性时不变系统描述和系统响应

关于线性时不变系统描述和系统响应第1页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五2.1LTI离散时间系统的差分方程描述1.LTI离散时间系统的差分方程对于LTI离散时间系统，其输入和响应间的映射关系可以用一个线性常系数差分方程及一组初始条件来描述第2页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五初始条件：线性常系数差分方程的一般形式可以表示为全解＝齐次解＋特解。1.LTI离散时间系统的差分方程第3页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五产生系统响应的原因：系统的初始状态＋系统的输入

即：y[n]=yzi[n]+yzs[n]

零输入响应零状态响应1.LTI离散时间系统的差分方程(LTI的特性)系统的全响应＝零输入响应＋零状态响应第4页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五2.零输入响应的求解零输入响应：例：已知一LTI离散时间系统的差分方程为：y[n+2]+3y[n+1]+2y[n]=f[n+1]-2f[n]，初始条件为:y[0]=0，y[-1]=1，求其零输入响应

yzi[n]输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的响应。第5页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五第6页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五零输入响应的求解过程:2.零输入响应的求解(1)列出特征方程，解出特征根;(2)根据系统的初始条件解出待定系数。第7页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五系统的全响应＝零输入响应＋零状态响应2.2LTI离散时间系统的零状态响应—卷积和系统的初始状态为零时，由系统的外部激励单独作用而产生的响应。冲激响应h[n]

:零状态响应：冲激信号为激励信号时，系统的零状态响应。第8页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五1.冲激响应h[n]的求解例1：一LTI离散时间因果系统的差分方程为y[n]-5y[n-1]+6y[n-2]=f[n]，求h[n]=?第9页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五1.冲激响应h[n]的求解第10页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五考虑：激励信号由多项组成，h(n)如何求解？

例2：一LTI离散时间因果系统的差分方程为:y[n]-y[n-1]-2y[n-2]=f[n]-f[n-2]，求h[n]=?

第11页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五分析：第12页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五1.冲激响应h[n]的求解第13页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五1.冲激响应h[n]的求解第14页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五

h[n]的求解过程：(1)求出激励信号为δ[n]时对应的冲激响应h1[n]求出特征根；根据n<0时，h[n]=0,迭代出h1[n]中的待定系数(2)根据线性时不变系统的线性性和非时变性，求出激励信号为其他信号时对应的hi[n]，h[n]=h1[n]+...hi[n]1.冲激响应h[n]的求解第15页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五2.零状态响应的求解系统的零状态响应系统的零状态响应？第16页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五练习：一离散时间LTI系统的差分方程为：y[n+2]-3y[n+1]+2y[n]=f[n+1]-2f[n]系统的初始条件为：y[0]=1，y[-1]=1，输入信号f[n]=u[n];分别求出系统的零输入响应和冲激响应yzi[n]=u[n]h[n]=u[n-1]第17页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五2.零状态响应的求解任一离散时间信号f[n]可分解为冲激信号的线性组合第18页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五2.零状态响应的求解称作f[n]与h[n]的卷积和注意：卷积式求出的仅是系统的零状态响应第19页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五（1）卷积和的定义及计算：3卷积和的求解演示第20页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五（1）卷积和的定义及计算：3卷积和的求解演示第21页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五第22页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五卷积和的计算分成两步：（1）确定求和限;(根据两个阶跃函数所组成的门函数确定积分限)（2）确定求和结果的有效存在时间；(将两个阶跃函数内的值相加)3.卷积和的求解第23页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五练习：一离散时间LTI系统的差分方程为：y[n+2]-3y[n+1]+2y[n]=f[n+1]-2f[n]系统的初始条件为：y[0]=1，y[-1]=1，输入信号f[n]=u[n];分别求出系统的零输入响应，零状态响应及全响应第24页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五（2）卷积和的性质：3.卷积和的求解1）交换律:f[n]*h[n]=h[n]*f[n]卷积运算的交换律说明在计算LTI系统响应时，系统输入信号和系统冲激响应所处的地位是相同的，即可把进行卷积的两个信号中的任一个看成输入信号，另一个看成系统冲激响应。第25页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五f[n]*(h1[n]*

h2[n])=(

f[n]*h1[n])*

h2[n]f[n]*(h1[n]+h2[n])=f[n]*h1[n]+f[n]*

h2[n]3）结合律:2）分配律:（2）卷积和的性质：第26页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五4)离散卷积和差分特性5)累加特性（如果卷积和的累加存在）

（2）卷积和的性质：6）位移特性：f[n]*d[n-n0]=f[n-n0]f[n-n1]*δ[n-n2]=y[n-n1-n2]第27页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五第28页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五n0123456789h(n)0012300000h(n-1)00012300002h(n-2)00002×12×22×3000h(n-3)0000012300y(n)0001488300第29页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五练习1：一LTI离散系统的单位冲激响应为：h[n]={1,2,3},n=0,1,2

;系统的初始状态为0，输入信号f[n]={3,1,3},n=-1,0,1,求系统的响应。y[n]=3h[n+1]+h[n]+3h[n-1]第30页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五练习2：一离散时间LTI系统S，由两个子系统S1与S2级联组成，已知的输入输出关系分别为：y1[n]=2f1[n]+3f1[n-1]；

y2[n]=5f2[n-2]+f2[n-3](1)确定系统S的冲激响应h(n);(2)写出系统S的输入f(t)信号与输出信号y(t)的关系;(3)将子系统S1与S2的顺序颠倒，确定系统S的冲激响应第31页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五练习3：一离散时间LTI系统，输入信号为f[n]，输出信号为y[n]，且：第32页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五练习4：已知一LTI离散时间系统的单位冲激响应为h[n]=3nu[n]，求当激励信号为f[n]=2nu[n]时，系统的响应y[n]=?第33页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五LTI离散时间系统的冲激响应描述为用冲激响应和差分方程来描述系统，二者等价第34页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五2.3LTI连续时间系统的微分方程描述1.LTI连续时间系统的微分方程对于LTI连续时间系统，其输入和响应间的映射关系可以用一个线性常系数微分方程及一组初始条件来描述第35页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五线性常系数微分方程的一般形式可以表示为初始条件：微分方程的经典解法全解＝齐次解＋特解。第36页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五产生系统响应的原因：系统的初始状态＋系统的输入

即：y(t)=yzi(t)+yzs(t)

零输入响应零状态响应1.LTI连续时间系统的微分方程(LTI的特性)系统的全响应＝零输入响应＋零状态响应第37页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五2.零输入响应的求解输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的响应。解该方程即可得到系统的零输入响应yzi(t)。零输入响应：第38页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五例：一LTI连续时间系统的微分方程如下：求该系统的零输入响应yzi(t)。第39页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五零输入响应的求解过程：(1)列出特征方程，解出特征根(2)根据系统的初始条件解出待定系数第40页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五2.4LTI连续时间系统的零状态响应—卷积积分

系统的全响应＝零输入响应＋零状态响应系统的初始状态为零时，由系统的外部激励单独作用而产生的响应。冲激响应h(t)

:零状态响应：冲激信号为激励信号时，系统的零状态响应。第41页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五1.冲激响应h(t)的求解例1：一连续时间线性时不变系统的微分方程为第42页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五1.冲激响应h(t)的求解第43页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五考虑：n=m或n<m时，h(t)是否还是这样一个表达式？

1.冲激响应h(t)的求解第44页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五练习：一连续时间线性非时变系统的微分方程为1.冲激响应h(t)的求解第45页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五观察：1.冲激响应h(t)的求解当m=n时，h(t)中应含有δ(t)才能保证方程两边的δ平衡第46页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五h(t)得求解过程：(1)求出特征根(2)写出h(t)的表达式

n>m，h(t)中不含有δ(t)及δ(t)的各阶导数；

n＝m，h(t)中含有δ(t)但不含δ(t)的各阶导数；

n<m，h(t)中不含有δ(t)及δ(t)的各阶导数；(3)求出h(t)中的待定系数，根据方程两边的δ平衡原理，将h(t)的表达式代入微分方程，即可解出待定系数1.冲激响应h(t)的求解第47页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五2.零状态响应的求解系统的零状态响应系统的零状态响应？第48页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五任一连续时间信号f(t)可分解为冲激信号的线性组合2零状态响应的求解演示第49页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五任一连续时间信号f(t)可分解为冲激信号的线性组合第50页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五当0时，d，k，且任意连续信号可分解为冲激函数的线性组合任一连续时间信号f(t)可分解为冲激信号的线性组合分析：第51页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五2零状态响应的求解任一连续时间信号f(t)可分解为冲激信号的线性组合称作f(t)与h(t)的卷积积分注意：卷积式求出的仅是系统的零状态响应第52页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五用冲激响应和微分方程来描述系统，二者等价LTI连续时间系统微分方程LTI连续时间系统冲激响应h(t)f(t)h(t)y(t)第53页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五（1）卷积积分的定义及计算：3卷积积分的求解演示第54页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五3卷积积分的求解卷积积分的计算分成两步：（1）确定积分限;(根据两个阶跃函数所组成的门函数确定积分限)（2）确定积分结果的有效存在时间；(将两个阶跃函数内的值相加)第55页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五（2）卷积积分的性质：3卷积积分的求解1）交换律:f(t)

*h(t)=h(t)

*f(t)卷积运算的交换律说明在计算LTI系统响应时，系统输入信号和系统冲激响应所处的地位是相同的，即可把进行卷积的两个信号中的任一个看成输入信号，另一个看成系统冲激响应。第56页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五f(t)*[h1(t)

*

h2(t)]=[f(t)

*h1(t)]*

h2(t)f(t)

*[h1(t)+h2(t)]=f(t)

*h1(t)+f(t)

*

h2(t)3）结合律:2）分配律:（2）卷积和的性质：第57页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五（2）卷积和的性质：第58页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五（2）卷积和的性质：第59页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五第60页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五第61页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五第62页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五例:利用卷积的性质计算下图的卷积。解：系统的响应为第63页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五第64页，共70页，2022年，5月20日，18点42分，星期五∴∴第65页，共70页，