圆周运动的向心力及其应用

圆周运动的向心力及其应用【学习目标】1、 理解向心力的特点及其来源2、 理解匀速圆周运动的条件以及匀速圆周运动和变速圆周运动的区别3、 能够熟练地运用力学的基本方法解决圆周运动问题5、理解外力所能提供的向心力和做圆周运动所需要的向心力之间的关系，以此为根据理解向心运动和离心运动。【要点梳理】要点一、物体做匀速圆周运动的条件要点诠释：物体做匀速圆周运动的条件：具有一定速度的物体，在大小不变且方向总是与速度方向垂直的合外力的作用下做匀速圆周运动。说明：从物体受到的合外力、初速度以及它们的方向关系上探讨物体的运动情况，是理解运动和力关系的基本方法。要点二、关于向心力及其来源1、 向心力要点诠释（1） 向心力的定义：在圆周运动中，物体受到的合力在沿着半径方向上的分量叫做向心力（2） 向心力的作用：是改变线速度的方向产生向心加速度的原因。V2（3） 向心力的大小：F=ma向=m一=mm2向心力的大小等于物体的质量和向心加速度的乘积；对于确定的物体，在半径一定的情况下，向心力的大小正比于线速度的平方，也正比于角速度的平方；线速度一定时，向心力反比于圆周运动的半径；角速度一定时，向心力正比于圆周运动的半径。_ V2 4兀2如果是匀速圆周运动则有：F向=ma向=m一=mg2=mr^-=mr4兀2f2（4） 向心力的方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心。（5） 关于向心力的说明：向心力是按效果命名的，它不是某种性质的力；匀速圆周运动中的向心力始终垂直于物体运动的速度方向，所以它只能改变物体的速度方向，不能改变速度的大小；无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心力总是变力，但是在匀速圆周运动中向心力的大小是不变的，仅方向不断变化。2、 向心力的来源要点诠释（1） 向心力不是一种特殊的力。重力（万有引力）、弹力、摩擦力等每一种力以及这些力的合力或分力都可以作为向心力。（2） 匀速圆周运动的实例及对应的向心力的来源（如表所示）：

满足的方程没

向心加速度5里，“Fcost?—mg,.Fain&-ina)要点三、匀速圆周运动与变速圆周运动的区别1、从向心力看匀速圆周运动和变速圆周运动要点诠释： 匀速圆周运动的向心力大小不变，由物体所受到的合外力完全提供，换言之也就是说物体受到的合外力完全充当向心力的角色。例如月球围绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球对它的引力就是合外力，这个合外力正好沿着半径指向地心，完全用来提供月球围绕地球做匀速圆周运动的向心力。 在变速圆周运动中，向心力只是物体受到的合外力的沿着半径方向的一个分量。例如用一根细线拴一个小球在竖直平面内做变速圆周运动，它的受力情况如图所示，物体受到线的拉力F拉和重力mg的作用，其合力分解为两个分量：向心力和切向力。Zsin0t或哗满足的方程没

向心加速度5里，要点三、匀速圆周运动与变速圆周运动的区别1、从向心力看匀速圆周运动和变速圆周运动要点诠释： 匀速圆周运动的向心力大小不变，由物体所受到的合外力完全提供，换言之也就是说物体受到的合外力完全充当向心力的角色。例如月球围绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球对它的引力就是合外力，这个合外力正好沿着半径指向地心，完全用来提供月球围绕地球做匀速圆周运动的向心力。 在变速圆周运动中，向心力只是物体受到的合外力的沿着半径方向的一个分量。例如用一根细线拴一个小球在竖直平面内做变速圆周运动，它的受力情况如图所示，物体受到线的拉力F拉和重力mg的作用，其合力分解为两个分量：向心力和切向力。-Fens。=tng,IFain0-m(i)'(d+/sin8).或mgtan8-m(d+二inti)r,0二inti)r,切问力不难看出：F切问力不难看出：F=F一mgcos0F切=mgsin0向心力改变着速度的方向，产生向心加速度；切向力与线速度的方向相同或者相反，改变着线速度的大小使得物体做变速圆周运动。2、从圆周运动的规律看匀速圆周运动和变速圆周运动要点诠释：（1）匀速圆周运动和变速圆周运动所适用的共同规律无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动向心加速度的大小总是：a=-向=—=m2（公式中的每向mr一个量都是瞬时量，任何一个时刻或者任何一个位置都可以用公式计算向心加速度。）换一种说法就是：在圆周运动中的任何时刻或位置，牛顿运动定律都成立，即F向=ma向=m—=mm2例如上面的例子，用一根细线拴一个小球在竖直平面内做变速圆周运动，在图中所示的位置用牛顿第二定律可得：F向=F拉-mgcos0=ma向= =m①2rF切=mgsin0=ma切（2）只适用于匀速圆周运动的计算公式:4兀2a向=r——=r4兀2f2F向=mr —=mr4兀2f2因为在匀速圆周运动的过程中各个量大小的平均值和瞬时值是相等的；如果将上式用在变速圆周运动中，计算的结果仅是一个意义不大的粗略的平均值。要点四、圆周运动的实例1、水平面上的圆周运动要点诠释：（1）圆锥摆运动：小球在细线的拉力和重力作用下的在水平面上的匀速圆周运动，如图所示:①向心力来源：物体重力和线的拉力的合力，沿着水平方向指向圆心。②力学方程：mgtan9-v2 m4冗21sin9ma=m =m^21sin9= lsin9 T2③问题讨论：a.物体加速度与夹角0的关系：1=gtan9，向心加速度越大时，夹角0越大。b.角速度与夹角°的关系：①二、：'点9，可见角速度越大时，夹角9越大。（2）在水平圆盘上随圆盘一起转动物体向心力的来源：如图，在竖直方向上重力和支持力平衡，物体做圆周运动的向心力由物体所受的静摩擦力提供。Ff静摩擦力的方向：当物体做匀速圆周运动时，这个静摩擦力沿着半径指向圆心；当做变速圆周运动时，静摩擦力还有一个切线方向的分量存在，用来改变线速度的大小。静摩擦力的变化：当水平圆盘的转速增大时，物体受到的静摩擦力也随之增大，当物体所需要的向心力大于最大静摩擦力时，物体将相对于圆盘滑动，变为滑动摩擦力。2、竖直平面内的圆周运动要点诠释：（1）汽车过拱形桥在竖直面内的圆周运动中可以分为：匀速圆周运动和变速圆周运动。对于匀速圆周运动处理起来一般比较方便。对于变速圆周运动，定量的计算通常是在圆周的最高点和最低点处用牛顿第二定律。例如：汽车通过半圆的拱形桥，因为桥面对汽车提供的只能是支持力。

①汽车在点位置I最高时，对车由牛顿第二定律得:①汽车在点位置I最高时，对车由牛顿第二定律得:mg"疽mT为了驾驶安全，桥面对车的支持力必须大于零，即F>0从而解得车的速度应满足关系v〈涎(如果v=/gR，在不计空气阻力的情况下，车将做平抛运动)一7mY一7mYR②汽车在位置II时有mg径一气=m-^nmg-sin9又F>0解得v'<JgRsin。(2)汽车通过圆弧型的凹处路面如图在最低点处，对车运用牛顿第二定律得:(2)汽车通过圆弧型的凹处路面如图在最低点处，对车运用牛顿第二定律得:mv2F—mg= 桥面对车的支持力七桥面对车的支持力七mv2=mg+ r可见，随着车的速度增大，路面对车的支持力变大。要点五、圆周运动中的超重与失重1、 超重与失重的判断标准要点诠释：运动物体的加速度方向向上或者有向上的分量时，物体处于超重状态，物体对水平支持面的压力大于自身的重力。运动物体的加速度方向向下或者有向下的分量时，物体处于失重状态，物体对水平支持面的压力小于自身的重力。2、 圆周运动中的超重与失重现象要点诠释：（1） 失重现象：在竖直面上的圆周运动，物体处在圆周的最高点附近时，向心加速度竖直向下，物体对支持物的压力小于自身重力。一 V2例如在拱形桥顶运动的汽车，由上面计算有Fn=mg-mR，它对于桥面的压力小于重力。（2） 超重现象：在竖直面上的圆周运动，物体处在圆周的最低点附近时，向心加速度竖直向上，物体对支持物的压力大于自身重力。mv2例如汽车通过圆弧型的凹处路面在最低点处，桥面对车的支持力Fn=mg+-—-大于自身重力。要点五、关于离心现象1、 外力提供的向心力与做圆周运动需要的向心力之间的关系对物体运动的影响要点诠释：（1） 外力提供的向心力：是某个力、几个力的合力或者是合力在半径方向上的分量，是实实在在的相互作用。（2） 做圆周运动需要的向心力：是指在半径为r的圆周上以速度v运动时，必须要这么大的一个力，才能满足速度方向改变的要求。（3） 供需关系对物体运动的影响：外力提供的向心力等于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做圆周运动；外力提供的向心力小于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做远离圆心的运动一一离心运动外力提供的向心力大于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做靠近圆心的运动一一也可称之为向心运动2、 离心现象及其运用要点诠释：（1） 被利用的离心现象：洗衣机甩干衣服：水珠和衣服之间的附着力不足以提供水珠高速转动时需要的向心力，而做离心运动从而脱离衣服，使得衣服变干。离心沉淀器：悬浊液在试管中高速转动时，密度大于液体密度的小颗粒做离心运动，密度小于液体密度的小颗粒做向心运动，从而使得液体很快被分离。离心水泵：水在叶轮转动的作用下做离心运动，从而使得水从低处运动到高处，等等。（2） 需要防止的离心现象：高速转动的砂轮会因为离心运动而破碎，造成事故；火车或者汽车会因为转弯时的速度过大而出现侧滑、倾翻，造成人员伤亡等。【典型例题】类型一、水平面上在静摩擦力作用下的圆周运动例1、在水平转动的圆盘上距转动中心10cm处放着一物块，物块随圆盘一起转动。若物块质量圆盘转速为n=1r/s，求物块与圆盘间的静摩擦力。

【思路点拨】明确向心力的来源，知道向心加速度的大小此题便得到解决。【思路点拨】明确向心力的来源，知道向心加速度的大小此题便得到解决。【解析】由题意可知，物块m做匀速圆周运动，其向心加速度七二r•4兀2.n2。对圆周运动的物块受力分析：该物块除受重力和支持力（一对平衡力）夕卜，还受一个沿圆盘平面的摩擦力，这个摩擦力就是物块受到的合力，也就是它做匀速圆周运动的向心力。所以有f=ma=mr4兀2n2=0.394N,摩擦力的方向指向圆心。n【总结升华】静摩擦力提供物块做匀速圆周运动的向心力，方向沿着半径指向圆心，切不可认为与线速度的方向相反。【变式】（2015广州十二中学业检测）如图所示，质量相等的a、b两物体放在圆盘上，到圆心的距离之比是2:3,圆盘绕圆心做匀速圆周运动，两物体相对圆盘静止，a、b两物体做圆周运动的向心力之比是（）A.1:1 B.3:2C.2:3 D.9:4【答案】C【解析】两个物体是同轴转动，因此角速度相等，质量又相等，根据 F=mo2r可知，向心力之比Fr_2—a=—a=—。「人r3类型二、汽车转弯问题例2、（2016师大附中模拟）近年来我国高速铁路发展迅速，现已知某新型国产机车总质量为m，如图已知两轨间宽度为L，知两轨间宽度为L，内外轨高度差为h，重力加速度为g，如果机车要进入半径为R的弯道，请问，该弯道处的设计速度最为适宜的是（ ）：gRh'、：gRh'、gR、；L-h2'亟B.¥l^R hD.h【答案】A【解析】转弯中，当内外轨对车轮均没有侧向压力时，火车的受力如图【解析】转弯中，当内外轨对车轮均没有侧向压力时，火车的受力如图V2由牛顿第二定律得：mgtan9=m，tan9=, R 3-h2解得v解得v=故选A。【点评】火车拐弯时以规定速度行驶，此时火车的重力和支持力的合力提供圆周运动所需的向心力，若速度大于规定速度，重力和支持力的合力不够提供，此时外轨对火车有侧压力；若速度小于规定速度，重力和支持力的合力提供偏大，此时内轨对火车有侧压力。解决本题的关键知道火车拐弯时对内外轨均无压力，此时靠重力和支持力的合力提供圆周运动的向心力。举一反三【变式】铁路弯道的内外侧铁轨往往不在同一水平面上，质量为M的火车，以恒定的速率在水平面内沿一段半径为r的圆弧道转弯，受力如图所示，已知内外铁轨的倾角为a。（1） 车的速率v°为多大时，使车轮对铁轨的侧压力正好为零？（2） 如果火车的实际速率v/v°，分析铁轨对车轮的施力情况。【答案】%=、!grtana当v>v「火车挤压外轨当v<v0;火车挤压内轨类型三、竖直面上的匀速圆周运动例3、飞行员驾机在竖直平面内做匀速圆环特技飞行，若圆环半径为1000m，飞行速度为100m/s，求飞行在最高点和最低点时飞行员对座椅的压力是自身重量的多少倍？（g=10m/s2）【思路点拨】飞机在竖直平面内做匀速圆周运动，分别在最高点和最低点对飞行员应用牛顿第二定律即可求解。【解析】对飞行员在圆周的最低点处和最高点处分别进行受力分析，如图所示：

由牛顿第二定律得在最低点时，F1-mg=m^~则F=m^2+g1krJ那么二=Zi+1=2mgrg在最高点时，mg+F2=m^(、V2=m—-g

krJmgrg所以，飞机飞至最低点时，飞行员对座椅的压力是自身重量的两倍，飞至最高点时，飞行员对座椅无压力。【总结升华】理解运动情景，正确的受力分析是解题的关键。类型四、动力学综合问题例4、如图所示，已知绳长=0.2m，水平杆长L=0.1m，小球的质量m=0.3kg，整个装置可绕竖直轴转动，当该装置以某一角速度转动时，绳子与竖直方向成30。角。（1） 试求该装置转动的角速度；（2） 此时绳的张力是多大？【思路点拨】小球在装置作用下，以竖直轴为圆心做匀速圆周运动，对小球进行受力分析，结合数学知识求出转动半径即可。【答案】①=5.37rad/s，F=3.46N【解析】当整个装置以角速度①转动时，小球m将做圆周运动，圆周运动的圆心在竖直轴上，且和m在同一水平面上。小球m只受到两个力的作用，重力mg，及绳子的拉力F，而这两个力的合力即为小球所受到的向心力F向。用正交分解法和公式F向=ma向可得：F-sin0=mr®2F-cos0—mg=0由几何知识可得r=L+1sin0把已知数据代入得：Fx-=0.3s2r2Fx豆—0.3x10=02r=0.1+0.2x-2解得：①=5.37rad/s，F=3.46N【总结升华】（1）牛顿第二定律是解圆周运动的重要方法，对做圆周运动的物体进行受力分析就是必不可少的。因此我们在解圆周运动问题时，几乎无一例外地要首先画草图对物体进行受力分析。（2）在圆周运动中，向心力的方向往往为已知，而这个已知条件在受力分析中充当重要角色。在解法一中因为知道合外力（向心力）的方向，在正交分解法中才能列出方程七=m.,Fy=0。举一反三【变式】建筑工地上常使用打夯机夯实地基，如图是其结构原理图。长为l的连杆（质量可忽略）固定在轮盘A上，轮盘A和连杆固定在一起绕轴O旋转，连杆另一端固定一质量为m的铁块，电动机通过皮带轮带动轮盘A和连杆，可在竖直平面内做圆周运动。当旋转的角速度达到一定数值，可使质量为M（不包括铁块的质量m）的打夯机离开地面，然后砸向地面，从而起到夯实地基的作用。试分析连杆转动的最小角速度。

'(M'(M+m)g【答案】®= ml【解析】当铁块运动到最高点时，受重力mg和杆的拉力F1作用，这两个力的合力提供铁块此时做圆周运动所需的向心力。当铁块的角速度逐渐增大时，所需的向心力增大，将导致拉力F1的增大。根据牛顿第三定律可知，此时铁块对打夯机向上的拉力F=F，所以当F=F>Mg时，打夯机将脱离地面。设为使打夯机脱离开2 1 2 1地面连杆转动的最小角速度为3,由牛顿第二定律：对M有 F-Mg=0对m有 F+mg=ml®2因f=f■'（M+m）g由以上几式解得：®=Fml一、选择题：1、 （2015徐州市学业检测）物体做匀速圆周运动时，下列说法中不正确的是（ ）A-向心力一定指向圆心B-向心力一定是物体受到的合外力。向心力的大小一定不变。.向心力的方向一定不变。.向心力只能改变物体的运动方向，不可能改变运动的快慢2、 用绳拴住一个小球，使其在光滑水平面上做匀速圆周运动，绳子突然断开，那么小球将（ ）沿半径方向远离圆心沿半径方向接近圆心做一个半径增大的匀速圆周运动沿线断时小球所在点的圆弧切线方向做匀速直线运动

3、A、B两质点均做匀速圆周运动，m:m=1：2，它们做圆周运动的半径R:R=1：2，当A转60转时，B正好转45转，两质点所受向心力之比为（ ）1：4B.4：1C.4：9D.2：34、在匀速旋转的圆筒内壁上紧贴一个物体，物体随圆筒一起运动时:（1） 它受到的外力是（）A.重力、弹力、摩擦力C.重力、弹力、滑动摩擦力（1） 它受到的外力是（）A.重力、弹力、摩擦力C.重力、弹力、滑动摩擦力（2） 物体受到的向心力是（ ）A.静摩擦力B.滑动摩擦力B.D.重力、弹力、静摩擦力重力、弹力、向心力C.重力D.弹力5、（2015姜堰市模拟）同一辆汽车以同样的速度先后开上平直的桥和凸形桥，在桥的中央处，正确的是（ ）车对两种桥面的压力一样大车对平直桥面的压力大车对凸形桥面的压力大无法判断6、（2015武清区校级学业考试）如图所示，某同学让带有水的伞绕伞柄旋转，可以看到伞面上的水滴沿伞边水平飞出，若不考虑空气阻力，则水滴飞出后的运动是（ ）A.匀速直线运动B.平抛运动 C.自由落体运动 D.圆周运动7、（2016衡水市冀州中学模拟）如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定，有质量相等的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内作匀速圆周运动，A的运动半径较大，则下列说法正确的是（ ）A.A.B.C.D.球A对筒壁的压力大小等于球B对筒壁的压力大小球A的线速度小于球B的线速度球A的角速度小于球B的角速度球A的加速度等于球B的加速度8、A、B球之间用线相连，0为光滑水平桌面上一小铁钉，再用线将O与B球相连，当A、B两球绕O点在桌面上以相同的角速度转动时，两线段的拉力八:T为(OB桌面上以相同的角速度转动时，两线段的拉力八:T为(OB)(已知OA=2OB,m=m)A.3：2B.2：3C.5：3D.2：1二、填空题：1、 一个做匀速圆周运动的物体，若半径保持不变，当它的转速变为原来的4倍时，它的线速度将变为原来的倍，它所受向心力将变为原来的 倍：若线速度保持不变，当角速度变成原来的4倍时，它的轨道半径将变为原来的倍，它所受的向心力将变为原来的倍。2、 如果做匀速圆周运动的物体每秒转速变为原来的2倍时，所需的向心力比原来增大73N，则物体原来所需的向心力为N。三、计算题：1、洗衣机的甩干桶竖直放置。桶的内径为20cm，工作时被甩的衣物贴在桶壁上，衣物与桶壁的动摩擦因数为0.025。若不使衣物滑落下去，甩干桶的转速至少多大？2、小球被绳拉着在水平面内做匀速圆周运动。已知小球质量m=0.4kg，线速度v=\.'2m/s，圆周运动半径r=0.4m，求绳对小球的拉力。(g=10m/s2)3、质量为m的飞行员，驾机以一定速率在竖直平面内做匀速圆周运动的特技飞行。当他飞行到最高点时对座椅的压力大小恰好等于自身重力。求他飞到最低点时对座椅的压力。4、一根劲度系数为k=103N/m的弹簧，原长/=02m,一端固定在光滑水平转台的转动轴上，另一端系一个质量m=2kg的物体，当转台以180r/min的转速转动时，求弹簧伸长了多少?5、(2016淮北一中高三上学期第一次段考)如图所示，AB为粗糙水平面，长度AB=5R，其右端与光滑、半径为R的1圆弧BC平滑相接，C点的切线沿竖直方向，在C点的正上方有一离C点高度也为R的旋4转平台，沿平台直径方向开有两个离轴心距离相等的小孔P、Q，旋转时两孔均能达到C点的正上方。某时刻，质量为m可视为质点的滑块，与水平地面间的动摩擦因数u=0.1，当它以％=3、g的速度由A点开始向B点滑行时：工 /'求滑块通过C点的速度；若滑块滑过C点后能通过P孔，又恰能从Q孔落下，则平台转动的角速度3应满足什么条件？【答案与解析】一、选择题：1、 D解析：A、物体做匀速圆周运动，向心力始终指向圆心，大小不变，故A正确；B、 做匀速圆周运动的物体，合外力提供向心力，故B正确；C、 由于是匀速圆周运动，故向心力的大小不变，C正确；D、 匀速圆周运动的物体，向心力方向时刻在变，故D错误。TOC\o"1-5"\h\z2、 D解析：绳子突然断开时，向心力完全消失，小球因惯性而做离心运动，即保持沿线断时小球所在点的圆弧切线方向做匀速直线运动，所以选项D正确。3、 C解析：A、B两质点的角速度之比是①a:①B=60:45=4:3，根据F向=mm2知道，向心力的大小与质F 1 1选项C正确。选项C正确。F 224、(1)B(2)D解析：物体随圆筒一起做匀速圆周运动时，在竖直方向处于平衡状态，物体除了受到竖直向下的重力外，还受到竖直向上的静摩擦力；筒壁对它的水平方向的弹力提供向心力，所以答案为(1)B(2)D。5、Bv U2mg-N=m一，故v U2mg-N=m一，故N2vmg，因此N1>N2，由牛顿第三定律知，车受到的支持力与车对桥的压力大小相等，因此B正确。6、 B解析：水滴在最高处离开三边缘，沿切线方向飞出，飞出以后由于只受重力，所以做平抛运动，故B正确。7、 BCD解析：如下图所示，小球A和B紧贴着内壁分别在水平面内做匀速圆周运动。由于A和B的质量相同，小球A和B在两处的合力相同，即它们做圆周运动时的向心力是相同的。由向心力的计算公式F=m—，由于球A运动的半径大于B球的半径，F和m相同时，半径大的线速度r大，故A错误。由公式F=m«2r，由于球A运动的半径大于曰球的半径，F和m相同时，半径大的角速度小，所以球A的角速度小于球B的角速度，故B正确。由F=ma知，球A的加速度等于球B的加速度，故C正确。根据力图可知，筒壁对A球的支持力等于筒壁对曰球的支持力，则球A对筒壁的压力等于球B对筒壁的压力，故D正确。故选BCD。8、B解析：A、B两球绕0点在桌面上转动的角速度为①，分别对A、B在水平方向上用牛顿第二定律得：对A：TAB=m-2l-w2 (1)对B：Tqb-TAB=m-1-w2 (2)将⑴代入(2)式：Tqb=3m1o2所以TAB：妇=2：3，选项B正确。二、 填空题：11、 4；16； ；4；42兀解析：物体做匀速圆周运动半径一定时，根据v=rw，w=t=2兀n有v=r-2兀n，所以线速度的大小正比于转速，当转速变为原来的4倍时线速度也变为原来的4倍；向心加速度a=rw2=r(2兀n)2=r-4兀2-n2，所以向心加速度正比于转速的平方，因此当转速变为原来的4倍时向心加速度变为原来的16倍，向心力也变为原来的16倍。根据v=rw知线速度大小不变时，角速度的大小与半径成反比，当角速度变成原来的4倍时半径变TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 V2为原来的丁；根据a=—知线速度大小不变时，向心加速度与半径成反比，所以当角速度变成原来的44 r倍时向心加速度也变为原来的4倍，向心力也变为原来的4倍。2、 1解析：设物体原来转速为n，受到的向心力大小为Fn，由向心力的计算公式得：F=mrw2=mr-(2兀n)2r=mr-4兀2-n当转速变为原来的2倍时，所需的向心力F"，则F'=mrw‘2=mr-(2兀-2n)