文科经管类微积分(00002)市公开课一等奖省名师优质课赛课一等奖课件

高等院校非数学类本科数学课程——微积分大学数学（一）第三十九讲二元函数基本概念脚本编写：教案制作：§7.1二元函数基本概念一、邻域二、二元函数概念三、二元函数极限四、二元函数连续性上页下页铃结束返回首页二、多元函数概念

引例:圆柱体体积二元函数微积分

下面在一元函数微积分基础上,来研究多元函数微积分.因从一元函数到二元函数将见面临一些新问题,而从二元函数到二元以上多元函数,可完全类推;

需首先介绍一些空间故下面主要研究二元要研究二元函数,现就必备知识作解析几何知识.简单介绍.函数微积分及其应用.空间直角坐标系（三维直角坐标系）右手原则（纵轴）（横轴）（竖轴）O平面平面平面O三个坐标平面分空间为八个卦限（演示）

ⅢⅣⅠ

ⅡⅤⅥⅦⅧ三个坐标平面八个卦限

空间点有序数组特殊点表示:二、空间中点直角坐标

(称为点M

坐标)xyz空间中两点间距离：∙两点间距离点M到原点距离平面直角坐标系

oxy平面内任取一点O——原点

过O点另作一垂线——y轴（纵轴）

过O点做一直线——x轴（横轴）两坐标轴分平面为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限

实数对对应平面内点P，记作，分别称数x为点P横坐标，数y为点P纵坐标。平面内点p与实数对(x,y)一一对应

ⅠⅡⅢⅣP(x,y)xyoxyP(x,y)xy平面内点p与实数对(x,y)一一对应

一、区域1.邻域

设P0(x0,y0)是xOy平面上一个点,d是某一正数.点集U(P0,d)U(P0,d){P||PP0|<d}去心邻域U(P0,d){P|0<|PP0|<d},

。简记为U(P0).。下页称为点P0(x0,y0)d邻域,简记为U(P0).2.区域内点：Ｅ内部点.边界点E边界上点.

显然,E内点属于E.边界点内点下页平面上区域，通惯用字母D、G…表示。2.区域:在平面直角坐标系中，由一条或几条曲线所围成xoy平面一个部分称为区域。围成区域曲线，称为区域边界。包含全部边界区域，称为闭区域；不包含边界区域，称为开区域；只包含部分边界区域，称为半开半闭区域。D是闭区域D是开区域假如一个区域能够被包围在一个以原点为圆心某个圆内，则称此区域为有界区域，不然称其为无界区域.区域举例

D4={(x,y)|1x2+y24}.

D3={(x,y)|1<x2+y2<4}.

D1={(x,y)|x+y>0}.

D2={(x,y)|x+y0}.

下页开区域闭区域开区域无界区域无界区域有界区域有界区域闭区域二、二元函数概念二元函数定义设D是xoy平面上一个点集.假如对于每个点P(x,y)D,变量z按照一定法则总有确定值和它对应,则称z是变量x,y二元函数(或点P函数),记为z=f(x,y)(或z=f(P)).在定义中,D是定义域,

x和y是自变量,z是因变量.下页

z=ln(x+y)是二元函数,其定义域为{(x,y)|x+y>0}(无界开区域).

下页二、二元函数概念二元函数定义设D是平面上一个点集.假如对于每个点P(x,y)D,变量z按照一定法则总有确定值和它对应,则称z是变量x,y二元函数(或点P函数),记为z=f(x,y)(或z=f(P)).函数举例函数举例zarcsin(x2+y2)是二元函数,其定义域为

{(x,y)|x2+y21}(有界闭区域).下页二、二元函数概念二元函数定义设D是平面上一个点集.假如对于每个点P(x,y)D,变量z按照一定法则总有确定值和它对应,则称z是变量x,y二元函数(或点P函数),记为z=f(x,y)(或z=f(P)).值域

{z|z=f(x,y),(x,y)D}.二元函数图形

当(x,y)

在D中变动时,点M(x,y,z)在空间中变动,当(x,y)取遍D中一切点时,M(x,y,z)在三维空间中"织"出一片曲面.

按二元函数定义，对于任意

(x,y)D.能够唯一确定实数z,从而确定了空间一个点M(x,y,z).

值域

{z|z=f(x,y),(x,y)D}.二元函数图形

按二元函数定义，对于任意

(x,y)D.能够唯一确定实数z,从而确定了空间一个点M(x,y,z).

即二元函数表示空间中一片曲面,定义域D是该曲面在xoy平面上投影.例3求球心在点

半径为R球面方程.尤其地,以原点为球心,R为半径球面方程为M0MROxyz二元函数极限和连续性

证实二元函数极限不存在方法1、找出两条不一样路径使得点P沿这两条路径趋向于时，f(x,y)极限不相等.2、找一条特殊路径（y=kx)使得f(x,y)极限不存在.解当点(x,y)沿x轴(y=0)趋于(0,0)时,得但当点(x,y)沿抛物线趋于(0,0)时,却得（2）二元函数极限求法极限四则运算法则以及极限变量替换法均仍成立。二元函数极限运算法则与一元函数情况类似.=12=2.

例2.

解:首页是一个数计算以下极限

二元函数极限计算

×∙换元时与不能相互制约因为二重极限值不受动点趋向于定点方式影响！四、二元函数连续性设函数f(x,y)在开区域D内有定义,P0(x0,y0)D.假如二元函数连续性定义则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)连续.函数f(x,y)在区域D内连续:是指函数f(x,y)在D内每一点连续.此时称f(x,y)是D内连续函数.下页函数间断点

若函数f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续,则P0称为函数f(x,y)间断点.间断点可能是孤立点也可能是曲线上点.曲线x2+y2-1=0上点.间断点举例下页有洞曲面有缝曲面四、二元函数连续性

ABCDz=f(x,y)xz

0y二元函数二元连续函数性质

性质1(最大值和最小值定理)

在有界闭区域D上二元连续函数,在D上一定有最大值和最小值.二元连续函数和、差、积、商(分母不为零)均为连续函数,二元连续函数复合函数也是连续函数.下页二元初等函数连续性一切二元初等函数在其定义区域内是连续.(1)二元初等函数是可用一个式子所表示二元函数,而这个式子是由二元多项式及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所组成.比如sin(x+y)是由sinu与u=x+y复合而成,它是二元初等函数.(2)所谓定义区域是指包含在定义域内区域或闭区域.说明:下页由x和y基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算组成一个式子函数此结论对研究二元函数连续性和求极限很有帮助.例3.初等函数定义域内点二元初等函数连续性一切二元初等函数在其定义区域内是连续.例4.

二元函数极限计算——计算以下极限1.4.(2)(4)6.(1)(3)7.(3)8.(1)(2)(3)(4)3.10.作业P68高等院校非数学类本科数学课程——微积分大学数学（一）第四十讲

偏导数脚本编写：教案制作：§7.2偏导数一、偏导数定义及其计算法二、高阶偏导数上页下页铃结束返回首页§7.2偏导数这种改变率称之为偏导数.在研究一元函数时,已经看到了函数关于自变量改变率(导数)主要性.对于二元函数也一样有一个处于主要地位函数改变率问题.因二元函数有两个自变量,且这两个自变量是彼此无关,故可考虑函数关于其中一个自变量改变率,此时将另一个自变量看作不变.一、偏导数定义及其计算法设函数zf(x,y)在点(x0,y0)某一邻域内有定义,假如极限存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x偏导数,记作类似地,可定义函数zf(x,y)在点(x0,y0)处对y偏导数.偏导数定义下页偏导数符号下页一、偏导数定义及其计算法偏导数定义偏导函数假如函数zf(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x偏导数都存在,那么这个偏导数就是x、y函数,它就称为函数zf(x,y)对x偏导函数,记作类似地,可定义函数zf(x,y)对y偏导函数,记作偏导函数简称偏导数.下页3.偏导数计算(1).要求函数ƒ(x,y)对自变量x偏导数,只须将自变量由偏导数定义知：

用一元函数求导法则对x求导；(2).要求函数ƒ(x,y)对自变量y偏导数,只须将自变量y看成常数，x看成常数,

用一元函数求导法则对y求导.偏导数求法（2）多元函数偏导数计算方法因为多元函数偏导数定义中极限是一元函数极限问题，所以说多元函数求偏导数其实质是“在固定其它自变量前提下，对某一个自变量求导数”问题。所以，多元函数偏导数运算与一元函数导数运算一样，成立四则运算法则；例1.

求解:在点(1,2)处偏导数.例1.

求解法2:在点(1,2)处偏导数.例11求函数在点(1,0)处偏导数.例3求解:此题用解法一太繁,只能用解法二.因求让固定,令则所以当时,所以

例1.

求zx2sin2y偏导数.

解:

下页(1).要求函数ƒ(x,y)对自变量x偏导数,只须将自变量用一元函数求导法则对x求导；(2).要求函数ƒ(x,y)对自变量y偏导数,只须将自变量y看成常数，x看成常数,

用一元函数求导法则对y求导.例1.求例2.求偏导数.三元以上偏导数可类似定义.求时,求对一阶导数.比如,对三元函数可把都看作常量,

例3.证:

下页分段形式多元函数在分段点上求偏导数，因为多元分段

函数普通不是多元初等函数，故普通只能用“定义法”求偏

导数值。多元函数可偏导性与连续性关系“可偏导”未必“连续”

“连续”未必“可偏导”因为对于一元函数而言，“连续”未必“可导”，而一元函数是二元函数特例，故普通而言，连续二元函数未必可偏导。分段点处偏导数要用定义求二、高阶偏导数二阶偏导数假如函数zf(x,y)偏导数也含有偏导数,则它们偏导数称为函数zf(x,y)二阶偏导数.其中和称为混合偏导数.类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数.下页函数zf(x,y)二阶偏导数有四个:解:

例6.设zx3y23xy3xy1,求z全部二阶偏导数.此例中两个混合偏导数是相等.下页解:

例6.设zx3y23xy3xy1,求z全部二阶偏导数.下页

例7.证:下页xz

y0

由一元函数导数几何意义：z=f(x,y)L：L=tan3.偏导数几何意义.y=y0同理，.MTx固定

y=y0M

z=f(x,y)Lx=x0固定

x=x0Tx3.偏导数几何意义.xz

y0M

由一元函数导数几何意义：z=f(x,y)L=tan.x=x0固定

x=x0TxTy3.偏导数几何意义.xz

y01.(1)(3)2.(3)(5)(6)3.(2)(3)4.(2)(3)6.7.8.5.9.作业P7310.高等院校非数学类本科数学课程——微积分大学数学（一）第四十一讲

全微分脚本编写：教案制作：一、全微分定义二、全微分计算§7.3全微分及其应用上页下页铃结束返回首页实例:正方形金属薄片受热后面积改变量.设边长由x0变到x0+Dx,(2):Dx高阶无穷小,当|Dx|很小时可忽略(1):Dx线性函数,且为DA主要部分(2)(1)∵正方形面积A=x02A=x02复习一元函数微分再如,既轻易计算又是很好近似值问题:全部函数改变量是否都有这个线性主部?它是什么?怎样求?当|Dx|很小时,(2)是Dx高阶无穷小,o(Dx)(1)(2)微分定义函数y=f(x)在x0某一邻域内有定义,定义x0和x0+Dx都在领域内.假如成立(其中A与Dx无关).则称f(x)在x0

可微,而且把A

·

Dx称为f(x)在x0微分,记为dy或df(x),即比如

dcosx(cosx)Dx

sinxdx

dyf

(x)Dx,

函数改变量改变情况.∆x∆y则其面积为S=xy，是x和y二∆S=(x+∆x)(y+∆y)－xy=y∆x+x∆y+∆x∆y一.全微分概念本节研究二元函数在两个自变量都有微小改变时，如图所表示矩形长和宽为x和y,函数.若边长x和y分别取得微小改变量∆x和∆y，则面积S也对应有一个改变量而∆x∆y较高阶无穷小量,故可将它略去,(当∆x→0,∆y→0时)是比而用∆x、∆y线性xyxyxyyx部分y∆x+x∆y近似表示∆S，类似于一元函数微分，y∆x+x∆y也称为S全微分dS..全微分定义其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y相关,则称函数zf(x,

y)在点(x,

y)可微分,而称AxBy为函数zf(x,

y)在点(x,

y)全微分,记作dz,即

dzAxBy.

假如函数在区域D内各点处都可微分,那么称这函数在D内可微分.

下页假如函数zf(x,

y)在点(x,

y)全增量

zf(xx,

yy)f(x,

y)可表示为可微分与连续偏导数存在不一定连续,

但可微分必连续.

这是因为,假如z=f(x,

y)在点(x,

y)可微,则

zf(xx,

yy)f(x,

y)AxByo(r),所以函数z=f(x,

y)在点(x,

y)处连续.下页

zf(xx,

yy)f(x,

y)假如函数zf(x,

y)在点(x,

y)可微分,则函数在该点简明证实:尤其当y0时有f(xx,

y)f(x,

y)Axo(|x|).

设函数zf(x,

y)在点(x,

y)可微分.于是有

zf(xx,

yy)f(x,

y)AxByo(r),所以返回定理返回

zf(xx,

yy)f(x,

y)AxByo(r),注意:

该定理逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:假如函数zf(x,

y)在点(x,

y)可微分,则函数在该点定理注：可偏导不一定可微,见下面反例.

同理,注：可偏导不一定可微,见下面反例.

所以若二元函数偏导函数是连续函数时，则该二元

函数必定可微.

因为若可偏导必可微，而“可微必定是连续”

，于是有可偏导必定连续，这与原来结论“可偏导未必连续”矛盾！

“可偏导”未必“可微”函数可微函数连续偏导数连续函数可偏导叠加原理按着习惯,x、y分别记作dx、dy,并分别称为自变量微分,这么函数z=f(x,

y)全微分可写作二元函数全微分等于它两个偏微分之和这件事称为二元函数微分符合叠加原理.

叠加原理也适合用于二元以上函数,比如uf(x,

y,

z)全微分为下页

例1.

计算函数zx2yy2全微分.

解:所以dz

例2.

计算函数zexy在点(2,1)处全微分.

解:所以dz2xydx(x22y)dy

.e2dx2e2dy

.

下页（4）多元函数全微分计算实例

例3.

解:首页1.(1)(3)(5)2.3.4.(1)6.8.作业P80高等院校非数学类本科数学课程——微积分大学数学（一）第四十二讲多元复合函数求导脚本编写：教案制作：§7.4多元复合函数求导法则上页下页铃结束返回首页一元复合函数求导法则一、二元复合函数求导链式法则定理.

若函数处偏导连续,

在点t可导,

则复合函数简明说明：且有链式法则(全导数公式)都存在,且在对应于(x,y)点(u,v)处,函数z=ƒ(u,v)定理

若u=φ(x,y),v=Ψ(x,y)在点(x,y)处偏导数可微,则复合函数z=ƒ(φ(x,y),Ψ(x,y))对x及y偏导数都存在,且注1

此定理也可称为求导链式法则.记忆可用上图所表示链子来记.定理中等式数为自变量个数；每一个等式中项数为中间变量个数.z到x路径有两条,一条是“z→u→x”,一条是“z→v→x”;z到y路径也有两条,一条是“z→u→y”,一条是“z→v→y”.设zf(u,v),而uj(x,y),vy(x,y),则

例1.解:e

usinve

usinvex

y[ysin(xy)cos(xy)],1e

ucosvyex

y[xsin(xy)cos(xy)].1e

ucosvx下页推广:1)中间变量多于两个情形.

比如,例3.设

求全导数解:推广:1)中间变量多于两个情形.比如,例3.设

求全导数解:先依据定义画出中间变量，再画自变量，最终按求导标准求导．一些中间变量也是最终变量情况：例3设求解:

在该例中，我们清楚看出与含意是不一样.显然不等于.

复合函数结构即使是各种多样，求复合函数偏导数公式也不完全相同，但借助函数结构图,都能够直接写出给定复合函数偏导数公式.注1

此定理也可称为求导链式法则.记忆可用上图所表示链子来记.定理中等式数为自变量个数；每一个等式中项数为中间变量个数.z到x路径有两条,一条是“z→u→x”,一条是“z→v→x”;z到y路径也有两条,一条是“z→u→y”,一条是“z→v→y”.例2.解:例2设,其中z=f(u,v)为可微函数,求解令，可得二元抽象复合函数求导：其中不能再详细计算了，这是因为外层函数f仅是抽象函数记号，没有详细给出函数表示式.多元抽象复合函数求导：引入记号:提醒:提醒:解:

例4.设wf(xyz,xyz),f含有二阶连续偏导数,令uxyz,vxyz

,则wf(u,v).下页1.2.(1)(3)(5)3.(1)4.6.7.8.5.作业P8413.高等院校非数学类本科数学课程——微积分大学数学（一）第四十三讲隐函数求导法则脚本编写：教案制作：§7.5隐函数求导法则上页下页铃结束返回首页若方程确定了函数我们有以下方法求函数对导数：1.先把函数显化再求导。2.将方程两边同时对求导，比如：两边对求导，得：注意这时是函数一、复习一元隐函数求导数两边对x求导复习一元隐函数求导数解:两边对x求导假如利用上一节二元复合函数求导公式也有:令则要分清方程与函数定理:则则

令解法二:要分清方程与函数定理:二元隐函数求导数：设是由方程zvyx所确定隐函数，且求解：对方程两边关于求偏导得，于是所以一元复合函数求导，二元隐函数求导数：设是由方程所确定隐函数，且求解：对方程两边关于求偏导得，于是所以由方程F(x,y,z)0确定隐函数zz(x,y)偏导数为下页说明:类似可得其中令则要分清方程与函数由方程F(x,y,z)0确定隐函数zf(x,y)偏导数为设F(x,y,z)x2y2z24z,解:例2.则Fx2x,Fz2z4,首页要分清方程与函数例2.设方法二:

直接对方程两边求导,再对x求导,二元隐函数求导数：要分清方程与函数例求由方程所确定隐函数偏导数解：对方程两边对求偏导有，即所以将上式两端同乘得，例求由方程所确定隐函数偏导数解：对方程两边对求偏导有，即所以将上式两端同乘得，例求由方程所确定隐函数偏导数由方程F(x,y,z)0确定隐函数zf(x,y)偏导数为解：设则1.3.5.7.8.作业P8812.高等院校非数学类本科数学课程——微积分大学数学（一）第四十四讲多元函数极值及其求法脚本编写：教案制作：一、多元函数极值及最大值、最小值§7.7多元函数极值及其求法上页下页铃结束返回首页极值定义设二元函数uf(P)在点P0某个邻域U(P0)内有定义.

假如对于U(P0)内任何异于P0点P都有f(P)<f(P0),则称函数在点P0有极大值f(P0);一、多元函数极值及最大值、最小值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值点称为极值点.

假如对于U(P0)内任何异于P0点P都有f(P)>f(P0),则称函数在点P0有极小值f(P0);下页提醒:当(x,

y)=(0,0)时,z=0,而当(x,

y)(0,0)时,z0.

所以z=0是函数极小值.提醒:当(x,

y)=(0,0)时,z=0,而当(x,

y)(0,0)时,z0.所以z=0是函数极大值.提醒:因为在点(0,0)处函数值为零,而在点(0,0)任一邻域内,总有使函数值为正点,也有使函数值为负点.

例1.函数z3x24y2在点(0,0)处有极小值.例3.函数在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小值.例2.下页一定有极大值,即证:

因二元函数ƒ(x,y)在点处有极值，故固定时,一元函数在点处也取得极值必要条件设函数zf(x,y)在点(x0,y0)含有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值,则它在该点偏导数必定为零:故不妨设在点处取得极大值,所以有比如,函数

在点(0,0)处两个偏导数都是零,所以点(0,0)是驻点。但点(0,0)既不是函数极大值点也不是函数极小值点.（称驻点）

驻点极值点注意：定理1（必要条件）

问题：怎样判定一个驻点是否为极值点？则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值条件以下:

(1)B2AC<0时含有极值,且当A<0时有极大值,当A>0时有极小值;

(2)B2AC>0时没有极值;(3)B2AC0时可能有极值,也可能没有极值.

下页同一元函数类似，有以下取得极值充分条件设函数zf(x,y)在点(x0,y0)某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又

令极值求法第一步解方程组求得一切实数解,即可得一切驻点.下页设函数zf(x,y),fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0,令(1)B2AC<0时含有极值,且当A<0时有极大值,当A>0时有极小值;

(2)B2AC>0时没有极值;第二步对于每一个驻点(x0,y0),求出第三步定出

符号,

判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值.

例4.

求函数f(x,y)x3y33x23y29x极值.得x=1,

-3;

y=0,2.

函数驻点为(1,0)、(1,2)、(3,0)、(3,2).求得二阶偏导数为在点(1,0)处,

在点(1,2)处,126>0,下页所以函数在(1,0)处有极小值f(1,0)5;所以f(1,2)不是极值;解:

求驻点解方程组126<0,又fxx12>0,在点(3,0)处,126>0,

例4.

求函数f(x,y)x3y33x23y29x极值.得x=1,

-3;

y=0,2.

函数驻点为(1,0)、(1,2)、(3,0)、(3,2).在点(3,2)处,126<0,又fxx12<0,下页求得二阶偏导数为所以f(3,0)不是极值;所以函数在(3,2)处有极大值f(3,2)31.解:

求驻点解方程组实际应用问题中最大值和最小值求法实际问题中,假如函数f(x,y)最大值(最小值)普通一定存在,假如函数只有一个驻点,那么该驻点处函数值就是函数f(x,y)最大值(最小值).同一元函数类似

例5.

某厂要用铁板做成一个体积为8m3有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取多少时,才能使用料最省.解:此水箱所用材料面积为下页长宽高,

例5.

某厂要用铁板做成一个体积为8m3有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取多少时,才能使用料最省.解:此水箱所用材料面积为依据题意,水箱所用材料面积S最小值一定存在,

所以,

S在D内唯一驻点(2,2)处一定取得最小值,下页,二元函数最值实际应用问题解题步骤:（1）依据题意,列出目标函数解析式;（3）求出目标函数驻点(通常为唯一驻点）；（4）判断该驻点即为所求最值点；(因为由问题实际意义可知，最值点必定存在，同时驻点是唯一，故该驻点即为最值点）（5）算出目标函数最值。（2）列出目标函数最值点必要条件:两个偏导数为零方程组；多产品多原因最大利润问题举例例某工厂生产同一个产品分销两个独立市场，其总成本函数为其中两个市场价格函数分别为

工厂追求最大利润，求此时投放每个市场产量？解由题设，两个市场收益函数分别为

从而，工厂利润函数

从而，工厂利润函数

由可得驻点

依题意，该问题有最大利润；而利润函数有惟一驻点（8,2）可知，当投放每个市场产量分别为8和2时工厂可取得最大利润。ABCDz=f(x,y)f在顶点A、B、C、D处有极大值xz

0y普通函数最大值和最小值求法解例5先求函数在D内驻点，解方程组普通函数在闭区域内最大值和最小值求法为最小值.求函数在有界闭区域上最大、最小值普通步骤为：※※先求函数在开区域上极大、极小值点;再求函数在边界上极大、极小值点;※将所求出极值(及边界上特殊点函数值)进行比较,即可得出函数最大、最小值.作业P971.(1)(3)(4)3.7.高等院校非数学类本科数学课程——微积分大学数学（一）第四十五讲多元函数条件极值及其求法脚本编写：教案制作：一、条件极值拉格朗日乘数法§7.7多元函数条件极值及其求法上页下页铃结束返回首页二元函数最值实际应用问题解题步骤及其原理（1）依据题意,列出目标函数解析式;（3）求出目标函数驻点(通常为唯一驻点）；（4）判断该驻点即为所求最值点；(因为由问题实际意义可知，最值点必定存在，同时驻点是唯一，故该驻点即为最值点）（5）算出目标函数最值。实例1.某企业经过电视和报纸两种形式作广告，已知销售收入R（万元）与电视广告费x（万元），报纸广告费y（万元）有以下关系：R(x,y)=15+14x+32y–8xy–2x2–10y2;假如广告费用不限，求最正确广告策略。解：利润函数为L=L(x,y)=R(x,y)-(x+y)=15+13x+31y–8xy–2x2–10y2;（2）列出目标函数最值点必要条件:两个偏导数为零方程组；五.二元函数条件最值应用问题在实例1中，某企业经过电视和报纸两种形式作广告，已知销售收入R（万元）与电视广告费x（万元），报纸广告费y（万元）有以下关系：R(x,y)=15+14x+32y–8xy–2x2–10y2;假如广告费用只能花去1.5万元

，求此时最正确广告策略。实例1中原来解答是因为0.75+1.25=2万元，超出广告费用允许数额1.5万元，原解答不符题意。此时该怎样求解?

三.条件极值

前面研究极值问题,除了自变量须在定义域内取值外,无其它限制条件;但在实际中碰到大多极值问题,除了自变量须在定义域内取值外,我们常将前者称为无条件极值,后者称为条件极值.还对各自变量有一定约束条件.二、条件极值拉格朗日乘数法条件极值对自变量有附加条件极值称为条件极值.上述问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下最大值问题,这是一个条件极值问题.比如,求表面积为a2而体积为最大长方体体积问题.设长方体三棱长为x,y,z,则体积Vxyz.又因假定表面积为a2,所以自变量x,y,z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a2.下页求条件极值方法(1)将条件极值化为无条件极值比如,求Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下最大值.有时能够把条件极值问题化为无条件极值问题.这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.下页二、条件极值拉格朗日乘数法条件极值对自变量有附加条件极值称为条件极值.三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值求法:方法1代入法.求一元函数无条件极值问题.对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制比如,转化很不轻易！有时候要想与上题那样，从φ(x,y)=0中解出y=ψ(x),方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数极值问题,极值点必满足设

故故有则方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,可确定隐函数设

记极值点必满足引入辅助函数极值点必满足则极值点必满足引入辅助函数辅助函数F

称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用结构拉格朗日函数求极值方法称为拉格朗日乘数法.方法2拉格朗日乘数法.则极值点必满足例某企业经过电视和报纸两种形式作广告，已知销售收入R（万元）与电视广告费x（万元），报纸广告费y（万元）有以下关系：R(x,y)=15+14x+32y–8xy–2x2–10y2;解：利润函数为L=L(x,y)=R(x,y)-(x+y)=15+13x+31y–8xy–2x2–10y2;约束条件函数为(x,y)=x+y-1.5=0.此时拉格朗日函数

F(x,y,)=L(x,y)+·(x,y)

=15+13x+31y–8xy–2x2–10y2+·(x+y-1.5)

这个拉格朗日函数驻点满足方程：解得该方程组唯一解：x0=0,y0=1.5.()这是唯一驻点，又由题意L(x,y)一定存在最大值，故L(0,1.5)=39(万元)必定是所求最大值。最正确广告策略为：投入报纸广告费1.5万元，不投入电视广告费，可使所得利润值最大。最大利润值为L(0,1.5)=39(万元).若广告费只能花去1.5万元,求最正确广告策略（90年考研试题）(1)将条件极值化为无条件极值(2)用拉格朗日乘数法在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值,需要用一个求条件极值专用方法,这就是拉格朗日乘数法.下页求条件极值方法二、条件极值拉格朗日乘数法条件极值对自变量有附加条件极值称为条件极值.拉格朗日乘数法要找函数zf(x,y)在条件j(x,y)0下可能极值点,能够先组成辅助函数F(x,y,λ)f(x,y)lj(x,y),然后解方程组上述方程组解(x,y)就是所要求极值点,下页例34求周长为a而面积最大长方形.解：设长方形长、宽分别为x、y,则其面积为S=xy.令函数F(x,y,λ)=xy+λ(2x+2y-a)，则由方程组因问题本身有最大值且驻点唯一,故问题变为在约束条件2x+2y=a下求函数S=xy最大值.故周长为a而面积最大长方形是边长等于是最大值点.正方形.拉格朗日乘数法要找函数zf(x,y)在条件j(x,y)0下可能极值点,能够先组成辅助函数F(x,y,λ)f(x,y)lj(x,y),例7.

求表面积为a2而体积为最大长方体体积.

解:设长方体三个棱长分别为x,y,z,则问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)=a2下最大值.组成辅助函数因为由问题本身可知最大值一定存在,这是唯一可能极值点.F(x,y,z,λ)xyzl(2xy2yz2xza2),结束解方程组假如区域D能够表示为不等式X型区域下页则称区域D为X型区域.作与y轴同向射线,从下至上穿过D.则y是由下方曲线

变到上方曲线.平面区域不等式表示法（平行直线束表示法）将平面区域看为无穷条含有某种共同性质垂直或者水平直线（或线段）组合。例2用不等式表示定义域.解:应满足所以其定义域是不含圆周圆域11那么D联立不等式应该怎样表示呢?－1－1因为D边界是即所以D由围成．例2用不等式表示定义域.解:11那么D联立不等式应该怎样表示呢?－1－1因为D边界是即所以D由围成．D中点横坐标x在之间改变时,点纵坐标y在与之间改变,所以能够表示为:1－1－11例1把如图所表示长方形区域用不等式表示出来．解：当x在之间改变时,当y也在之间改变,所以该区域能够表示成注意方域与圆域区分.Y型区域假如区域D能够表示为不等式下页则称区域D为Y型区域.作与x轴同向射线,从左至右穿过D.则x是由下方曲线

变到上方曲线.作业P685.作业P9910.9.为已知常数13.高等院校非数学类本科数学课程——微积分大学数学（一）第四十六讲二重积分概念与性质脚本编写：教案制作：预备知识：直径概念：特点：平顶.曲顶柱体体积=？特点：曲顶.１．曲顶柱体体积柱体体积=底面积╳高x0z

y..x0z

yDi.x0z

yV..小平顶柱体体积iz=f(x,y)小曲顶柱体体积

一、引例三、二重积分性质§7.8二重积分概念与性质二、二重积分概念上页下页铃结束返回首页一、引例曲顶柱体假定D是平面上一个区域，z=f(x,y)>0为定义在D上给定二元函数。以区域D边界为母线，生成一个垂直于坐标平面柱面，它与函数图像曲面

z=f(x,y),平面区域D所围成封闭立体，称之为曲顶柱体。1.曲顶柱体体积下页提醒:对应地把曲顶柱体分成了n个小曲顶柱体.用曲线网把D分成小区域:

s1,s2,

,sn

.用小平顶柱体体积近似代替小曲顶项柱体体积Vi

:Vif(xi,hi)si.用小平顶柱体体积之和近似代替整个曲顶柱体体积:

f(xi,hi)si(xi,hi)下页1.曲顶柱体体积提醒:对应地把曲顶柱体分成了n个小曲顶柱体.提醒:其中l为各小区域直径最大值.用曲线网把D分成小区域:

s1,s2,

,sn

.用小平顶柱体体积近似代替小顶项柱体体积Vi

:Vif(xi,hi)si.用小平顶柱体体积之和近似代替整个曲顶柱体体积:

将分割加细,取极限,求得曲顶柱体体积准确值:f(xi,hi)si(xi,hi)下页1.曲顶柱体体积二、二重积分概念

设函数f(x,y)在界闭区域D上有界.将闭区域D任意分成n个小闭区域

s1,s2,

,sn

,其中si表示第i个小区域,也表示它面积.

在第i个小区域si上任取一点(xi,hi),作和总是存在,则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上二重积分,记作设l为各小区域直径中最大值,假如极限二重积分定义下页f(x,

y)———被积函数,f(x,

y)ds——被积表示式,

ds————面积元素,

x,

y————积分变量,

D————积分区域.—————积分号,下页二、二重积分概念二重积分定义在直角坐标系下，我们常采取平行于坐标轴直xyO则小区域面积为其边长分别为和线来划分D(如图).此时小区域形状为小矩形,设矩形区域si边长为xi和yi,则sixiyi.

所以在直角坐标系中,面积元素ds记作dxdy.直角坐标系中二重积分二、二重积分概念二重积分定义其中dxdy叫做直角坐标系中面积元素.首页直角坐标系中二重积分二、二重积分概念二重积分定义当z=f(x,

y)0时,f(x,

y)在区域D上二重积分表示以曲面z=f(x,

y)为顶、区域D为底曲顶柱体体积V.二重积分几何意义一个有限数．

三、二重积分性质

性质1

性质2

下页

性质3

当时,性质4(区域可加性)

假如闭区域D划分为两个闭区域D1与D2,则三、二重积分性质

性质1

性质2

性质4

性质3

假如闭区域D划分为两个闭区域D1与D2,则下页此性质几何意义是：以Ｄ为底、以1为高平顶柱体体积在数值上等于柱体底面积.性质5(单调性)假如在D上,f(x,y)g(x,y),则有不等式性质5(单调性)设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上最大值和最小值,

s为D面积,则有假如在D上,f(x,y)g(x,y),则有不等式性质6(估值定理)

证:因为所以设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上最大值和最小值,

s为D面积,则有设函数f(x,y)在闭区域D上连续,

s为D面积,则在D上最少存在一点(x,h)使得下式成立:性质6(估值定理)

性质7(二重积分中值定理)

证:因为所以D1x0z

yD２性质8:xyD性质8几何意义：xyzxyz一边是楼房，一边是地下室．则区域D内点(x,y)均满足x+y≥1,从而例1比较以下二重积分大小：0y

x112x+y=1x+y>1P(a,b).xyoab

平面直角坐标系是最简单最惯用一个坐标系，但不是唯一一个坐标系.有时用别坐标系比较方便.还有什么坐标系呢？5浬（1）距离：5浬；（2）方向：东偏北20º.ox20º极坐标与直角坐标互化

极坐标系和直角坐标系是两种不一样坐标系，当平面内既建立极坐标系又建立直角坐标系时,平面内一个点M现有极坐标又有直角坐标.所以有．解以x=rcos,y=rsin代入，得

，所以，以极点为圆心、半径为1圆极坐标方程为r=1,(0<2).例6化圆直角坐标方程为极坐标方程．以直角坐标方程F(x,y)=0表示曲线，马上能够转化为以极坐标表示方程：

F(x,y)=0F(rcos,rsin)=0有了极坐标和直角坐标转换公式能够发觉，有时以极坐标表示方程，远比以直角坐标表示方程简单．例化直角坐标方程解:方程为为极坐标方程．以x=rcos,y=rsin代入，得

即所以极坐标方程为4.平面区域极坐标表示法实例将平面区域视为分布在某个角度内无穷条射线（段）束组合.Ｄ称为“曲边三角形”或“曲边扇形”．曲边极坐标方程为r=r()，D最小极角为，最大极角为．此时，D:0rr(),

.xyDr=r()0普通情况下,用极坐标表示D时,总是首先确定取值范围.若积分区域D如图，即：极点在D外，而D是由两个“曲边扇形”相减而成。作以0为起点射线过D，先碰到曲边为r=r1()，后遇曲边为r=r2(),最大，最小极角分别为,,0xyr=r2()r=r1()D:r1()rr2(),

．思索:

以下各图域D中,答:改变范围是什么?y0xr=r()0xyr=r()高等院校非数学类本科数学课程——微积分大学数学（一）第四十七讲二重积分计算脚本编写：教案制作：一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分计算法上页下页铃结束返回首页我们首先讨论在Ｘ型区域上二重积分.假如区域D能够表示为不等式X型区域下页则称区域D为X型区域.作与y轴同向射线,从下至上穿过D.则y是由下方曲线

变到上方曲线.一、利用直角坐标计算二重积分1.直角坐标系下二重积分计算.由二重积分几何意义知,当f(x,y)0时,如图若点x处截面面积为A(x),则体积x0axA(x)三、二重积分计算b由几何意义知,以D为底曲顶柱体体积V.

如图.过点x0作平面x=x0,截面是平面x=x0上,以z=f

(x0,y)为曲边曲边梯形.

zx0yDz=f

(x,y)z=f

(x0,y)x0abzx0yDz=f

(x,y)z=f

(x0,y)x0ab由定积分几何意义,曲顶柱体体积为右端称为先对y,再对x计算标准:

由里到外.

即先将x看作常数,以y为积分变量,求里层积分.

得到结果是只含x,不含y函数式,再求外层积分(以x为积分变量).二次积分(累次积分).曲顶柱体体积为注1.

公式

虽是在条件f(x,y)0下得到,这只是为几何上说明方便而引入，实际上，对普通f(x,y)公式都成立.

注2.

习惯上常将右端二次积分记作即——这是先对y再对x累次积分.同学们一定要注意要把x看作为常数.对y积分时

2－1－21假如D是X型区域:j1(x)yj2(x),axb,则计算二重积分步骤(1)画出积分区域D草图;(2)用联立不等式表示积分区域D;(3)把二重积分表示为二次积分:(4)计算二次积分.下页先对y后对x二次积分例1.xy0y=xy=x2x为确定累次积分上、下限,作与y轴同向射线,从下至上穿过D.则y是由下方曲线y=x2变到上方曲线y=x.解:

先画区域D图形.xy0y=xy=x2x现在讨论Ｙ型区域上二重积分.Y型区域假如区域D能够表示为不等式下页则称区域D为Y型区域.作与x轴同向射线,从左至右穿过D.则x是由下方曲线

变到上方曲线.一、利用直角坐标计算二重积分因为能够将定义区域D

看成为Y型区域：故类似地还能够化为另一个先后积分次序累次积分：xy0y=xy=x211法2:作与x轴同向射线,从左至右穿过D.y则x是从左方曲线x=y变到右方曲线y=x2.即例1.xy0y=xy=x211y假如D是X型区域:j1(x)yj2(x),axb,则计算二重积分步骤假如D是Y型区域:y1(y)xy2(y),cyd,则(1)画出积分区域D草图;(2)用联立不等式表示积分区域D;(3)把二重积分表示为二次积分:(4)计算二次积分.下页先对x后对y二次积分先对y后对x二次积分一、利用直角坐标计算二重积分

有区域既是X型区域又是Y型区域。下页(3)若D既是x—型区域,又是y—型区域.则既可先对x积分,又可先对y积分.

当用某次序算二重积分不好算时,可改换积分次序,可能好算.此时,例7计算其中D由所围成.解:假如先对y积分,则可写成但计算起来很繁琐,而假如先对x积分,则有分析:积分区域可表示为DD1+D2,其中积分区域也可表示为下页例2.计算其中D是抛物线所围成闭区域.

及直线例2.计算其中D是抛物线所围成闭区域.

解:及直线例3.

求解：因为是“积不出”，怎么办？要改换积分次序.先画积分区域D图形.由积分表示式知，D：y

x1,0y1画曲线x=y和x=1，直线y=0,y=1.如图：故原式=yx0Dy

=x

选择适当积分次序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一次序积分极难，或不可行时，可改换积分次序。并请同学们注意：凡遇等不能用初等函数表示积分,均须更换积分次序.但在更换积分次序时,必须