数学-直线与平面所成角

PABP1l(1)三垂线定理PP1

l

AP(2)三垂线逆定理PP1

1l

l

APl

APl

l

AP1应用C1D1B1A1CDABAA1

面ACBD

面ACBD

AC1

BD

AC三垂线定理及其逆定理PABP1前提从平面外一点引斜线段斜线段相等

射影相等应用如果三棱锥的三条侧棱相等，则三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的外心ABODC拓展:射影定理PCBAO若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三棱锥的顶点在底面的射影是底面三角形的

垂心

PA

PCPA

PB

PA

面PBCPO

面ABCAP

BC

BC

AOBC

面ABC同理AB

CO如果三棱锥的三个侧面上的高相等，则三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的内心EBADCFHOAE

BC

BC

OEBC

面BCDAO

面BCD同理BD

OH，CD

OF且RTAOE

RTAOH

RTAOFOE

OH

OF引课知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢?A如图,若一条直线PA和一个平面α相交,但不垂直,那么这条直线就叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足。斜足斜线P斜线斜足射影垂足垂线说它所成的角是直角；一条直线和平面平行,或在平面内,

说它所成的角是00的角。规定:一条直线垂直于平面,想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?PABP11、定义斜线l与其在平面上的射影所成的锐角叫做直线l与平面所成的角.注

1当l

时

902、范围：1斜线与平面2直线与平面2当l

//

或l

时0(0,90)[0,

90]线面角例：BOC在平面内，OA是的斜线，AOB

AOCBOC2a,求OA与所成的角A

60

,

OA

OB

OC

a,

BC

OA

OB

OC

a,AOB

AOC

60AOC,AOB都为正三角形

AC

AB

a

BC

2a

BOC,ABC都为等腰直角三角取BC中点E，连接AE，OEE2

a

AE

BC

,且AE

OE

2OA

a

AE

OE

AE

面AOE为OA与所成的角AOE

45

OA与所成的角为451、已知RtABC的斜边AB在平面内，AC和BC与所成的角分别是30,45CD是斜边AB上的高，求CD与所成的角.BCA

DC1解作CC1

于C1,连C1D则CDC1即为所求.连AC1,BC1.则CAC1

30

CBC1

45设CC1

a

CA

2aCB

2a在RtABC中，AB

6a

CD

AC

BC

2 3

aAB

31

1CD

21在RtCC

D中

sinCDC

CC1

3

CDC

60

CD与所成的角为60ABCDEFO例：A在面B点E是AD的中点，求CE与面BCD所成的取BC中点F，连接DF作AO

平面BCD于点O，连接AO

AB

AC

AD

OB

OC

ODO为BCD的外心作EH//AO交DF于H,连接CHH

EH

面BCD

ECH

为CE与面BCD所成角3

a设AB

a,则CE

3

a,

OD

326

6OA

a,

EH

a3

6

23sin

ECH

32CE与面BCD所成角为arcsinA1B1C1D1ABCD例1、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面BCC1B1所成的角。直线A1B和平面A1B1CD所成的角。O例题示范,巩固新知分析:找出直线A1B在平面1

1

1

1BCC

B和平面A

B

CD内的射影,就可以求出A1B和平面BCC1B1和平面A1B1CD所成的角。如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:AB1在面BB1D1D中的射影AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCB巩固练习如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:AB1在面BB1D1D中的射影AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCBO线段B1O巩固练习如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:AB1在面BB1D1D中的射影AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCBE线段B1E巩固练习如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:AB1在面BB1D1D中的射影AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1B1ADCB线段C1DC1巩固练习3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）

A1C1与面BB1D1D所成的角A1C1与面BB1C1C所成的角A1C1与面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCB0o巩固练习3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角A1C1与面BB1D1D所成的角A1C1与面BB1C1C所成的角A1C1与面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCB90o巩固练习如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:A1C1与面ABCD所成的角A1C1与面BB1D1D所成的角（3）

A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1C1与面ABC1D1所成的角A1C1B1ADCB45o

D1巩固练习如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:A1C1与面ABCD所成的角A1C1与面BB1D1D所成的角A1C1与面BB1C1C所成的角A1C1与面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCBE30o巩固练习例2，如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点证明：PA//面EDB求EB与底面ABCD所成角的正切值DCAPEBPCBAOF例、若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,则这一点在平面上的射影在这个角的平分线上已知：∠BAC在平面内,点P,PE⊥AB,PF⊥AC,PO⊥

,垂足分别是E、F、O,PE=PF.求证:∠BAO=∠CAO分析:

要证∠BAO=∠CAO只须证OE=OF,OE⊥AB,OF⊥ACE结论：①若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,则这一点在平面上的射影在这个角的平分线上②过角的顶点的射线和角的两边的夹角相等,则这条射线在平面内的射影是角平分线若COA

COBCOB则CO在平面AOB内的射影E为角AOB的平分线EFAG2、如图，在RtABC中，A

90,AB

3,AC

4,PA是平面ABC的斜线，PAB

PAC

60。求PA与平面ABC所成角的大小；APCBODE解

作PO

面ABC于O,

连OA,则PAO即为所求.作OD

AB于D,

连接PD

AB

PD作OE

AC于E,连接PE

AC

PEPAB

PAE

PDA

PEA

AD

AE

四边形ADOE为正方形设AD

a

AO

2a在RtPDA中PAB

60

PA

2a在RtPOA中PA2cos

PAO

AO

2

PAO

45

PA与平面ABC所成的角为45例：从平年外一点P引斜线段PA,PB,PA,PB分别与成45，30

角，求APB的范围PBOA1

A现固定PB,PO,让PAO

绕着PO旋转2AB的增大而增大A

在PAB

中，APB

将随着不妨设OP

1，设AB

xmin

3

1,

xmax

3

16

-

x