2018-2019学年广东省广州市番禺区九年级（上）期末数学试卷

广东省广州市番禺区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（2018秋•番禺区期末）某公司2018年10月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，12月份的生产成本是361万元．若该公司这两月每个月生产成本的下降率都相同，则每个月生产成本的下降率是（）A．12% B．9% C．6% D．5%2．（3分）（2018秋•番禺区期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）（2019•资中县一模）在⊙O中，弦AB的长为2cm，圆心O到AB的距离为1cm，则⊙O的半径是（）A．2 B．3 C． D．4．（3分）（2018秋•番禺区期末）如图，抛物线y＝﹣x2+4x+k与x轴交于点A和B，线段AB的长为2，则k的值是（）A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣55．（3分）（2018秋•番禺区期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＞﹣2 C．a＞1且a≠0 D．a＞﹣1且a≠06．（3分）（武汉）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A．（3，3） B．（4，3） C．（3，1） D．（4，1）7．（3分）（2018秋•番禺区期末）一元二次方程是x2+x＝0的根的是（）A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝x2＝﹣18．（3分）（大连模拟）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的和为5的概率是（）A． B． C． D．9．（3分）（2011•重庆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（）A．60° B．50° C．40° D．30°10．（3分）（2018秋•番禺区期末）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（）A． B．6 C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．（3分）（2018秋•番禺区期末）用配方法将x2﹣8x﹣1＝0变形为（x﹣4）2＝m，则m＝．12．（3分）（齐齐哈尔）如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是（填一个即可）13．（3分）（2018秋•番禺区期末）将抛物线y＝（x﹣1）2向右平移1个单位所得到抛物线的解析式是．14．（3分）（2018秋•番禺区期末）方程（x﹣5）2＝4的解为．15．（3分）（2021•硚口区模拟）点（2，3）关于原点对称的点的坐标是．16．（3分）（河东区二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为．三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（9分）（2018秋•番禺区期末）（1）解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0；（2）用配方法解方程：x2﹣10x+22＝018．（12分）（凉山州）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率；（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．19．（12分）（2018秋•番禺区期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．20．（12分）（东西湖区校级模拟）如图1，⊙O的半径r，弦AB、CD交于点E，C为弧AB的中点，过D点的直线交AB延长线于点F，且DF＝EF．（1）试判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，连接AC，若AC∥DF，BEAE，求CE的长．21．（10分）（2018秋•番禺区期末）画出函数y（x﹣6）2+3的图象，写出它的开口方向，对称轴和顶点，并说明当y随x的增大而增大时，x的取值范围．22．（14分）（2018秋•番禺区期末）如图，已知，抛物线y＝ax2﹣2x过点A（﹣2，5），过A点作x轴的平行线，交抛物线与另一点C，交y轴与点Q，点D（m，5）为线段QC上一动点（不与Q、C重合），作点Q关于直线OD的对称点P，连接PC，PD．（1）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△OPD的面积；（2）若直线PD交x轴与点E．试探究四边形OECD能否为平行四边形？若能，求出m的值，若不能，请说明理由．（3）设点P（h，k）．①求PC取最小值时k的值；②当0＜m≤5时，试探究h与m之间的关系．23．（14分）（2018秋•番禺区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB与点D，以A为圆心，AD长为半径画弧，交边AC于点E，连接CD．（1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数；（2）设BC＝a，AC＝b．①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根吗？为什么？②若AD＝EC，求的值．24．（9分）（2018秋•番禺区期末）如图，平面直角坐标系中，A、B、C坐标分别是（﹣2，﹣4）、（0，﹣4）、（1，﹣1）．将△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后得到△A′B′C′（1）画出△A′B′C′，并写出A′、B′、C′的坐标；（2）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（3）以O为圆心，OA为半径画圆，求扇形OA′A1的面积．25．（10分）（2018秋•番禺区期末）如图，D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点，．（1）求证：CD＝CE．（2）若∠AOB＝120°，OA＝x，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式．

广东省广州市番禺区九年级（上）期末数学试卷答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（2018秋•番禺区期末）某公司2018年10月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，12月份的生产成本是361万元．若该公司这两月每个月生产成本的下降率都相同，则每个月生产成本的下降率是（）A．12% B．9% C．6% D．5%【考点】一元二次方程的应用．【分析】设每个月生产成本的下降率为x，根据该公司10月份及12月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．解：设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2＝361，解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（舍去）．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．（3分）（2018秋•番禺区期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形；中心对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（3分）（2019•资中县一模）在⊙O中，弦AB的长为2cm，圆心O到AB的距离为1cm，则⊙O的半径是（）A．2 B．3 C． D．【考点】勾股定理；垂径定理．【分析】过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理计算即可．解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵AB＝2cm，OD⊥AB，∴ADAB2cm，在Rt△AOD中，OA2（cm），故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键4．（3分）（2018秋•番禺区期末）如图，抛物线y＝﹣x2+4x+k与x轴交于点A和B，线段AB的长为2，则k的值是（）A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝2，再根据点A、B关于直线x＝2对称得到A（1，0），B（3，0），然后把A点坐标代入y＝﹣x2+4x+k得﹣1+4+k＝0，最后解关于k的方程即可．解：∵抛物线的对称轴为直线2，而AB＝2，∴A（1，0），B（3，0），把A（1，0）代入y＝﹣x2+4x+k得﹣1+4+k＝0，解得k＝﹣3．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．5．（3分）（2018秋•番禺区期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＞﹣2 C．a＞1且a≠0 D．a＞﹣1且a≠0【考点】一元二次方程的一般形式；根的判别式．【分析】由关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且二次项系数a≠0，继而可求得a的范围．解：∵一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×a×（﹣1）＞0，且a≠0，解得：a＞﹣1且a≠0，故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得△＞0．6．（3分）（武汉）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A．（3，3） B．（4，3） C．（3，1） D．（4，1）【考点】坐标与图形性质；位似变换．【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，∴端点C的坐标为：（3，3）．故选：A．【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．7．（3分）（2018秋•番禺区期末）一元二次方程是x2+x＝0的根的是（）A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝x2＝﹣1【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．解：∵x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，则x＝0或x+1＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣1，故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．（3分）（大连模拟）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的和为5的概率是（）A． B． C． D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号和5为的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：根据题意，画树状图如下：共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号的和为5的有2种，∴两次摸出的小球标号的和为5的概率是，故选：B．【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．9．（3分）（2011•重庆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（）A．60° B．50° C．40° D．30°【考点】圆周角定理．【分析】在等腰三角形OCB中，求得两个底角∠OBC、∠0CB的度数，然后根据三角形的内角和求得∠COB＝100°；最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择．解：在△OCB中，OB＝OC（⊙O的半径），∴∠OBC＝∠0CB（等边对等角）；∵∠OCB＝40°，∠C0B＝180°﹣∠OBC﹣∠0CB，∴∠COB＝100°；又∵∠A∠C0B（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠A＝50°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理．10．（3分）（2018秋•番禺区期末）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（）A． B．6 C． D．【考点】等边三角形的性质；旋转的性质．【分析】由等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，根据三线合一的性质与勾股定理，可求得AD的长为3，又由将△ABD绕点A逆时针旋转得△ACE，易得△ADE是等边三角形，继而求得答案．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，∠BAC＝60°，∵BD＝DC＝3，∴AD⊥BC，∴AD3∵△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝3，故选：C．【点评】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质．勾股定理等知识，解题的关键是证明△ADE是等边三角形．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．（3分）（2018秋•番禺区期末）用配方法将x2﹣8x﹣1＝0变形为（x﹣4）2＝m，则m＝17．【考点】解一元二次方程﹣配方法．【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．解：x2﹣8x﹣1＝0，移项得：x2﹣8x＝1，配方得：x2﹣8x+16＝17，即（x﹣4）2＝17．所以m＝17．故答案为17．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．12．（3分）（齐齐哈尔）如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是∠C＝∠BAD（填一个即可）【考点】相似三角形的判定．【分析】根据相似三角形的判定：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，进行添加即可．解：∵∠B＝∠B（公共角），∴可添加：∠C＝∠BAD．此时可利用两角法证明△ABC与△DBA相似．故答案可为：∠C＝∠BAD．【点评】本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形判定的三种方法，本题答案不唯一．13．（3分）（2018秋•番禺区期末）将抛物线y＝（x﹣1）2向右平移1个单位所得到抛物线的解析式是y＝（x﹣2）2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．解：将抛物线y＝（x﹣1）2向右平移1个单位所得到抛物线的解析式是：y＝（x﹣1﹣1）2，即y＝（x﹣2）2．故答案是：y＝（x﹣2）2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．14．（3分）（2018秋•番禺区期末）方程（x﹣5）2＝4的解为x1＝7，x2＝3．【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解：（x﹣5）2＝4，开方得：x﹣5＝±2，解得：x1＝7，x2＝3，故答案为x1＝7，x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．15．（3分）（2021•硚口区模拟）点（2，3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，﹣3）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，结合题意易得答案．解：根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，故点（2，3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，﹣3），故（﹣2，﹣3）．【点评】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．16．（3分）（河东区二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为．【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】过E作EG∥AB，交AC于G，易得AG＝EG，EF＝CF，依据△ABC∽△GEF，即可得到EG：EF：GF＝3：4：5，故设EG＝3k＝AG，则EF＝4k＝CF，FG＝5k，根据AC＝10，可得3k+5k+4k＝10，即k，进而得出EF＝4k．解：过E作EG∥AB，交AC于G，则∠BAE＝∠AEG，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠CAE＝∠AEG，∴AG＝EG，同理可得，EF＝CF，∵AB∥GE，BC∥EF，∴∠BAC＝∠EGF，∠BCA＝∠EFG，∴△ABC∽△GEF，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∴EG：EF：GF＝AB：BC：AC＝3：4：5，设EG＝3k＝AG，则EF＝4k＝CF，FG＝5k，∵AC＝10，∴3k+5k+4k＝10，∴k，∴EF＝4k．故．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构相似三角形以及造等腰三角形．三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（9分）（2018秋•番禺区期末）（1）解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0；（2）用配方法解方程：x2﹣10x+22＝0【考点】解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．（2）利用配方法的步骤求解可得．解：（1）∵x（x﹣2）+x﹣2＝0，∴（x﹣2）（x+1）＝0，则x﹣2＝0或x+1＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1；（2）∵x2﹣10x+22＝0，∴x2﹣10x+25﹣3＝0，则x2﹣10x+25＝3，即（x﹣5）2＝3，∴x﹣5＝±，∴x＝5±，即x1＝5，x2＝5．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和配方法，熟练掌握因式分解和配方的方法是解本题的关键．18．（12分）（凉山州）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率；（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．【考点】一次函数图象上点的坐标特征；切线的性质；列表法与树状图法．【分析】（1）用树状图法展示所有9种等可能的结果数；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，从9个点中找出满足条件的点，然后根据概率公式计算；（3）利用点与圆的位置关系找出圆上的点和圆外的点，由于过这些点可作⊙O的切线，则可计算出过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．解：（1）画树状图：共有9种等可能的结果数，它们是：（0，﹣1），（0，﹣2），（0，0），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，0），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，0）；（2）在直线y＝﹣x+1的图象上的点有：（1，0），（2，﹣1），所以点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率；（3）在⊙O上的点有（0，﹣2），（2，0），在⊙O外的点有（1，﹣2），（2，﹣1），（2，﹣2），所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的点有5个，所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了一次函数图象上点的坐标特征和切线的性质．19．（12分）（2018秋•番禺区期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．【考点】二次函数的最值；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的应用．【分析】（1）证明△AEF∽△ABC，利用相似比得到，从而得到y与x的关系式；（2）计算矩形的面积S＝xyx2+120x，则S（x﹣40）2+2400，根据二次函数的性质得到当x＝40时，S有最大值2400，由于y＝60，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．解：（1）易得四边形EGDK为矩形，则KD＝EG＝x，∴AK＝AD﹣DK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，∴yx+120（0＜x＜80）；（2）这个同学的说法错误．理由如下：S＝xyx2+120x（x﹣40）2+2400，当x＝40时，S有最大值2400，此时y40+120＝60，即矩形EGHF的长为60mm，宽为40mm时，矩形EGHF的面积最大，最大值为2400mm2，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．【点评】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长．也考查了二次函数的性质和矩形的性质．20．（12分）（东西湖区校级模拟）如图1，⊙O的半径r，弦AB、CD交于点E，C为弧AB的中点，过D点的直线交AB延长线于点F，且DF＝EF．（1）试判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，连接AC，若AC∥DF，BEAE，求CE的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）如图，作辅助线；证明∠ODC+∠CDF＝90°，即可解决问题．（2）如图，作辅助线；证明OH⊥AB，AH＝4λ，此为解题的关键性结论；证明CE；列出方程r2＝（r﹣3λ）2+（4λ）2，求出λ2，即可解决问题．证明：（1）如图1，连接OC、OD；∵C为弧AB的中点，∴OC⊥AB，∠OCE+∠AEC＝90°；∴DF＝EF，∴∠FDE＝∠FED＝∠AEC；∵OA＝OC，∴∠OCE＝∠ODC，∴∠ODC+∠CDF＝90°，即OD⊥DF，∴DF与⊙O相切．（2）如图2，连接OA、OC；由（1）知OC⊥AB，∴AH＝BH；∵AC∥DF，∴∠ACD＝∠CDF；而EF＝DF，∴∠DEF＝∠CDF＝∠ACD，∴AC＝AE；设AE＝5λ，则BE＝3λ，∴AH＝4λ，HE＝λ，AC＝AE＝5λ；∴由勾股定理得：CH＝3λ；CE2＝CH2+HE2＝9λ2+λ2，∴CE；在直角△AOH中，由勾股定理得：AO2＝AH2+OH2，即r2＝（r﹣3λ）2+（4λ）2，解得：λ2，∴CE＝2．【点评】该题主要考查了圆的切线的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用有关定理来分析、解答．21．（10分）（2018秋•番禺区期末）画出函数y（x﹣6）2+3的图象，写出它的开口方向，对称轴和顶点，并说明当y随x的增大而增大时，x的取值范围．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】画出二次函数的图象，结合图象可得其函数性质．解：函数y（x﹣6）2+3的图象如图所示：抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝6，顶点坐标为（6，3），当x＞6时，y随x的增大而增大．【点评】此题考查了二次函数的性质与图象，考查了根据函数解析式得出顶点坐标，对称轴，开口方向；还考查了增减性和数形结合思想的应用．22．（14分）（2018秋•番禺区期末）如图，已知，抛物线y＝ax2﹣2x过点A（﹣2，5），过A点作x轴的平行线，交抛物线与另一点C，交y轴与点Q，点D（m，5）为线段QC上一动点（不与Q、C重合），作点Q关于直线OD的对称点P，连接PC，PD．（1）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△OPD的面积；（2）若直线PD交x轴与点E．试探究四边形OECD能否为平行四边形？若能，求出m的值，若不能，请说明理由．（3）设点P（h，k）．①求PC取最小值时k的值；②当0＜m≤5时，试探究h与m之间的关系．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点A（﹣2，5）代入抛物线y＝ax2﹣2x求得表达式，由折叠可得OP＝OQ＝5，DP＝DQ＝m，然后在Rt△DPN中，利用勾股定理求得m，进而得出△OPD的面积；（2）当DC＝OE时，四边形OECD为平行四边形，再证明OE＝DE，求得点E的坐标，然后用两点之间距离公式建立方程，即可求得m的值；（3）①当O，P，C在一条直线上时，PC最小，由△DPC∽△EPO，利用相似三角形对应高的比等于相似比建立关系，进而求得k的值；②连接QP，作PH⊥QC于H，则QP⊥OD，可证明∠HQP＝∠QOD，即cos∠HQP＝cos∠QOD，根据锐角三角函数的定义可得出h与m之间的关系．解：（1）把点A（﹣2，5）代入抛物线y＝ax2﹣2x，得5＝4a+4，∴a，∴yx2﹣2x∴对称轴为x＝4，C（10，5），当点P落在抛物线的对称轴上时，如图1，记作P'，∴OM＝4，OP'＝OQ＝5，DP'＝DQ＝m，∴P'M＝3，P'N＝5﹣3＝2，在Rt△DPN中，m2＝22+（4﹣m）2，解得m，∴△OP'D的面积＝△OQD的面积．（2）∵AC∥OE，∴当DC＝OE时，四边形OECD为平行四边形，∵∠DOE＝∠ODQ＝∠ODP，∴DE＝OE＝CD＝10﹣m，∴E（10﹣m，0），∵D（m，5），∴ED2＝（10﹣2m）2+52＝（10﹣m）2，解得m或m＝5．∴m的值或5．（3）①∵OP＝OQ＝5，OC＝5，∴当O，P，C在一条直线上时，PC最小，如图2，此时，点P记作P''此时PC＝P''C＝55，由△DPC''∽△EPO，得，解得k．②如图3，连接QP，作PH⊥QC于H，则QP⊥OD，∴∠HQP＝90°﹣∠OQP＝∠QOD，∵OQ＝5，QD，∴OD边上的高为，∴QP∴cos∠HQP＝cos∠QOD，即，∴h与m之间的关系为．【点评】本题考查了待定系数法，平行四边形，相似三角形，锐角三角函数定义及方程思想，解题时要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用方程，相似手段来解决问题．23．（14分）（2018秋•番禺区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB与点D，以A为圆心，AD长为半径画弧，交边AC于点E，连接CD．（1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数；（2）设BC＝a，AC＝b．①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根吗？为什么？②若AD＝EC，