高考复习圆锥曲线中离心率问题(含详细)

(完好版)高考复习圆锥曲线中离心率问题(含详尽)(完好版)高考复习圆锥曲线中离心率问题(含详尽)PAGEPAGE11(完好版)高考复习圆锥曲线中离心率问题(含详尽)PAGE圆锥曲线中的离心率问题〔答案〕

一、直接求出a、c，求解e

标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式ec来求解。a例1.过双曲线C：x2y21(b0)的左极点A作斜率为1的直线l，假定l与双曲线Mb2的两条渐近线分别订交于点B、C，且|AB|=|BC|，那么双曲线M的离心率是〔〕A.10B.5C.1053D.2剖析：这里的a1，cb21，故重点是求出b2，即可利用定义求解。解：易知A〔-1，0〕，那么直线l的方程为yx1。直线与两条渐近线ybx和ybx的交点分别为B(1,b)、C(1,b)，又|AB|=|BC|，可解得b29，那么c10b1b1b1b1故有ec10，从而选A。a二、变用公式，整体求出e例2.双曲线x2y21(a0,b0)的一条渐近线方程为y4x，那么双曲线的离a2b23心率为〔〕A.5B.4C.53334D.2剖析：本题b4，不可以直接求出a、c，可用整体代入套用公式。a3解：由eca2b2a2b21b21k2〔此中k为渐近线的斜率〕。aaa2a2这里b4，那么ec1(4)25，从而选A。a3a33三、第二定义法由圆锥曲线的统必定义〔或称第二定义〕知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别合用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。例3.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，1那么该椭圆的离心率为〔〕A.2B.21D.22C.42解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F，那么MFx轴，知|MF|是通径的一半，那么有|MF|2。由圆锥曲线统必定义，得离心率e|MF|2，从而选B。2d2四.结构a、c的齐次式，解出e依据题设条件，借助a、b、c之间的关系，结构出a、c的齐次式，从而获得对于e的方程，经过解方程得出离心率e的值，这也是常用的一种方法。例4.F、F是双曲线x2y21(a0,b0)的两焦12a2b2点，以线段F1F2为边作正MFF，假定边MF的中点在双曲线上，121那么双曲线的离心率是〔〕A.423B.31C.31D.231解：如图，设|OF1|c,MF1的中点为P，那么点P的横坐标为c1|c，，由|PF1||F1F222由焦半径公式|PF1|expa，即cc(c)a，得c22a22ac0，有a2e22e20，解得e13,e13〔舍去〕，应选D。高考试题剖析x2y21(a0,b0)的右极点A作斜率为1的直线，该直1.〔2021浙江理〕过双曲线b2a2uuur1uuur()线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C．假定ABBC，那么双曲线的离心率是2A．2B．3C．5D．10答案：C【分析】对于Aa,0，那么直线方程为xya0，直线与两渐近线的交点为B，C，a2ab,C(a2abuuur2a2b2a2buuurababB,,)，BC(a2b2,2b2),AB,，ababababaabab2uuuruuur4a2b2,e5．所以2ABBC,x2y21(ab0)的左焦点为F，右极点为A，点B在椭2.〔2021浙江文〕椭圆b2a2uuuruuur圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P．假定AP2PB，那么椭圆的离心率是〔〕A．3B．21122C．D．32uuuruuur2OF,a2c,e1【分析】对于椭圆，由于AP2PB，那么OA23.(2021山东卷理)设双曲线x2y21的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，a2b2那么双曲线的离心率为().5C.5D.5A.2422bx,由方程组b【分析】:双曲线x2y21的一条渐近线为yyax,消去y,得abayx21x2bx10有独一解,所以△=(b)240,aa所以b2,eca2b21(b)25,应选Daaaa4.〔2021安徽卷理〕以下曲线中离心率为6的是2〔A〕x2y21〔B〕x2y21〔C〕x2y21〔D〕x2y21244246410[分析]由e6得c23,1b23,b21，选B2a22a22a225.〔2021江西卷文〕设F1和F2为双曲线x2y21(a0,b0)的两个焦点,假定F1，F2，a2b2P(0,2b)是正三角形的三个极点,那么双曲线的离心率为3B．2C．5D．3A．22【分析】由tanc3有3c24b24(c2a2),那么ec2,应选B.62b3a3〔江西卷理〕过椭圆x2y21(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，a2b2F2为右焦点，假定F1PF260o，那么椭圆的离心率为A．23C．1D．12B．233【分析】由于P(c,b2)，再由F1PF260o有3b22a,从而可得ec3，应选Baaa37.〔2021全国卷Ⅱ理〕双曲线x2y21a0,b0的右焦点为F,过F且斜率C：b2a2为3的直线交C于A、B两点，假定AF4FB,那么C的离心率(A)6759A．B.C.D.55858.〔2021福建理〕双曲线x2y21〔a＞0,b＞〕的两个焦点为F1、F2假定P为其上一11a2b20,点，且|PF1|=2|PF2|,那么双曲线离心率的取值范围为〔B〕A.(1,3)B.1,3C.(3,+)D.3,利用第二定义及焦半径判断x03a9.〔2021湖南理8〕假定双曲线x2y21〔a＞0,b＞0〕上横坐标为3a的点到右焦点的距a2b22离大于它到左准线的距离，那么双曲线离心率的取值范围是(B)A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D.(5,+)分析：利用第二定义e(3a-a2)>3a+a2,整理得3e2-5e-2>02c2cuuuuruuuur10.〔2021江西理7〕F1、F2是椭圆的两个焦点，知足MF1MF20的点M总在椭圆内部，那么椭圆离心率的取值范围是〔C〕A．(0,1)B．(0,1]C．(0,2)D．[2,1)222uuuuruuuur0的点M总在椭圆内部，所以分析：知足MF1MF2c<b.411.〔2021全国二理9〕设a1，那么双曲线x2y21的离心率e的取值范围是〔B〕a2(a1)2A．(2，2)B．(2，5)C．(2，5)D．(2，5)12.〔2021湖南文10〕双曲线x2y21(a0,b0)的右支上存在一点，它到右焦点及a2b2左准线的距离相等，那么双曲线离心率的取值范围是(C)A．(1,2]B．[2,)C．(1,21]D．[21,)利用焦半径公式及x0>a，解不等式即可。x2y2A，13.〔2007全国2理〕设F1，F2分别是双曲线2b2的左、右焦点，假定双曲线上存在点a使F1AF290o且AF13AF2，那么双曲线的离心率为〔B〕A．5B．1015D．522C．2ì-AF2=2AF2=2a?AF2c102?ae解í22??102?(AF1)+(AF2)=(2c)14.〔07江苏理3〕．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x2y0，那么它的离心率为〔A〕A．5B．5C．3D．22〔注意焦点在y轴上〕15.〔07湖南文〕．设F1，F2分别是椭圆x2y21〔ab0〕的左、右焦点，P是其a2b2右准线上纵坐标为3c〔c为半焦距〕的点，且|F1F2||F2P|，那么椭圆的离心率是〔D〕A．31B．1C．51D．2222216〔07北京文4〕．椭圆x2y21(ab0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点a2b25分别为M，N，假定MN≤F1F2，那么该椭圆离心率的取值范围是〔D〕Ａ．1Ｂ．，2Ｃ．1，Ｄ．2，222217.〔2021重庆卷文〕椭圆x2y21(ab0)的左、右焦点分别为a2b2F1(c,0),F2(c,0)，假定椭圆上存在一点P使ac，那么该椭圆的离心率的sinPF2F1sinPF1F2取值范围为．【答案】21,1.解法1，由于在PF1F2中，由正弦定理得PF2PF1sinPF1F2sinPF2F1那么由，得ac，即aPF1cPF2PF12PF11设点(x0,y0)由焦点半径公式，得PF1aex0,PF2aex0那么a(aex0)c(aex0)记得x0a(ca)a(e1)由椭圆的几何性质知x0a那么a(e1)a，整理得e(ca)e(e1)e(e1)e22e10,解得e21或e21，又e(0,1)，故椭圆的离心率e(21,1)18.(2021湖南卷理)以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60o，那么双曲线C的离心率为62【分析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是b,c(b是虚半轴长，c是焦半距)，且一个内角是30，即得btan30，所以c3b，c所以a2bc36，离心率e22a719.〔2021全国一理15〕在△ABC中，ABBC，cosB．假定以A，B为焦点的椭186圆经过点C，那么该椭圆的离心率e．3820.〔2021辽宁文数〕设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,假如直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为〔A〕2〔B〕331〔D〕51〔C〕22分析：选D.不如设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：x2y21(a0,b0)，a2b2那么一个焦点为F(c,0),B(0,b)一条渐近线斜率为：b，直线FB的斜率为：b，b(b)1，b2acacacc2a2ac0，解得ec51.a221、〔2021x2y21(ab)的右焦点F，其右准线与x轴的交四川理数〕〔9〕椭圆b2a2点为A，在椭圆上存在点P知足线段AP的垂直均分线过点F，那么椭圆离心率的取值范围是〔A〕0,2〔B〕0,1〔C〕21,1〔D〕1,1222分析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直均分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|＝a2cb2，|PF|∈[a－c,a＋c]，于是b2∈[a－c,a＋c]cccac－c2≤b2≤ac＋c2cacc2a2c2a11又e∈(0,1)故e∈∴22,12caccc或c12aa12a答案：D22.〔2021辽宁理数〕(20)〔本小题总分值12分〕设椭圆x2y21(ab0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C订交于A，BC：2b2auuuruuur两点，直线l的倾斜角为60o,AF2FB.求椭圆C的离心率；假如|AB|=15，求椭圆C的方程.4解：7A(x1,y1),B(x2,y2)，由意知y1＜0，y2＞0.〔Ⅰ〕直l的