结构动力学第十章-随机振动激励响应关系

第十章随随机振动激激励与响应应关系§10-1线性时不变变系统动态态特性的频频域与时域域描述对于振动系系统，不管管是已知激激励求响应应或是已知知响应求激激励，都必必须知道系系统的动态态特性。动态特性：：指系统随随频率、惯惯性、刚度度和阻尼而而变化的特特性系统动态特特性用H(ω)和h(t)来描述a)频域内的的“频率率响应函函数”H(ω)b)时域内的的“脉冲冲响应函函数”h(t)1、频率率响应函函数(复频响应应函数或或简称频频响函数数)单度线性性系统在在激励y(t)＝y0sinωt作用下，，其稳态态响应必必定是x(t)＝x0sin(ωt-θ)振幅比x0/y0和相位差差θ确定了系系统在固固定的激激励频率率ω下的传递递特性或或传递函函数。若不断改改变ω，那么传传递函数数作为ω的函数将将形成一一条曲线线，这条条曲线就就确定了了系统的的动态特特性。振幅比x0/y0和相位差差θ用复函数数H(ω)来表示：：|H(ω)|称为频响响函数的的模，又又称为系系统的增增益因子子，起放放大作用用；θ(ω)称为频响响函数的的相角或或系统的的相位因因子。H(ω)的具体求求法：由此可得得求H(ω)的具体步步骤如下下：①建立系系统运动动微分方方程，明明确什么么是输入入，什么么是输出出②③将y(t)和x(t)及其导数数代入运运动微分分方程，，即可得得到系统统对应于于激励y(t)和响应x(t)的频响函函数。[注意]：y(t)和x(t)可以是力力、压力力、位移移、速度度和加速速度等，，故同一一系统可可有多个个频响函函数(取决于输输入输出出是什么么)[例]已知：m，k，c，无重板板，受位位移激扰扰y(t)，系统输输出为位位移x(t)，求相应应的频响响函数H(ω)。解：运动动微分方方程[例](纽兰P58)已知：k，c，无质量量小车，，激励是是力y(t)，响应是是位移x(t)，求相应应的频率率响应函函数H(ω)。解：运动动微分方方程x(t)y(t)kC[例]图示系统统，杆重重不计，，已知：：m，k，c及力激励励F(t)＝f0sinωt，响应是是AB杆转角，用频率率响应函函数方法法求响应应θ(t)。解：运动动微分方方程AkBaaacF(t)Ak3aθθF(t)2、脉冲响响应函数数稳态的静静止系统统在受到到单位脉脉冲δ(t)激励后产产生的响响应称为为系统的的脉冲响响应函数数，记为为h(t)。(1)单位脉冲冲δ(t)(狄拉克δ函数)(2)δ函数的傅里叶叶变换(a)时域δ函数的傅里叶叶变换时移性：：(b)频域δ函数的傅里叶叶逆变换换故：(3)脉冲响应应函数实际上，，在第四四章瞬态态振动一一章已经经求过h(t)。求h(t)的步骤如如下：①建立系系统运动动微分方方程②用脉冲响应应函数δ(t)代替微分方程程中的激激励，并并对方程程两边从从0-到0+进行积分分，得到到等效的的初始条条件③求满满足初始条件件的齐次次微分方方程的解解，即为为h(t)[例]已知：m，k，c及力激励励F(t)，响应是是位移x(t)，求h(t)。解：(1)运动微分分方程为为(2)令F(t)＝δ(t)x(t)＝h(t)(比较求H(ω)是令F(t)＝eiωtx(t)＝H(ω)eiωt)积分常数数A和B由初始条条件确定定对(*)式两边从从0-到0+积分两次次代入通解解表达式式可得：：3、频率响响应函数数与脉冲冲响应函函数之间间的关系系可以证明明：H(ω)与δ(t)是互为傅傅里叶变变换的关关系，即即对任意激激励y(t)和响应x(t)，都有实际上对对x(t)＝H(ω)y(t)两边进行行傅里叶叶变换，，有[例]已知：k，c，无质量量小车，，激励是是力y(t)，响应是是位移x(t)，验证脉脉冲响应应函数和和频率响响应函数数为傅里里叶变换换对。x(t)y(t)kC解：运动动微分方方程由留数定定理，有有实际上，，当t<0时，有§10-2系统对任任意输入入的响应应褶积积及其傅傅里叶变变换1、系统对对任意输输入的响响应褶褶积积分分设任意激激励y(t)满足绝对对可积，，即一般地，，上述积积分难以以求解，，很少采采用。下面采用用脉冲响响应方法法求x(t)在τ处作用的的脉冲y(τ)Δτ的响应为为：所有脉冲引起的时时刻t的总响应应为：此式也可可以由上上页的(*)式推出：：此式也可可以由上上页的(*)式推出：：2、褶积的的傅里叶叶变换若§10-3单输入单单输出线线性系统统的随机机振动设同时进进行着无无限个实实验，每每个实验验系统是是线性且且动态特特性相同同，脉冲冲响应函函数为h(t)，频响函函数为H(ω)，激励是是y(t)，响应是是x(t)。我们的的目的是是找出激激励、响响应的统统计特性性与系统统的动态态特性H(ω)或h(t)之间的关关系。yi(t)xi(t)h(t)H(ω)xi(t)yi(t)tti=1,2,3,…1、响应的的均值和和自相关关函数①均值μx对任意激激励y(t)，响应x(t)为若激励励y(t)是一平平稳随随机过过程，，则平平均值值E[y]与采样样时刻刻(t-λ)无关，，于是是有：：②自相关关Rx(τ)对平稳稳过程程，有有：若系统统动态态特性性和激激励的的自相相关函函数已已知，，则可可由上上式求求出响响应的的自相相关函函数，，并且且可知知，若若输入入是平平稳过过程，，则输输出也也是平平稳过过程。。特别别，当当τ＝0时，可可得响响应均均方值值：2、响应应的自自谱①响应的的自谱谱Sx(ω)H*(ω)是H(ω)的共轭轭复数数②用响响应的的自谱谱求响响应的的自相相关和和均方方值一般地地，用用这两两个式式子求求自相相关和和均方方值比比上节节直接接从脉脉冲响响应函函数出出发的的积分分形式式求要要方便便些。。若输入入为白白噪声声，即即Sy(ω)＝S0＝常数数，则则③关于广广义积积分的的詹姆姆斯(James)公式James公式参参见有有关参参考书书，如如庄表表中、、D.E.纽兰等等[例](P.138例4-1)已知：：m，k，c及力激激励y(t)的Sy(ω)＝S0，求：：位移移响应应x(t)的自相相关函函数、、均方方值和和自功功率谱谱密度度函数数。解：思路路：求求H(ω)→Sx(ω)→→Rx(τ)→ψ2x系统运运动微微分方方程为为：Sx(ω)在上半半平面面内只只有ω1和ω2两个奇点点，由留留数定理理可得ω2ω1ω*1ω*2ReIm求Sx(ω)及ψ2x[例]已知：m，k，c及输入位位移y(t)，输出位位移x(t)，输入谱谱密度函函数为：：解：系统统运动微微分方程程为：《讨论》若用下式式计算则则ψ2x有不同答答案，为为什么？？存在，仅当H(ω)分母的各个根都位于ω平面的上半平面时，积分才存在。而(iω-ω0)＝i(ω+iω0)的根是(-iω0)，位于ω平面的下下半平面面，故不不正确。。[例已知：：L，EI，抗弯截截面模量量为W的悬臂梁梁，质量量不计，，小球质质量m，阻尼c，激励是是地面水水平加速速度a(t)，其自谱谱Sa(ω)＝S0，求：悬悬臂梁根根部最大大正应力力的均方方根值。。由材料力力学，对对悬臂梁梁有解：思路：图示系统统可看作作高大建建筑物(如烟筒、、楼房、、水塔、、路灯等等)的粗糙模