数学分析课件第四版华东师大研制 第14章 幂级数

§1

幂级数

一般项为幂函数的函数项级数称为幂级数,这是一类最简单的函数项级数.幂级数在级数理论中有着特殊的地位,在函数逼近和近似计算中有重要应用,特别是函数的幂级数展开为研究非初等函数提供了有力的工具.

三、幂级数的运算一、幂级数的收敛区间二、幂级数的性质

§1幂级数一般项为幂函数幂级数系数

一、幂级数的收敛区间幂级数系数一、幂级数的收敛区间2.幂级数的收敛点与收敛域2.幂级数的收敛点与收敛域因此级数敛散性的问题对于函数项级数或幂级数而言，正确的提法是区间上的那些点使级数收敛，那些点使级数发散？因此级数敛散性的问题对于函数项级数或幂级数而言，正确的提法是证明证明数学分析课件第四版华东师大研制第14章幂级数由(1)结论几何说明收敛区域发散区域发散区域由(1)结论几何说明收敛区域发散区域发散区域由定理14.1知道由定理14.1知道定义:正数R称为幂级数的收敛半径.规定问题如何求幂级数的收敛半径?收敛域是称为幂级数的收敛区间.开区间定义:正数R称为幂级数的收敛半径.规定问题如何求幂级数的收定理14.2

对于幂级数(2),

若则当证

定理14.2对于幂级数(2),若则当证根据级数的根式判别法,当时,级数

收敛.当时,级数发散.于是(i)当时,由得幂级数(2)收敛半

径(ii)

所以(iii)根据级数的根式判别法,当时,级数收敛.当时,级证明证明由比值审敛法,由比值审敛法,数学分析课件第四版华东师大研制第14章幂级数例1

求下列幂级数的收敛域:解该级数收敛;该级数发散;例1求下列幂级数的收敛域:解该级数收敛;该级数发散;数学分析课件第四版华东师大研制第14章幂级数例1

所以其收敛半径,即收敛区间为;而当

所以级数

于是级数的收敛域为例1所以其收敛半径,即收敛区间为;而当所以级数因此幂级数(4)的收敛区间是.但级数(4)当

时发散,时收敛,从而得到级数(4)的收

敛域是半开区间.照此方法,容易验证级数的收敛半径分别为与.例2设有级数由于因此幂级数(4)的收敛区间是.但级数(4)当时发散解缺少偶次幂的项级数收敛,解缺少偶次幂的项级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为解解发散收敛故收敛域为(0,1].解发散收敛故收敛域为(0,1].解例5

级数由于所以级数(6)的收敛半径,从而级数(6)的收敛

区间为即例5级数由于所以级数(6)的收敛半径,从而当

x=3时,级数(6)为发散级数于是级数(6)的收敛域为

当时,级数(6)为

收敛级数例5

级数当x=3时,级数(6)为发散级数于是级数(6)的收下面讨论幂级数(2)定理14.4

若幂级数(2)的收敛半径为,则在它

的收敛区间内任一闭区间上,级数(2)都一致收敛.证

任一点x,

都有由于级数(2)在点绝对收敛,由优级数判别法得级

数(2)在上一致收敛.的一致收敛性问题.下面讨论幂级数定理14.5

若幂级数(2)的收敛半径为,且在

(或)时收敛,则级数(2)在(或

)上一致收敛.证设级数(2)在时收敛,对于有递减且一致有界,即故由函数项级数的阿贝耳判别法,级数(2)在上一致收敛.定理14.5若幂级数(2)的收敛半径为,且在(二、幂级数的性质根据一致收敛函数项级数的性质即可以得到幂级数的一系列性质.定理14.6(i)幂级数(2)的和函数是内的连续

函数;(ii)若幂级数(2)在收敛区间的左(右)端点上收敛,

则其和函数也在这一端点上右(左)连续.在讨论幂级数的逐项求导与逐项求积之前,

先来确定幂级数(2)在收敛区间内逐项求导与逐项

二、幂级数的性质根据一致收敛函数项级数的性质即可以得到幂级数求积后得到的幂级数与的收敛区间.定理14.7

幂级数(2)与幂级数(7)、(8)具有相同的收敛区间.证

这里只要证明(2)与(7)具有相同的收敛区间就可以了,

因为对(8)逐项求导就得到(2).求积后得到的幂级数与的收敛区间.定理14.7幂级数(2)首先证明幂级数(7)在幂级数(2)收敛区间中

每一点都收敛.设,由阿贝耳定理(定理14.1)的

证明知道,

存在正数M与

r(r<1),

对一切正整数

n,

都有于是首先证明幂级数(7)在幂级数(2)收敛区间中每一点都收敛.

由级数的比

较原则及上述不等式,就推出幂级数(7)在点绝对

收敛(当然也是收敛的!).由于为中任一点,这就证明了幂级数(7)在上收敛.其次证明幂级数(7)对一切满足不等式的x都

不收敛.由级数的比较原则及上述不等式,就推出幂级数(7)在点绝

幂级数(7)在

根据比较原则得幂级数(2)在处绝对收敛.这与所设幂级数(2)的收敛区间为相矛盾.于是幂级数(7)的收敛区间也是如若不然,幂级数(7)在点收敛,则存在幂级数(7)在根据比较原则得幂级数(2)在处绝对收敛.定理14.8

设幂级数(2)在收敛区间上的和函

数为f,若x为内任意一点,则(i)f在

x可导,

且(ii)f在区间上可积,且定理14.8设幂级数(2)在收敛区间上的和函数为f,使得|x|<r<R,根据定理14.4,级数(2),(7)在[-r,r]上一致收敛.再由第十三章§2的逐项求导与逐项求积定理,

就得到所要证明的结论(i)与(ii).注由本定理立即可以得到幂级数在其收敛区间上可以逐项求导和逐项求积.径R.因此,对任意一个

,

总存在正数

r,证由定理14.7,级数(2),(7),(8)具有相同的收敛半使得|x|<r<R,根据定理14.4,级数(2)推论1

设f为幂级数(2)

在收敛区间上的和函数,则在上f具有任意阶导数,且

可任意次逐项求导,即推论1设f为幂级数(2)在收敛区间上的和函数,则在推论2

设f为幂级数(2)在某邻域内的和函数,则级数(2)的系数与f在处的各

阶导数有如下关系:注

推论2还表明,若级数(2)在上有和函数

f,则级数(2)由f在处的各阶导数所惟一确定.这是一个非常重要的结论,在后面讨论幂级数展开时要用到.推论2设f为幂级数(2)在某邻域内的和函数,则级数三、幂级数的运算定理14.9

若幂级数与在的某邻域内有相同的和函数,则它们同次幂项的系数相等,即这个定理的结论可直接由定理14.8的推论2得到.三、幂级数的运算定理14.9若幂级数与在的某邻域内有相同的定理14.10

若幂级数与的收敛半径

分别为Ra和Rb,则有定理的证明可由数项级数的相应性质推出.定理14.10若幂级数与的收敛半径分别为Ra和R例6

几何级数在收敛域内有对级数(10)在内逐项求导得例6几何级数在收敛域内有对级数(10)在内逐项求导得将级数(10)在上逐项求积得到所以例6

几何级数在收敛域内有将级数(10)在上逐项求积得到所以例6几何级数在收敛域内有解解解两边积分得显然，级数的收敛域为（–1，1]解两边积分得显然，级数的收敛域为（–1，1]数学分析课件第四版华东师大研制第14章幂级数解收敛区间(-1,1),解收敛区间(-1,1),例7求幂级数的和函数.解

首先求出收敛域.因为,且级数与都发散,所以收敛域为.采用逐项求积法来求和函数.设例7求幂级数的和函数.解首先求出收敛域.因为,且级数对进行逐项积分,得对逐项积分,得对进行逐项积分,得对逐项积分,得所以所以作业P511(1)(3)(5)(7)、2(1)(2)作业P511(1)(3)(5)(7)、2(1)(2§2

函数的幂级数展开由泰勒公式知道,可以将满足一定条件的函数表示为一个多项式与一个余项的和.如果能将一个满足适当条件的函数在某个区间上表示成一个幂级数,就为函数的研究提供了一种新的方法.返回二、初等函数的幂级数展开式一、泰勒级数§2函数的幂级数展开由泰勒公式知道,可以将满足一定一、泰勒级数在第六章§3的泰勒定理中曾指出,

若函数f在点x0

的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数,则这里为拉格朗日型余项一、泰勒级数在第六章§3的泰勒定理中曾指出,若函数f在点x由于余项是关于的高阶无穷小,因此

在点附近f可用(1)式右边的多项式来近似代替,这是泰勒公式带来的重要结论.再进一步,设函数f在处存在任意阶导数,就

可以由函数f得到一个幂级数其中在x与x0之间,称(1)式为f在点的泰勒公式.由于余项是关于的高阶无穷小,因此在点附近f可用通常称(3)式为f在处的泰勒级数.对于级数(3)是否能在点附近确切地表达f,或者说级数(3)

在点附近的和函数是否就是f

本身,这就是本节所要着重讨论的问题.请先看一个例子.例1

由于函数在处的任意阶导数都等于0(见第六章§4第二段末尾),即通常称(3)式为f在处的泰勒级数.对于级数(因此f在的泰勒级数为显然它在上收敛,且其和函数.由

此看到,对一切都有.上例说明,具有任意阶导数的函数,其泰勒级数并不都能收敛于该函数本身,哪怕在很小的一个邻域内.那么怎样的函数,其泰勒级数才能收敛于它本身呢?因此f在的泰勒级数为显然它在上收敛,且其和函数定理14.11

设f在点具有任意阶导数,那么f在

区间上等于它的泰勒级数的和函数的

充分条件是:对一切满足不等式的,有

这里是f在点泰勒公式的余项.本定理的证明可以直接从第六章§3泰勒定理推出.如果f能在点的某邻域上等于其泰勒级数的和函

数,则称函数f在点的这一邻域内可以展开成泰勒级数,并称等式定理14.11设f在点具有任意阶导数,那么f的右边为f在处的泰勒展开式,或幂级数展

开式.由级数的逐项求导性质可得:若f

为幂级数在收敛区间上的和函数,则

就是f

在上的泰勒展开式,的右边为f在处的泰勒展开式,或幂级数展开式.由即幂级数展开式是惟一的.在实际应用上,主要讨论函数在处的展开式,

这时(3)式就变成称为麦克劳林级数.从定理14.11知道,余项对确定函数能否展开为幂级数是极为重要的,下面我们重新写出当时的

即幂级数展开式是惟一的.在实际应用上,主要讨论函数在处的积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项,以便于后面的讨论.它们分别是积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项,以便于后面的讨论二、初等函数的幂级数展开式例2

求k次多项式函数的幂级数展开式.解由于二、初等函数的幂级数展开式例2求k次多项式函数的幂级数展开即多项式函数的幂级数展开式就是它本身.例3

求函数f(x)=ex的幂级数展开式.解

显见即多项式函数的幂级数展开式就是它本身.例3求函数f(x对任何实数x,都有对任何实数x,都有例4

所以在上可以展开为麦克劳

林级数:例4所以在上可以展开为麦克劳林级数:数学分析课件第四版华东师大研制第14章幂级数同样可证(或用逐项求导),在上有例5

所以的麦克劳林级数是同样可证(或用逐项求导),在上有例5所以的麦克劳林级数用比式判别法容易求得级数(5)的收敛半径,且

当时收敛,时发散,故级数(5)的收敛域

是.下面讨论在上它的余项的极限.当时,对拉格朗日型余项,有用比式判别法容易求得级数(5)的收敛半径,且当时收敛,当时,因拉格朗日型余项不易估计,故改用柯西型余项.此时有当时,因拉格朗日型余项不易估计,故改用柯西型余项.此这就证得在上

的幂级数展开式就是(5).将(5)式中x换成,就得到函数处的泰勒展开式:其收敛域为例6讨论二项式函数的展开式.解

当为正整数时,由二项式定理直接展开,就得到f的展开式,这已在前面例2中讨论过.这就证得在上的幂级数展开式就是(5).将(5)式中下面讨论不等于正整数时的情形,这时于是

的麦克劳林级数是运用比式法,可得(6)的收敛半径.在内

考察它的柯西型余项下面讨论不等于正整数时的情形,这时于是的麦克劳林级数是由比式判别法,由比式判别法,于

1所以在于1所以在论如下:对于收敛区间端点的情形,与的取值有关,其结论如下:对于收敛区间端点的情形,与的取值有一般来说,只有比较简单的函数,其幂级数展开式能直接从定义出发,并根据定理14.11求得.

更多的情况是从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运一般来说,只有比较简单的函数,其幂级数展开式能直接从定义算或逐项求导、逐项求积等方法,间接地求得函数的幂级数展开式.注求一个函数的幂级数展开式就是确定该幂级数各项的系数,根据展开式的惟一性,不管用什么方法得到的系数都是一样的.这就是间接展开的根据.例7

以与分别代入(8)与(9)式,可得算或逐项求导、逐项求积等方法,间接地求得函数的幂级数展开对于(10)、(11)分别逐项求积可得函数与

的展开式:-11-2-112对于(10)、(11)分别逐项求积可得函数与的展开式:-1由此可见,熟练掌握某些初等函数的展开式,对求其他一些函数的幂级数展开式是非常方便和有用的,特别是例3～例7的结果,对于今后用间接方法求幂级数展开十分方便.由此可见,熟练掌握某些初等函数的展开式,对求其他解利用,得处连续,在处无定义,

例8

求函数在处的幂级数展开

式.解利用,得处连续,在处无定义,例8求函数在处的而级数的收敛域为,所以注

严格地说,上式中的幂级数在

上有和函数,

而只是它在上的和函数.

又因为,所以而级数的收敛域为,所以注严格地说,上式中的用类似方法可得.(13)大家一定非常熟悉三角函数表和对数表,但这些表是怎样制作出来的呢?例9

计算的近似值,精确到解

可以在展开式中令,得

.这是一个交错级数,故有

用类似方法可得.(13)大家一定非常熟悉三角函.为了误差小于0.0001,就必须计算

级数前10000项的和,收敛得太慢.为此在(13)式中令,,代入(13)式,有估计余项:.为了误差小于0.0001,就必须计算级数前100取,就有因此取,就有因此最后举例说明怎样用幂级数形式表示某些非初等函数,这是幂级数特有的功能.例10

用间接方法求非初等函数的幂级数展开式.解以代替ex的展开式中的x,得最后举例说明怎样用幂级数形式表示某些非初等函数,这是幂再逐项求积,就得到在上的展开式:F(x)用上述级数的部分和逐项逼近的过程,示于下图:再逐项求积,就得到在上的展开式:F(x)用上述级数的-2-112O-1-0.50.51-2-112O-1-0.50.51复习思考题1.设幂级数在的和函数为,问

在处的幂级数展开式是什么?2.设函数在上的幂级数展开式为若上式右边的幂级数在(或)收敛,能否

得出上式在(或)成立?(结合例8进行讨

论)复习思考题1.设幂级数在的和函数为,问在处的幂级数§1

幂级数

一般项为幂函数的函数项级数称为幂级数,这是一类最简单的函数项级数.幂级数在级数理论中有着特殊的地位,在函数逼近和近似计算中有重要应用,特别是函数的幂级数展开为研究非初等函数提供了有力的工具.

三、幂级数的运算一、幂级数的收敛区间二、幂级数的性质

§1幂级数一般项为幂函数幂级数系数

一、幂级数的收敛区间幂级数系数一、幂级数的收敛区间2.幂级数的收敛点与收敛域2.幂级数的收敛点与收敛域因此级数敛散性的问题对于函数项级数或幂级数而言，正确的提法是区间上的那些点使级数收敛，那些点使级数发散？因此级数敛散性的问题对于函数项级数或幂级数而言，正确的提法是证明证明数学分析课件第四版华东师大研制第14章幂级数由(1)结论几何说明收敛区域发散区域发散区域由(1)结论几何说明收敛区域发散区域发散区域由定理14.1知道由定理14.1知道定义:正数R称为幂级数的收敛半径.规定问题如何求幂级数的收敛半径?收敛域是称为幂级数的收敛区间.开区间定义:正数R称为幂级数的收敛半径.规定问题如何求幂级数的收定理14.2

对于幂级数(2),

若则当证

定理14.2对于幂级数(2),若则当证根据级数的根式判别法,当时,级数

收敛.当时,级数发散.于是(i)当时,由得幂级数(2)收敛半

径(ii)

所以(iii)根据级数的根式判别法,当时,级数收敛.当时,级证明证明由比值审敛法,由比值审敛法,数学分析课件第四版华东师大研制第14章幂级数例1

求下列幂级数的收敛域:解该级数收敛;该级数发散;例1求下列幂级数的收敛域:解该级数收敛;该级数发散;数学分析课件第四版华东师大研制第14章幂级数例1

所以其收敛半径,即收敛区间为;而当

所以级数

于是级数的收敛域为例1所以其收敛半径,即收敛区间为;而当所以级数因此幂级数(4)的收敛区间是.但级数(4)当

时发散,时收敛,从而得到级数(4)的收

敛域是半开区间.照此方法,容易验证级数的收敛半径分别为与.例2设有级数由于因此幂级数(4)的收敛区间是.但级数(4)当时发散解缺少偶次幂的项级数收敛,解缺少偶次幂的项级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为解解发散收敛故收敛域为(0,1].解发散收敛故收敛域为(0,1].解例5

级数由于所以级数(6)的收敛半径,从而级数(6)的收敛

区间为即例5级数由于所以级数(6)的收敛半径,从而当

x=3时,级数(6)为发散级数于是级数(6)的收敛域为

当时,级数(6)为

收敛级数例5

级数当x=3时,级数(6)为发散级数于是级数(6)的收下面讨论幂级数(2)定理14.4

若幂级数(2)的收敛半径为,则在它

的收敛区间内任一闭区间上,级数(2)都一致收敛.证

任一点x,

都有由于级数(2)在点绝对收敛,由优级数判别法得级

数(2)在上一致收敛.的一致收敛性问题.下面讨论幂级数定理14.5

若幂级数(2)的收敛半径为,且在

(或)时收敛,则级数(2)在(或

)上一致收敛.证设级数(2)在时收敛,对于有递减且一致有界,即故由函数项级数的阿贝耳判别法,级数(2)在上一致收敛.定理14.5若幂级数(2)的收敛半径为,且在(二、幂级数的性质根据一致收敛函数项级数的性质即可以得到幂级数的一系列性质.定理14.6(i)幂级数(2)的和函数是内的连续

函数;(ii)若幂级数(2)在收敛区间的左(右)端点上收敛,

则其和函数也在这一端点上右(左)连续.在讨论幂级数的逐项求导与逐项求积之前,

先来确定幂级数(2)在收敛区间内逐项求导与逐项

二、幂级数的性质根据一致收敛函数项级数的性质即可以得到幂级数求积后得到的幂级数与的收敛区间.定理14.7

幂级数(2)与幂级数(7)、(8)具有相同的收敛区间.证

这里只要证明(2)与(7)具有相同的收敛区间就可以了,

因为对(8)逐项求导就得到(2).求积后得到的幂级数与的收敛区间.定理14.7幂级数(2)首先证明幂级数(7)在幂级数(2)收敛区间中

每一点都收敛.设,由阿贝耳定理(定理14.1)的

证明知道,

存在正数M与

r(r<1),

对一切正整数

n,

都有于是首先证明幂级数(7)在幂级数(2)收敛区间中每一点都收敛.

由级数的比

较原则及上述不等式,就推出幂级数(7)在点绝对

收敛(当然也是收敛的!).由于为中任一点,这就证明了幂级数(7)在上收敛.其次证明幂级数(7)对一切满足不等式的x都

不收敛.由级数的比较原则及上述不等式,就推出幂级数(7)在点绝

幂级数(7)在

根据比较原则得幂级数(2)在处绝对收敛.这与所设幂级数(2)的收敛区间为相矛盾.于是幂级数(7)的收敛区间也是如若不然,幂级数(7)在点收敛,则存在幂级数(7)在根据比较原则得幂级数(2)在处绝对收敛.定理14.8

设幂级数(2)在收敛区间上的和函

数为f,若x为内任意一点,则(i)f在

x可导,

且(ii)f在区间上可积,且定理14.8设幂级数(2)在收敛区间上的和函数为f,使得|x|<r<R,根据定理14.4,级数(2),(7)在[-r,r]上一致收敛.再由第十三章§2的逐项求导与逐项求积定理,

就得到所要证明的结论(i)与(ii).注由本定理立即可以得到幂级数在其收敛区间上可以逐项求导和逐项求积.径R.因此,对任意一个

,

总存在正数

r,证由定理14.7,级数(2),(7),(8)具有相同的收敛半使得|x|<r<R,根据定理14.4,级数(2)推论1

设f为幂级数(2)

在收敛区间上的和函数,则在上f具有任意阶导数,且

可任意次逐项求导,即推论1设f为幂级数(2)在收敛区间上的和函数,则在推论2

设f为幂级数(2)在某邻域内的和函数,则级数(2)的系数与f在处的各

阶导数有如下关系:注

推论2还表明,若级数(2)在上有和函数

f,则级数(2)由f在处的各阶导数所惟一确定.这是一个非常重要的结论,在后面讨论幂级数展开时要用到.推论2设f为幂级数(2)在某邻域内的和函数,则级数三、幂级数的运算定理14.9

若幂级数与在的某邻域内有相同的和函数,则它们同次幂项的系数相等,即这个定理的结论可直接由定理14.8的推论2得到.三、幂级数的运算定理14.9若幂级数与在的某邻域内有相同的定理14.10

若幂级数与的收敛半径

分别为Ra和Rb,则有定理的证明可由数项级数的相应性质推出.定理14.10若幂级数与的收敛半径分别为Ra和R例6

几何级数在收敛域内有对级数(10)在内逐项求导得例6几何级数在收敛域内有对级数(10)在内逐项求导得将级数(10)在上逐项求积得到所以例6

几何级数在收敛域内有将级数(10)在上逐项求积得到所以例6几何级数在收敛域内有解解解两边积分得显然，级数的收敛域为（–1，1]解两边积分得显然，级数的收敛域为（–1，1]数学分析课件第四版华东师大研制第14章幂级数解收敛区间(-1,1),解收敛区间(-1,1),例7求幂级数的和函数.解

首先求出收敛域.因为,且级数与都发散,所以收敛域为.采用逐项求积法来求和函数.设例7求幂级数的和函数.解首先求出收敛域.因为,且级数对进行逐项积分,得对逐项积分,得对进行逐项积分,得对逐项积分,得所以所以作业P511(1)(3)(5)(7)、2(1)(2)作业P511(1)(3)(5)(7)、2(1)(2§2

函数的幂级数展开由泰勒公式知道,可以将满足一定条件的函数表示为一个多项式与一个余项的和.如果能将一个满足适当条件的函数在某个区间上表示成一个幂级数,就为函数的研究提供了一种新的方法.返回二、初等函数的幂级数展开式一、泰勒级数§2函数的幂级数展开由泰勒公式知道,可以将满足一定一、泰勒级数在第六章§3的泰勒定理中曾指出,

若函数f在点x0

的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数,则这里为拉格朗日型余项一、泰勒级数在第六章§3的泰勒定理中曾指出,若函数f在点x由于余项是关于的高阶无穷小,因此

在点附近f可用(1)式右边的多项式来近似代替,这是泰勒公式带来的重要结论.再进一步,设函数f在处存在任意阶导数,就

可以由函数f得到一个幂级数其中在x与x0之间,称(1)式为f在点的泰勒公式.由于余项是关于的高阶无穷小,因此在点附近f可用通常称(3)式为f在处的泰勒级数.对于级数(3)是否能在点附近确切地表达f,或者说级数(3)

在点附近的和函数是否就是f

本身,这就是本节所要着重讨论的问题.请先看一个例子.例1

由于函数在处的任意阶导数都等于0(见第六章§4第二段末尾),即通常称(3)式为f在处的泰勒级数.对于级数(因此f在的泰勒级数为显然它在上收敛,且其和函数.由

此看到,对一切都有.上例说明,具有任意阶导数的函数,其泰勒级数并不都能收敛于该函数本身,哪怕在很小的一个邻域内.那么怎样的函数,其泰勒级数才能收敛于它本身呢?因此f在的泰勒级数为显然它在上收敛,且其和函数定理14.11

设f在点具有任意阶导数,那么f在

区间上等于它的泰勒级数的和函数的

充分条件是:对一切满足不等式的,有

这里是f在点泰勒公式的余项.本定理的证明可以直接从第六章§3泰勒定理推出.如果f能在点的某邻域上等于其泰勒级数的和函

数,则称函数f在点的这一邻域内可以展开成泰勒级数,并称等式定理14.11设f在点具有任意阶导数,那么f的右边为f在处的泰勒展开式,或幂级数展

开式.由级数的逐项求导性质可得:若f

为幂级数在收敛区间上的和函数,则

就是f

在上的泰勒展开式,的右边为f在处的泰勒展开式,或幂级数展开式.由即幂级数展开式是惟一的.在实际应用上,主要讨论函数在处的展开式,

这时(3)式就变成称为麦克劳林级数.从定理14.11知道,余项对确定函数能否展开为幂级数是极为重要的,下面我们重新写出当时的

即幂级数展开式是惟一的.在实际应用上,主要讨论函数在处的积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项,以便于后面的讨论.它们分别是积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项,以便于后面的讨论二、初等函数的幂级数展开式例2

求k次多项式函数的幂级数展开式.解由于二、初等函数的幂级数展开式例2求k次多项式函数的幂级数展开即多项式函数的幂级数展开式就是它本身.例3

求函数f(x)=ex的幂级数展开式.解

显见即多项式函数的幂级数展开式就是它本身.例3求函数f(x对任何实数x,都有对任何实数x,都有例4

所以在上可以展开为麦克劳

林级数:例4所以在上可以展开为麦克劳林级数:数学分析课件第四版华东师大研制第14章幂级数同样可证(或用逐项求导),在上有例5

所以的麦克劳林级数是同样可证(或用逐项求导),在上有例5所以的麦克劳林级数用比式判别法容易求得级数(5)的收敛半径,且

当时收敛,时发散,故级数(5)的收敛域

是.下面讨论在上它的余项的极限.当时,对拉格朗日型余项,有用比式判别法容易求得级数(5)的收敛半径,且当时收敛,当时,因拉格朗日型余项不易估计,故改用柯西型余项.此时有当时,因拉格朗日型余项不易估计,故改用柯西型余项.此这就证得在上

的幂级数展开式就是(5).将(5)式中x换成,就得到函数处的泰勒展开式:其收敛域为例6讨论二项式函数的展开式.解

当为正整数时,由二项式定理直接展开,就得到f的展开式,这已在前面例2中讨论过.这就证得在上的幂级数展开式就是(5).将(5)式中下面讨论不等于正整数时的情形,这时于是

的麦克劳林级数是运用比式法,可得(6)的收敛半径.在内

考察它的柯西型余项下面讨论不等于正整数时的情形