高等数学课件考点6无穷级数

无穷级数关注微课程，获取学习考点6.1

常数项级数考点6.2

正项级数考点6.3

交错级数考点6.4

幂级数

本考点知识点

扫码免费看

nn1

k

1【基本性质】n

nnn1无穷级数u

收敛，则lim

u

0

【基本概念】(1)无穷级数un

收敛

部分和Sn

uk

收敛(2)

如果|un

|收敛

un

收敛，并称un

绝对收敛n1

n1

n1考点6.1

级数基本理论n1

n1

(3)如果|un

|丌收敛，但un

收敛，称un

条件收敛n1

n1n1(1)n12n1,

(1)n1

qn1

,

0

q

1如n1

n但反乊未然，如

1

.看不懂扫这里10考点6.1

级数基本理论【基本公式】常见级数及其敛散性20npn1(1)n,

p

0p-级数

a1

q等比级数

aqn

,

a

0n1当|

q

|

1时，绝对收敛，其和为S

当|

q

|

1时，发散.当p

1时，绝对收敛当p

1时，条件收敛看不懂扫这里【基本性质】收敛、绝对收敛、条件收敛乊间的关系考点6.1

级数基本理论收敛条件收敛绝对收敛绝对收敛收敛条件收敛看不懂扫这里n1D.2nnu1

50n1

A.kun

(k

0)n1C.B.un100

n1

2nu

n1考查知识点：级数收敛的条件【2011,13】若级数un

收敛，则下列级数中丌收敛的是:答案:D考点6.1

级数基本理论扫码看解析【2009,13】已知级数(u2n

u2n1

)收敛的，则下列结论成立的是:n1C.

lim

un

=0nn1A.

un必收敛n1B.

un未必收敛n1D.

un发散考查知识点：级数收敛的条件解题思路：所给条件中，逐项排除法考点6.1

级数基本理论扫码看解析n1【2005,16】级数un

收敛的充要条件是:1nnnnnnuD.lim

S

存在(其中Sn2n

nnA.

lim

u

=0 B.

lim

un1

r

1C.u

1

u

u

)考查知识点：级数收敛的定义、条件解题思路：只有定义是级数收敛的充要条件考点6.1

级数基本理论扫码看解析【基本概念】正项级数an

收敛

部分和Sn有界

n1【基本方法】比较审敛法1:

n1

n1n1

n1n1设an，bn为正项级数，an

bn若bn

收敛，则an

也收敛若an

发散，则bn

也发散1比较审敛法(1)考点6.2

正项级数n1注：大收

小收；小发散

大发散注：常用的丌等式1ln

n

n

n

n(1)

1

,

n

1；

(2)

|

sin

n

|

1

;(3)

|

cos

n

|

1n

n【基本方法】

nnnnan

bn1n1比较审敛法2:

k设

a，b

为正项级数，且lim

n1(1)若0

k

，则bn不an

同敛散；n1若k

0，则an

bn；若k

，则an

bn。1比较审敛法(2)1n1

np(

p

1);i)

i

i)

xn

(|

x

|

1)n1

1

np(

p

1);n1

n1【基本公式】(1)常见收敛级数(2)

常见发散级数

i)

n1i

i)

xn

(|

x

|

1)n1考点6.2

正项级数注：如果an

bn

,则an

不bn同敛散.2比值审敛法【基本方法】考点6.2

正项级数nn1【基本方法】设

an

为正项级数，且lim

n

an

l(1)若l

1，则an

收敛；n13根值审敛法(2)若l

1，则an

发散；n1(3)若l

=1，此法无法判断.考点6.2

正项级数

n【2013,12】正项级数an

的部分和数列{Sn

}(Sn

ai

)有上界是该级数收敛的：n1A.充分必要条件C.必要条件而非充分条件i

1B.

充分条件而非必要条件D.既非充分又非必要条件考查知识点：正项级数收敛的定义、充要条件解题思路：由正项级数收敛的充要条件，直接可得考点6.2

正项级数扫码看解析【2010,13】下列各级数中发散的是：113nn1B.

(1)n1n1

n1ln(n

1)n

1n

1

2

n

3

A.n1C.D.(1)n1考查知识点：正项级数敛散性的判别法考点6.2

正项级数扫码看解析【2007,13】下列各级数发散的是：1A.sinn321nn1n1n1n1n1ln(n

1)n

1

2

n

3

B.

(1)C.D.(1)n1

考查知识点：正项级数敛散性的判别法解题思路：逐项判断敛散性考点6.2

正项级数扫码看解析【2005,17】正项级数nana

,判定liman1nn1

q

1是此正项级数收敛的什么条件？A.充分条件，但非必要条件C.充分必要条件B.必要条件，但非充分条件D.既非充分条件，又非必要条件考点6.2

正项级数考查知识点：正项级数收敛的判别法、充要条件解题思路：由正项级数收敛的比值（根值）判别法，是级数收敛的充分条件，但非必要条件扫码看解析nnnn1n10,(1)(1)n1n1【基本概念】设uu，则称u

为交错级数【基本方法】nn1n1(1)如果交错级数u

满足下列两条：(1)

un单调递减；(2)

lim

un

0nnn1n1则(1)

u

收敛.考点6.3

交错级数看不懂扫这里【2012,10】下列级数中，条件收敛的是：nn3n1(1)n(1)n

(1)nn

1n1

n(n

1)n

2A.

n1B.

n1C.

D.(1)n

考查知识点：条件收敛、绝对收敛、交错级数考点6.3

交错级数答案：A扫码看解析的收敛性是：n(1)n【2008,10】级数n1A.绝对收敛

B.

条件收敛

C.

等比级数收敛

D.

发散考查知识点：条件收敛、绝对收敛、交错级数考点6.3

交错级数答案：B看不懂扫这里1收敛半径nn

0【基本概念】关于(x

x0

)的幂级数:n0a

(

x

x

)na

xnn0关于x的幂级数:nnnlim

|

a

|a【基本理论】设

=lim

an1nn,或

则r

1

为幂级数的收敛半径.若=0,则r

.考点6.4

幂级数2收敛域【基本性质】设幂级数的收敛半径为r，则0(1)nn

0

0

r

);a

(

x

x

)

的收敛域为

(

x

r,

xn0(2)nna

x

的收敛域为(r,

r

).n0注：端点收敛不否，需具体分析.考点6.4

幂级数3幂级数展开—林级数xnn0

n!(2)ex

,收敛半径r

;1nn

0(1)

1

xx

,收敛半径r

1;2

x注：这些公式要灵活运用.如将

1

【基本方法】常见林展开公式：展开成(1)x的幂级数；(2)x

1的幂级数x2n1,收敛半径r

;x2n(3) sin

x

n0

(2n

1)!(4) cos

x

n0

(2n)!,收敛半径r

;考点6.4

幂级数nn【基本性质】在收敛域内具有以下微分和积分性质：n0如果S(x)a

x，则nna

xna

xn1n1(1)

S

(

x)

n

n0=00(2)xxnnanxn1x dx

n

1S(

x)dx

an0n0考点6.4

幂级数(1)nx

=1

xn01

1n

nn01

x；

(2)

(1)

x

，|

x

|

14求和函数【基本方法】灵活利用常见展开公式和幂级数的求导、积分性质等比级数：考点6.4

幂级数1

13n

n

nnnnx

n1n0

n0考查知识点：幂级数收敛半径n0

32A.

3

x

B.

3

xC.

x

D.n0【2013,17】下列幂级数中，收敛半径R

3的幂级数是：答案：D考点6.4

幂级数扫码看解析的林展开正确的是：12【2012,11】当|

x

|

1

时，函数f

(x)1

2xn0

n0A.

(1)n1

(2x)nC.

(1)nB.

(2)n

xn

n0n

n2

x

D.2

xn

nn0n01

t考查知识点：幂级数展开公式解题思路：根据函数不公式的相似性，确定公式

1

t

n

,|t|

1t

2

x1

11

2x

1

t考点6.4

幂级数

(2x)n

,|

2

x

|

1t

2

x

n0n0tn扫码看解析【2011,14】设幂级数nna

x

的收敛半径为2,则幂级数n0A.

(2,

2) B.(

2,

4) C.

(0,

4)考查知识点：幂级数收敛半径、收敛域D.

(4,

0)答案：Cnn1n0na

(

x

2)的收敛区间是：考点6.4

幂级数扫码看解析3n

nn0考查知识点：幂级数收敛半径、收敛域3

34A.

[

2,

4) B.

(

2,

4) C.

(1,1) D.[

1

,

)【2010,14】幂级数

(

x

1)

的收敛域是：

答案：A

n考点6.4

幂级数扫码看解析【2009,14】函数13

x考查知识点：幂级数展开解题思路：根据函数不公式的相似性，确定公式2xnxn4n1D.

(1)nn0(

x

1)n2n1

1

x

nn0

2n

n0

A.

B.

C.

n0展开成(x

1)的幂级数是：答案：C考点6.4

幂级数扫码看解析考查知识点：幂级数展开n!n!nne(

x

1)n(

x

1)n(

x

1)n(

x

1)nA.

n0B.

en0C.

n0D.

n0【2008,15】函数e

x

展开成(

x

1)的幂级数是：

答案：B解题思路：根据函数不公式的相似性，确定公式考点6.4

幂级数扫码看解析x【2007,15】函数1

展开成