2020崇明高三数学二模(教师版)

（本题满分14分，本题共有两个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分）某开发商欲将一块如图所示的四边形ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域•经测量，边界AB与AD的长都是2千米，/BAD=60o,ZBCD二120。.（1）如果ZADC=105。，求BC的长（结果精确到0.001千米）；（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材？（不计损耗，结果精确到0.001千解析】解析】即L二即L二^sin"o+-L4<I3丿纟辽+4二6.309km，当且仅当0=-时等号成立（1）由题意可得AABD为等边三角形，所以当ZADC=1050时，上BDC=45。TOC\o"1-5"\h\z所以由正弦定理可得BC=BDxSin/BDC=2x亘=1.633kmsin/BCD羽~2（2）设zbdc，则Be=BDxsmBu=导口e，sinf--o"CD二BDxSinZCBD二2xI\丿sin/BCD羽3sin0+sin--0VV3丿丿+4，所以四边形的周长为L=AB+BC+CD+AD+4，3

20、（本题满分16分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分7分）已知椭圆r：三+严二1的右焦点为F，直线x=t（t（r'2小2））与该椭圆交于点4B（点力位于x轴上方），x轴上一点C（2,0），直线4F与直线BC交于点P.（1）当t=-1时，求线段4F的长；（2）求证：点P在椭圆G上（3）求证：S—DP4C2yJr【答案】（1）322（2）见解析（3）见解析1)+y1)+y2=「A（T耳）,AF叩亠1）2+耳-0）二竽(2)设A(t,y),BC,-y),P(X,y)，则1100p,p,f二点共线=x-1t-1<op,C三点共线n丄1=二x—2t—20TOC\o"1-5"\h\zx-22-t3x-4yn=—o=nt=o,y=o——x—1t—12x—312x—3(2)ooo代入椭圆方程：(3x-4

——0I2x—3j

0—2ye——2x—3j0二1n(3x—4)+2(y)二2(2x—3)000x2即：9x2一24x+16+2y2=8x2一24x+18nf+y2=1，则p在厂上0000020(3)显然若p在r上，即i交椭圆于P点AFx=my+1()vx2nm2+2丿y2+2my-1=0一+y2=1〔2故令A（x1，人）,Pl，y2S=1-FC-Iy—yVAPC2112+4Cm2+2)令2+1二t(t>1)SVAPC丄酸•丄12+12t当且仅当t二1时，等号成立。得证。21、（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分66分，第（3）小题满分8分）‘a是偶数、j•［一「在无穷数列｛a｝中，aN*，且annn在无穷数列｛a｝中，aN*，且annn+1a+3,a是奇数nn（1）若a=10，求S的值；19（2）若S=17，求a的值；31（3）证明：｛a｝中必有一项为1或3.n答案】【解析】（1）耳二10,b｝，各项依次为10,5,8,4,21,4,2,1,L则S=10+5+8+2(4+2+1)=379（2）①若Q］为奇数，设为2k-1,（kgN+）a2-a1+3-2k+2为偶数，从而a3-2a2-k+1故S=5k+2=17,k=3从而a=531②若a1为偶数，i）若a二4k（kgN+）a二2k，仍为偶数，Qg=kS=7k=17,3ii)若a二4k+21gN+),a二2k+1为奇数，a=a+3ii)若a二4k+21S=8k+7=173综上，a=51（3）题目为无穷数列递推有界性问题，下面直接展示解题过程无穷数列b｝，agn+，设其最小项为t，必然小于等于6，若不然，假设t〉6nn那么若{a}中任一a，nia为奇数时，设a-2k-1,kgN,a=2k+2,a=k+1，由于TOC\o"1-5"\h\ziii+1i+2a>6,k>3，则a一a=k一2>1>0，从而a>aiii+2ii+2a为偶数时，ia=4m，mgN+为奇数时a=2m,a=ma>aii+1i+21ii+2a=4m+2,mgN+,m>1为偶数时，ia=2m+1a=2m+2a一a=2m一2>0i+1i+2ii+2从而对Va，均有a>aiii+2因此对每一个agN+，由于a>6，必有a>a>a>L，可以无穷递降下去，这必ii135然存在某个a，使其a<6，矛盾！iit<6,t二1,3时，结论成立接下